Отражение сферической волны от границы раздела между двумя средами представляет особый интерес ввиду того, что оно может сопровождаться своеобразным явлением возникновения боковой волны. Пусть Q (рис. 45)—источник сферической звуковой волны, находящийся (в первой среде) на расстоянии / от плоской неогра- ниченной поверхности раздела между двумя средами 1 ж 2. Рас- стояние / произвольно и отнюдь не должно быть большим по § 73 БОКОВАЯ ВОЛНА 387 сравнению с длиной волны А. Плотности двух сред и скорости звука в них пусть будут р\, р2 и с\, С2. Прямая, Отраженная волна \волна Ci>C2 Прямая Отраженная волна \волна Ci<C2 Q 9 Преломленная волна Преломленная волна Рис. 45 Предположим сначала, что ci > С2- Тогда на больших (по сравнению с А) расстояниях от источника движение в первой среде будет представлять собой совокупность двух расходящих- ся волн. Одна из них есть сферическая волна, непосредственно испускаемая источником [прямая волна)] ее потенциал @) ег > = G3.1) Q где г — расстояние от источника, а амплитуду мы условно пола- гаем равной единице; множители e~iujt во всех выражениях мы будем в этом параграфе для краткости опускать. Вторая же — отраженная — волна имеет волновые поверхно- сти, представляющие собой сферы с центром в точке Qf (зеркаль- ное отображение источника Q в плоскости раздела); это есть гео- метрическое место точек Р, до которых в один и тот же промежу- ток времени доходят лучи, одновремен- но вышедшие из точки Q и отразившие- ся по законам геометрической акустики от поверхности раздела (на рис. 46 луч QAP с углами падения и отражения в). Амплитуда отраженной волны убывает обратно пропорционально расстоянию г1 от точки Q1 (последнюю называют ино- 2 гда мнимым источником), но зависит, Q кроме того, и от угла в — так, как если бы каждый луч отражался с коэффи- циентом, соответствующим отражению плоской волны с данным углом падения в. Другими словами, на больших расстояниях от- раженная волна описывается формулой Рис. 46 / е Ч>\ = - 1кг' cos в — pi л/cf — el sin2 в cos в + р\ ус\ — с2, sin2 в G3.2) 13* 388 звук гл. viii (ср. формулу F6.4) для коэффициента отражения плоской вол- ны). Эта формула, справедливость которой (для больших г') са- ма по себе естественна, может быть строго выведена указанным ниже способом. Более интересен случай, когда Здесь наряду с обычной отраженной волной G3.2) в первой среде появляется еще одна волна, основные свойства которой можно усмотреть уже из следующих простых соображений. Обычный отраженный луч QAP (рис. 46) удовлетворяет принципу Ферма в том смысле, что это есть путь наиболее бы- строго пробега из точки Q в Р из всех путей, лежащих целиком в среде 1 и испытывающих однократное отражение. Но принципу Ферма удовлетворяет (при с\ < c<i) и другой путь: луч падает на границу под углом полного внутреннего отражения 6q (sin#o = = С1/С2), затем распространяется по среде 2 вдоль границы раз- дела и, наконец, снова переходит в среду 1 под углом 6$ {QBCP на рис. 46); очевидно, что должно быть в > 6q. Легко видеть, что такой путь тоже обладает экстремальным свойством: время пробега по нему меньше, чем по любому другому пути из Q в Р, частично проходящему во второй среде. Геометрическое место точек Р, до которых в один и тот же момент времени доходят лучи, одновременно вышедшие из Q вдоль пути QB и затем перешедшие снова в среду 1 в различных точках С, есть, очевидно, коническая поверхность, образующие которой перпендикулярны к прямым, проведенным из «мнимого источника» Q' под углом 6q. Таким образом, если с\ < С2, то наряду с обычной отражен- ной волной со сферическим фронтом в первой среде будет рас- пространяться еще одна волна с коническим фронтом, простира- ющимся от плоскости раздела (на котором он смыкается с фрон- том преломленной волны во второй среде) до касания фронта сферической отраженной волны (последнее происходит по линии пересечения с конусом, с углом раствора 6q и осью вдоль линии QQ' см. рис. 45). Эту коническую волну называют боковой. Путем простого подсчета легко убедиться в том, что время пробега вдоль пути QBCP (рис. 46) меньше, чем время пробе- га по пути QAP\ ведущему в ту же точку наблюдения Р. Это значит, что звуковой сигнал из источника Q доходит до точки наблюдения Р сначала в виде боковой волны, и лишь затем в эту точку приходит обычная отраженная волна. Следует иметь в виду, что боковая волна представляет собой эффект волновой акустики, несмотря на то, что она допускает изложенное наглядное истолкование с помощью представлений геометрической акустики. Мы увидим ниже, что амплитуда бо- ковой волны обращается в нуль в пределе А —>• 0. § 73 БОКОВАЯ ВОЛНА 389 Переходим теперь к количественному расчету. Распростране- ние монохроматической звуковой волны, создаваемой точечным источником, описывается уравнением G0.7): Atp + k2tp = -4тг?