Колеблющееся в жидкости тело производит вокруг себя пе- риодическое сжатие и разрежение жидкости и таким образом приводит к возникновению звуковых волн. Источником энергии, уносимой этими волнами, является кинетическая энергия дви- ) Исследование боковой волны во всей области углов в см. в кн.: Брехов- ских Л. II ЖТФ. 1948. Т. 18. С. 455. Там же дан следующий член разложе- ния обычной отраженной волны по степеням X/R] отметим здесь, что для уг- лов 9, близких к во (в случае с\ < сг), отношение поправочного члена к основному убывает с расстояниями как (А/ЛI/4, а не как X/R. § 74 ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА 393 жущегося тела. Таким образом, можно говорить об излучении звука колеблющимися телами. Ниже будет везде предполагаться, что скорость и колеблю- щегося тела мала по сравнению со скоростью звука. Поскольку и~ аио (где а — линейная амплитуда колебаний тела), то это зна- чит, что а <^\ х) . В общем случае произвольно колеблющегося тела произволь- ной формы задача об излучении звуковых волн должна решать- ся следующим образом. Выберем в качестве основной величины потенциал скорости ср. Он удовлетворяет волновому уравнению На поверхности тела нормальная составляющая скорости жид- кости должна быть равна соответствующей компоненте скорости и тела: ? = «»• G4-2) дп На больших же расстояниях от тела волна должна переходить в расходящуюся сферическую волну. Решение уравнения G4.1), удовлетворяющее этим граничным условиям и условию на бес- конечности, определяет излучаемую телом звуковую волну. Рассмотрим более подробно два предельных случая. Предпо- ложим сначала, что частота колебаний тела настолько велика, что длина излучаемой волны очень мала по сравнению с разме- рами / тела: А</. G4.3) В таком случае можно разделить поверхность тела на участки, размеры которых, с одной стороны, настолько малы, что их мож- но приближенно считать плоскими, но, с другой стороны, все же велики по сравнению с длиной волны. Тогда можно счи- тать, что каждый такой участок излучает при своем движении плоскую волну, скорость жидкости в которой равна просто нор- мальной компоненте ип скорости данного участка поверхности. Но средний поток энергии в плоской волне равен (см. § 65) cpv2, где v — скорость жидкости в волне. Подставляя v = ип и интегрируя по всей поверхности тела, приходим к результату, что средняя излучаемая телом в единицу времени в виде зву- ковых волн энергия, т. е. полная интенсивность излучаемого х) Амплитуда колебаний предполагается, вообще говоря, малой также и по сравнению с размерами тела, в противном случае движение вблизи тела не будет потенциальным (ср. § 9). Это условие не обязательно лишь для чисто пульсационных колебаний, для которых используемое ниже решение G4.7) является по существу следствием уже непосредственно уравнения непрерыв- ности. 394 звук гл. viii звука, есть Jdf. G4.4) Она не зависит от частоты колебаний (при заданной амплитуде скорости). Рассмотрим теперь противоположный предельный случай, когда длина излучаемой волны велика по сравнению с разме- рами тела: А>/. G4.5) Тогда вблизи тела (на расстояниях, малых по сравнению с дли- ной волны) в общем уравнении G4.1) можно пренебречь членом с~2—-. Действительно, этот член —порядка величины ш2(р/с2 ~ dt2 ~ с^/Л , между тем как вторые производные по координатам в рассматриваемой области ~(р/12. Таким образом, вблизи тела движение определяется уравне- нием Лапласа А(р = 0. Но это — уравнение, определяющее по- тенциальное движение несжимаемой жидкости. Следовательно, вблизи тела жидкость движется в рассматриваемом случае как несжимаемая. Собственно звуковые волны, т. е. волны сжатия и разрежения, возникают лишь на больших расстояниях от тела. На расстояниях, порядка размеров тела и меньших, искомое решение уравнения Аср = 0 не может быть написано в общем виде и зависит от конкретной формы колеблющегося тела. Для расстояний же, больших по сравнению с /, но малых по срав- нению с А (так что уравнение Аср = 0 еще применимо), можно найти общий вид решения, воспользовавшись тем, что ср должно убывать с увеличением расстояния. С такими решениями урав- нения Лапласа нам уже приходилось иметь дело в § 11. Как и там, пишем общий вид решения в форме ip = -- + AV- G4.6) г г (г — расстояние до начала координат, выбранного