Соотношение ио = ск между частотой и волновым вектором имеет место только для монохроматической звуковой волны, рас- пространяющейся в неподвижной среде. Нетрудно получить ана- логичное соотношение для волны, распространяющейся в движу- щейся среде (и наблюдаемой в неподвижной системе координат). Рассмотрим однородный поток жидкости со скоростью и. На- зовем неподвижную систему координат ж, у, z системой К и вве- дем также систему К' координат ж7, у7, z\ движущуюся отно- сительно системы К со скоростью и. В системе К жидкость неподвижна, и монохроматическая волна в ней имеет обычный вид if = const .e*(kr'-^). Радиус-вектор г' в системе К' связан с радиусом-вектором г в си- стеме К равенством г' = г — ut. Поэтому в неподвижной системе координат волна имеет вид <р = COnst .ei0"-( Коэффициент при t в показателе есть частота ио волны. Таким образом, в движущейся среде частота связана с волновым век- тором к соотношением оо = ск-ик. F8.1) § 68 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ДВИЖУЩЕЙСЯ СРЕДЕ 369 Скорость распространения волн равна duo k , /лП о\ — = с- + и; F8.2) ак к это есть геометрическая сумма скорости с в направлении к и скорости и «сноса» звука вместе с движущейся жидкостью. Определим плотность энергии звуковой волны в движущейся среде. Полная мгновенная плотность энергии дается выражением 2/2 /2 2/2 pu . р и . . (pv . i . с p = + + /9VU + -— + pUV + —— 2 2 V 2 2p (ср. F5.1); индекс 0 у невозмущенных значений величин опу- скаем). Первый член здесь — энергия невозмущенного течения. Следующие два члена — первого порядка малости, но при усред- нении по времени они дадут величины второго порядка, связан- ные с энергией возбуждаемого волной среднего течения. Все эти члены следует опустить и, таким образом, интересующая нас плотность энергии звуковой волны как таковой дается заклю- ченными в скобки тремя последними членами. Скорость и из- менение давления в плоской волне в движущейся среде связаны соотношением (ш — ku)v = kc2pf I p, которое следует из линеаризованного уравнения Эйлера ^ () at p Учитывая также F8.1), найдем окончательно, что плотность зву- ковой энергии в движущейся среде: F8.3) ш — ku где Eq = с2 р1 Iр = р1 Iрс2 — плотность энергии в системе отсче- та, движущейся вместе со средой . С помощью формулы F8.1) можно рассмотреть эффект Доп- лера, заключающийся в том, что частота звука, воспринимаемого наблюдателем, движущимся относительно источника, не совпа- дает с частотой колебаний последнего. Пусть звук, испускаемый неподвижным (относительно среды) источником, воспринимается наблюдателем, движущимся со ско- ростью и. В покоящейся относительно среды системе К' имеем *) Эта формула наглядно истолковывается с квантовой точки зрения: чис- ло звуковых квантов (фононов) N = Е/{Ни) = Eo/[h(uu — ku)] не зависит от выбора системы отсчета. 370 звук гл. viii к = с^о/с, где ooq — частота колебаний источника. В системе же К, движущейся вместе с наблюдателем, среда движется со ско- ростью —и, и частота звука будет согласно F8.1) ио = ск — uk. Вводя угол в между направлением скорости и и волнового век- тора к и полагая к = wo/c, найдем, что воспринимаемая движу- щимся наблюдателем частота звука равна ио = ujq A — - cos в). F8.4) В некотором смысле обратным случаем является распростра- нение в неподвижной среде звуковой волны, испускаемой движу- щимся источником. Пусть и обозначает теперь скорость движе- ния источника. Перейдем от неподвижной системы координат к системе К1', движущейся вместе с источником; в системе К' жидкость движется со скоростью — и. В системе К1', где источ- ник покоится, частота излучаемой им звуковой волны должна быть равна частоте ooq колебаний, совершаемых источником. Из- менив в F8.1) знак перед и и вводя угол в между направле- ниями и и к, будем иметь ooq = ск ( 1 — - cos в). \ с / С другой стороны, в исходной неподвижной системе К частота связана с волновым вектором равенством ио = ск. Таким образом, мы приходим к соотношению ио = ^ . F8.5) 1 cos в с Этой формулой определяется связь между частотой ooq колеба- ний движущегося источника звука и частотой ио звука, слыши- мого неподвижным наблюдателем. Если источник удаляется от наблюдателя, то угол в между его скоростью и направлением приходящей в точку наблюдения волной заключен в пределах тг/2 < в ^ тг, так что cos в < 0. Из F8.5) следует, таким образом, что если источник движется, удаляясь от наблюдателя, то частота слышимого наблюдателем звука уменьшается (по сравнению сц). Напротив, для приближающегося к наблюдателю источника 0 ^ в < тг/2, так что cos в > 0, и частота со > ooq растет при увеличении скорости и. При и cos в > с согласно формуле F8.5) ио делается отрицательной, что соответствует тому, что слышимый наблюдателем звук будет в действительности доходить до него в обратном порядке, т. е. звук, излученный источником в более поздние моменты времени, дойдет до наблюдателя раньше, чем звук, излученный в более ранние моменты. Как было указано в начале § 67, приближение геометрической акустики соответствует случаю достаточно малых длин волн, § 68 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ДВИЖУЩЕЙСЯ СРЕДЕ 371 т. е. больших значений волнового вектора. Для этого, вообще говоря, частота звука должна быть достаточно велика. Однако в акустике движущихся сред последнее условие становится не обя- зательным, если скорость движения среды превосходит скорость звука. Действительно, в этом случае к может быть большим да- же при равной нулю частоте: из F8.1) получаем при ио = 0 урав- нение ск = -uk, F8.6) которое имеет решения, если и > с. Таким образом, в среде, движущейся со сверхзвуковыми скоростями, могут существовать стационарные малые возмущения, описывающиеся (при доста- точно больших к) геометрической акустикой. Это значит, что такие возмущения будут располагаться вдоль определенных ли- ний—лучей. Рассмотрим, например, однородный сверхзвуковой поток, движущийся с постоянной скоростью и, направление которой выберем в качестве оси х. Компоненты вектора к, лежащего в плоскости жу, связаны соотношением (и2-с2)к2х = с2к2у, F8.7) получающимся путем возведения в квадрат обеих частей равен- ства F8.6). Для определения формы лучей воспользуемся урав- нениями геометрической акустики F7.4), согласно которым дио . дио х = , у = . дкх дку Разделив одно из этих уравнений на другое, получим dy _ dx дио/дкх Но это отношение есть согласно правилу дифференцирования неявных функций не что иное, как производная —дкх/дку (взя- тая при постоянной, в данном случае равной нулю, частоте). Та- ким образом, уравнение, определяющее форму лучей по задан- ной зависимости между кх и ку, гласит: dx дку Подставив сюда F8.7), получим При постоянном и это уравнение определяет два прямолинейных луча, пересекающих ось х под углами ±а, где sin a = с/и. 372 звук гл. viii К подробному изучению этих лучей мы возвратимся в газо- динамике, в которой они играют большую роль.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Распространение звука в движущейся среде» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 