(г - 1), G3.3) где к = со/с, а 1 — радиус-вектор источника. Коэффициент при E-функции выбран таким, чтобы прямая волна имела вид G3.1). Ниже мы выбираем систему координат с плоскостью ху в плос- кости раздела и осью z вдоль QQ'\ первой среде соответствуют z > 0. На границе раздела должны быть непрерывными дав- ление и ^-компонента скорости, или, что то же, величины рср и dip/dz. Следуя общему методу Фурье, имеем решение в виде V = ~Ь II ^(г)ег{*хХ+*уУ) dxx dxy, G3.4) dxdy. G3.5) •>=// Из симметрии в плоскости ху заранее очевидно, что (р^ может зависеть только от абсолютной величины и2 = х^ + х^. Восполь- зовавшись известной формулой 2тг Jo {и) = — / cos (и sin ip) dcp, 2тг J 0 можно поэтому представить G3.4) в виде сю = ±- ( Z7T J G3.6) где R = у ж2 + у2 — цилиндрическая координата (расстояние от оси z). Для дальнейших вычислений будет удобно преобразовать эту формулу к виду, в котором интеграл берется в пределах от —оо до +оо, выразив подынтегральное выражение через функ- цию Ганкеля щ (и). Последняя имеет, как известно, логариф- мическую особенность в точке и = 0; если условиться переходить от положительных к отрицательным вещественным значениям и, обходя (в плоскости комплексного переменного и) точку и = 0 сверху, то будет справедливо соотношение H<i\-u) = Н^(иеш) = Н^(и) - 2J0(«). 390 звук гл. viii С его помощью можно переписать G3.6) в виде 1 Г A) 4тг J — оо Из уравнения G3.3) находим для функции ср^ уравнение —z^ - х — — ((^ = — 4:7ro{z — и. Gо.о) с/^2 V с2 / E-функцию в правой части уравнения можно исключить, нало- жив на функцию tpx(z) (удовлетворяющую однородному урав- нению) граничные условия при z = I: -о = -4тг. G3.9) Граничные же условия при z = 0 гласят: I —I— 0 n dtp^c f\ /^7O 1 ГЛ\ pip^l = U, —— = (J. Go.lUJ Ищем решение в виде ур^ = Ae~^lZ при z > I, ^ + Се^1^ при / > ^ > 0, G3.11) при 0 > ^. Здесь li\ = я2 — к\, 1^2 = м1 — Щ (к\ = co/cij k>2 = cj/c2), причем надо полагать: |i = — гу А;2 — х2 при к < к; первое необходимо для того, чтобы искомое ср не возрастало на бесконечности, а второе —чтобы ср представляло собой расходя- щуюся волну. Условия G3.9) и G3.10) дают четыре уравнения, определяющие коэффициенты А, Б, G, D. Простое вычисление приводит к следующим выражениям: Plp2 § 73 БОКОВАЯ ВОЛНА 391 При р2 = pi, C2 = с\ (т. е. если бы все пространство было заполнено одной средой) В обращается в нуль и А = Ce2fJjl1; со- ответствующий член в (р представляет собой, очевидно, прямую волну G3.1); поэтому интересующая нас отраженная волна есть — 4тг + ОО G3.14) В этом выражении надо еще уточнить путь интегрирования. Особая точка ус = 0 обходится (в плоскости комплексного х), как уже указывалось, сверху. Кроме того, подынтегральное вы- ражение имеет особые точки (точки разветвле- ния) ус = ±&х, =Ь&2, в ко- торых \i\ или \i2 обраща- ются в нуль. В соответ- _fc ствии с условиями G3.10) точки +&]_, -\-к2 должны обходиться снизу, а точ- ки —&i, — к2 сверху. Произведем исследова- ние полученного выражении на больших расстояниях от источ- ника. Заменяя функцию Ганкеля ее известным асимптотическим выражением, получим Рис / = [ J С \2mRJ На рис. 47 изображен путь интегрирования С для случая с\ > c2. Интеграл может быть вычислен с помощью известного метода перевала. Показатель имеет экстремум в точке, в которой ус _ R _ /sin(9 y/kf - К2 Z + l Г'COS в т. е. ус = fcisin#, где в — угол падения (см. рис. 45). Переходя к пути интегрирования С7, пересекающему эту точку под углом тг/4 к оси абсцисс, получим формулу G3.2). В случае же с\ < с2 (т. е. к\ > к2) точка ус = к\ sin в лежит между точками к2 и fci, если sin в > к2/к\ = с\/с2 = sin#o5 T- е. если в > #о (см- рис. 45). В этом случае контур С1 должен содер- жать еще петлю вокруг точки k2i и к обычной отраженной волне G3.2) добавляется волна у//, определяемая интегралом G3.15), 392 звук гл. viii взятым по этой петле (назовем ее С'1', рис. 48); это и есть боко- вая волна. Этот интеграл легко вычислить, если точка к\ sin в не слишком близка к ^, т. е. если угол в не слишком близок к углу полного внутреннего от- ражения #о г) • Вблизи точки ус = &2 Ц2 мало; разлагаем пред- экспоненциальный мно- житель в подынтеграль- \ ном выражении в G3.15) с' по степеням \i2- Нулевой Рис. 48 член разложения вообще не обладает особенностью при х = А;2 и его интеграл по С" обра- щается в нуль. Поэтому имеем = - [ЩР±(Л_\1'2 exp[-/iiB + /)+ixfl]dx. G3.16) J \i\p2 \2тггг/ \i\p2 С" Разлагая показатель по степеням н — къ и интегрируя по верти- кальной петле С'1\ получим после простого вычисления следую- щее выражение для потенциала боковой волны // _ 2ipik2 exp [ikir cos (в0 - в)] /^о i у\ В согласии со сказанным выше волновые поверхности пред- ставляют собой конусы г' cos (в — 6q) = i?sin#o + {z + l) cos #o = const. Вдоль заданного направления амплитуда волны убывает обратно пропорционально квадрату расстояния г'. Мы видим также, что эта волна исчезает в предельном случае А —>> 0. При в —>> #о вы- ражение G3.17) становится неприменимым; в действительности в этой области амплитуда боковой волны убывает с расстоянием как г7/4.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Боковая волна» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