где-нибудь внутри тела). При этом, конечно, существенно, что расстояния, о которых идет речь, все же велики по сравнению с размерами тела. Только по этой причине можно ограничиться в ср членами, наименее быстро убывающими с ростом г. Мы оставляем в G4.6) оба написанных члена, имея в виду, что первый член не во всех случаях присутствует (см. ниже). Выясним, в каких случаях этот член —а/г отличен от нуля. В § 11 было выяснено, что потенциал —а/г приводит к наличию отличного от нуля потока жидкости через поверхность, окружа- ющую тело; этот поток равен Атгра. Но в несжимаемой жидкости такой поток может иметь место только за счет изменения общего § 74 ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА 395 объема жидкости, заключенной внутри замкнутой поверхности. Другими словами, должно происходить изменение объема тела, что и будет приводить к вытеснению жидкости из рассматривае- мого объема пространства или, наоборот, к «засасыванию» жид- кости в него. Таким образом, первый член в G4.6) присутствует в тех случаях, когда излучающее тело производит пульсации, сопровождающиеся изменением его объема. Предположим, что это имеет место, и определим полную ин- тенсивность излучаемого звука. Объем 4тга жидкости, протекаю- щей через замкнутую поверхность, должен быть равен измене- нию объема V тела в единицу времени, т. е. производной dV/dt (объем V является заданной функцией времени): 4тга = V. Таким образом, на расстояниях г, удовлетворяющих условию / <С г <С А, движение жидкости описывается функцией р А 4тгг С другой стороны, на расстояниях г ^> А (в волновой зоне) (р должно представлять расходящуюся сферическую волну, т. е. иметь вид Д^7?). G47) г Поэтому мы приходим к результату, что излучаемая волна имеет на всех расстояниях (больших по сравнению с /) вид ^ЬМ G4.8) 4тгг получающийся заменой в V(t) аргумента t на t — г/с. Скорость v = grad (р направлена в каждой точке по радиусу- вектору и по величине равна v = dip/dr. При дифференцирова- нии G4.8) надо (для расстояний г^> А) брать производную толь- ко от числителя; дифференцирование знаменателя привело бы к члену высшего порядка по 1/г, которым следует пренебречь. Поскольку с) с \ с то получаем (п — единичный вектор в направлении г): v = ?(ЫМП. G4.9) 4тгсг Интенсивность излучения, определяющаяся квадратом ско- рости, оказывается здесь не зависящей от направления излуче- ния, т. е. излучение симметрично по всем направлениям. Среднее 396 звук гл. viii значение полной излучаемой в единицу времени энергии есть где интегрирование производится по замкнутой поверхности во- круг начала координат. Выбирая в качестве этой поверхности сферу радиуса г и замечая, что подынтегральное выражение за- висит только от расстояния до центра, получаем окончательно: 1=^-. G4.10) 4тгс V J Это —полная интенсивность излучаемого звука. Мы видим, что она определяется квадратом второй производной по времени от объема тела. Если тело совершает пульсационные колебания по гармониче- скому закону с частотой о;, то вторая производная от объема по времени пропорциональна частоте и амплитуде скорости колеба- ний; средний же ее квадрат пропорционален квадрату частоты. Таким образом, интенсивность излучения будет пропорциональ- на квадрату частоты при заданном значении амплитуды скоро- сти точек поверхности тела. При заданной же амплитуде самих колебаний амплитуда скорости в свою очередь пропорциональ- на частоте, так что интенсивность излучения будет пропорцио- нальна а;4. Рассмотрим теперь излучение звука телом, колеблющимся без изменения объема. Тогда в G4.6) остается только второй член, который мы напишем в виде Как и в предыдущем случае, заключаем, что общий вид решения на всех расстояниях г ^> I есть То, что это выражение действительно является решением волно- вого уравнения, видно из того, что функция А(? —г/с)/г удовле- творяет этому уравнению, а потому удовлетворяют ему и про- изводные указанной функции по координатам. Дифференцируя опять только числитель, получаем (для расстояний г ^> А): При вычислении скорости v = Vtp снова надо дифференциро- вать только А. Поэтому имеем согласно известным из векторного § 74 ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА 397 анализа правилам дифференцирования функций от скалярного аргумента: cAr \ с/ и, подставляя V(t — г/с) = —\7г/с = — n/с, получаем оконча- тельно: v = -п(пА). G4.12) c2r v 7 Интенсивность излучения будет теперь пропорциональна квад- рату косинуса угла между направлением излучения (направле- ние п) и вектором А (такое излучение называют дипольным). Полное же излучение равно интегралу / = — с3 Опять выбираем в качестве поверхности интегрирования сферу радиуса г, причем введем сферические координаты с полярной осью вдоль вектора А. Простое интегрирование приводит к окон- чательной формуле для полного излучения в единицу времени: /А. G4.13) Зс3 V J Компоненты вектора А являются линейными функциями ком- понент скорости и тела (см. § 11). Таким образом, интенсивность излучения является здесь квадратичной функцией вторых про- изводных от компонент скорости тела по времени. Если тело совершает гармоническое колебательное движение с частотой о;, то, подобно предыдущему случаю, заключаем, что интенсивность излучения пропорциональна о;4 при заданном зна- чении амплитуды скорости. При заданной же линейной ампли- туде колебаний тела амплитуда скорости сама пропорциональна частоте, и потому излучение пропорционально а;6. Аналогичным образом решается вопрос об излучении цилинд- рических звуковых волн пульсирующим или колеблющимся пер- пендикулярно к своей оси цилиндром произвольного сечения. Выпишем здесь соответствующие формулы, имея в виду их даль- нейшие применения. Рассмотрим сначала пульсационные малые колебания цилин- дра, и пусть S = S(t) есть переменная площадь его сечения. На расстояниях г от оси цилиндра, таких, что / <С г <С А (/ — попе- речные размеры цилиндра), получим аналогично G4.8) ^ G4.14) где /(?) — функция времени (коэффициент при In/г выбран так, чтобы получить правильное значение потока жидкости через ко- 398 звук гл. viii аксиальную цилиндрическую поверхность). В соответствии с формулой для потенциала расходящейся цилиндрической волны (первый член формулы G1.2)) имеем теперь, что на всех рассто- яниях г ^> / потенциал определяется выражением Г- с Т , т" G4-15) — СЮ При г —>> 0 главный член этого выражения совпадает с G4.14), причем автоматически определится также и функция f(t) в по- следнем (предполагаем, что при t —>• — оо производная S(t) до- статочно быстро обращается в нуль). При очень же больших зна- чениях г (в волновой зоне), основную роль в интеграле G4.15) играет область значений t — tf ~ г/с, поэтому в знаменателе подынтегрального выражения можно положить: и мы получим t-r/c 2тгл/2г J Jc(t-t')-r' Наконец, скорость v = dip/дг] для осуществления дифферен- цирования удобно сделать в интеграле подстановку t—t'—r/с = ?: о после чего пределы интегрирования не будут содержать г. Мно- житель г/2 перед интегралом не дифференцируется, так как это дало бы член более высокого порядка по 1/г. Производя диф- ференцирование под знаком интеграла и перейдя затем обратно к переменной ?7, получим V = 2тгл/2г t-r/c Г S{t')dt' J Jc(t -t')- Интенсивность излучения определится произведением 2тгг/эсг>2. Обратим внимание на то, что в отличие от сферического случая здесь интенсивность излучения в каждый момент времени опре- деляется всем ходом изменения функции S(t) за время от — оо до t — г/с. § 74 ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА 399 Наконец, для поступательных колебаний бесконечного ци- линдра в направлении, перпендикулярном к его оси, на рассто- яниях / <С г <С А потенциал имеет вид <p = div(Aln/r), G4.18) где А(?) определяется путем решения уравнения Лапласа для обтекания цилиндра несжимаемой жидкостью. Отсюда снова за- ключаем, что на всех расстояниях г ^> / <р = - div '"Г ^^ • G4.19) — ОО В заключение необходимо сделать следующее замечание. Мы полностью пренебрегали здесь влиянием вязкости жидкости и соответственно этому считали движение в излучаемой волне по- тенциальным. В действительности, однако, в слое жидкости тол- щины (ь>/ооI12 вокруг колеблющегося тела движение не потен- циально (см. § 24). Поэтому для применимости всех полученных формул необходимо, чтобы толщина этого слоя была мала по сравнению с размерами I тела: (z//o;I/2</. G4.20) Это условие может не выполняться при слишком малых частотах или слишком малых размерах тела.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Излучение звука» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
