Распределение температуры в жидкости при очень больших числах Рейнольдса обнаруживает особенности, аналогичные тем, которыми обладает и само распределение скоростей. Очень боль- шие значения R эквивалентны очень малой вязкости. Но по- скольку число Р = vjx не бывает очень малым, то вместе с v должен рассматриваться как малый и коэффициент темпера- туропроводности х- Это соответствует тому, что при достаточ- но больших скоростях движения жидкость может приближенно рассматриваться как идеальная,— в идеальной жидкости долж- ны отсутствовать как процессы внутреннего трения, так и про- цессы теплопроводности. Такое рассмотрение, однако, опять будет неприменимо в при- стеночном слое жидкости, поскольку при нем не будут выпол- няться на поверхности тела ни граничное условие прилипания, ни условие одинаковости температур жидкости и тела. В резуль- тате в пограничном слое происходит наряду с быстрым падением скорости также и быстрое изменение температуры жидкости до значения, равного температуре поверхности твердого тела. По- граничный слой характеризуется наличием в нем больших гра- диентов как скорости, так и температуры. § 54 ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ 295 Что касается распределения температуры в основном объеме жидкости, то легко видеть, что при обтекании нагретого тела (при больших R) нагревание жидкости будет происходить прак- тически только в области следа, между тем как вне следа темпе- ратура жидкости не изменится. Действительно, при очень боль- ших R процессы теплопроводности в основном потоке не игра- ют практически никакой роли. Поэтому температура изменит- ся только в тех местах пространства, в которые попадает при своем движении нагретая в пограничном слое жидкость. Но мы знаем (см. § 35), что из пограничного слоя линии тока выходят в область основного потока только за линией отрыва, где они попадают в область турбулентного следа. Из области же следа линии тока в окружающее пространство уже не выходят. Таким образом, текущая мимо поверхности нагретого тела в погранич- ном слое жидкость попадает целиком в область следа, в котором и остается. Мы видим, что тепло оказывается распределенным в тех же областях, в которых имеется отличная от нуля завихрен- ность. Внутри самой турбулентной области происходит интенсив- ный теплообмен, обусловленный сильным перемешиванием жид- кости, которое характерно для всякого турбулентного движе- ния. Такой механизм теплопередачи можно назвать турбулент- ной температуропроводностью и характеризовать соответствую- щим коэффициентом Хтурб? подобно тому как мы ввели понятие о коэффициенте турбулентной вязкости г/турб (§ 33). По поряд- ку величины коэффициент турбулентной температуропровод- ности определяется такой же формулой, как и щуф C3.2): Хтурб ' Таким образом, процессы теплопередачи в ламинарном и тур- булентном потоках являются принципиально различными. В пре- дельном случае сколь угодно малых вязкости и теплопроводно- сти в ламинарном потоке процессы теплопередачи вообще отсут- ствуют и температура жидкости в каждом месте пространства не меняется. Напротив, в турбулентно движущейся жидкости в том же предельном случае теплопередача происходит и приводит к быстрому выравниванию температуры в различных участках потока. Рассмотрим сначала теплопередачу в ламинарном погранич- ном слое. Уравнения движения C9.13) сохраняют свой вид. Ана- логичное упрощение должно быть произведено теперь и для уравнения E3.2). Написанное в раскрытом виде это уравнение имеет вид (все величины не зависят от координаты z): дТ , дТ (д2Т , д2Т 296 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ ГЛ. V В правой его части можно пренебречь производной д2Т/дх2 по сравнению с <Э2Т/<Эу2, так что остается дТ . дТ д2Т /к/1 1\ vx— + vy— = v . E4.1) ох ду ду2 Из сравнения этого уравнения с первым из уравнений C9.13) ясно, что если число Прандтля — порядка единицы, то порядок величины S толщины слоя, в котором происходит падение ско- рости vx и изменение температуры Т, будет по-прежнему опре- деляться полученными в § 39 формулами, т. е. будет обратно пропорционален л/R. Поток тепла дТ Тх - Т2 о = —ус— ~ ус . 4 дп 6 Поэтому мы приходим к результату, что д, а вместе с ним и число Нуссельта, прямо пропорционально vR. Зависимость же N от Р остается неопределенной. Таким образом, получаем N = \/R/(P). E4.2) Отсюда, в частности, следует, что коэффициент теплопередачи а обратно пропорционален корню из размеров / тела. Перейдем теперь к теплопередаче в турбулентном погранич- ном слое. При этом удобно, как и в § 42, рассмотреть бесконеч- ный плоскопараллельный турбулентный поток, текущий вдоль бесконечной плоской поверхности. Поперечный градиент темпе- ратуры dT/dy в таком потоке может быть определен из таких же соображений размерности, какие были использованы для нахо- ждения градиента скорости du/dy. Обозначим через q плотность потока тепла вдоль оси у, вызванного наличием градиента тем- пературы. Этот поток является такой же постоянной (не завися- щей от у) величиной, какой является поток импульса а, и наряду с ним может рассматриваться как заданный параметр, опреде- ляющий свойства потока. Кроме того, мы имеем теперь в каче- стве параметров плотность р и теплоемкость ср единицы массы жидкости. Вместо а введем в качестве параметра величину г;*; q и ср обладают размерностями соответственно эрг/с • см2 = г/с3 и эрг/г • град = см2/с2 • град. Что касается коэффициентов вяз- кости и теплопроводности, то они при достаточно больших R не могут входить в dT/dy явно. В силу упоминавшейся уже в § 53 однородности уравнений по температуре можно изменить температуру в любое число раз без того, чтобы нарушить уравнения. Но при изменении температу- ры должен во столько же раз измениться и поток тепла. Поэтому q и Т должны быть пропорциональны друг другу. Но из д, г>*, р, ср и у можно составить всего только одну величину, которая § 54 ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ 297 имеет размерность град/см и в то же время пропорциональна q. Такой величиной является q/(pcpv*y). Поэтому должно быть ay pcpxv*y где /3 есть числовая постоянная, которая должна быть определе- на экспериментально . Отсюда имеем Т = /3—q— (In у + с). E4.3) >cpcv Таким образом, температура, как и скорость, распределена по логарифмическому закону. Входящая сюда постоянная интегри- рования с, как и при выводе D2.7), должна быть определена из условий в вязком подслое. Полная разность между температу- рой жидкости в данной точке и температурой стенки (которую мы принимаем условно за нуль) складывается из падения тем- пературы в турбулентном слое и ее падения в вязком подслое. Логарифмическим законом E4.3) определяется только первое из них. Поэтому, если написать E4.3) в виде fin У^- + const), \ v / Т = введя под знаком логарифма множителем толщину уо5 то const (умноженная на множитель, стоящий перед скобкой) должна представлять собой изменение температуры в вязком подслое. Это изменение зависит, конечно, и от коэффициентов v и х- По- скольку const есть величина безразмерная, то она должна иметь вид некоторой функции от числа Р, являющегося единственной безразмерной комбинацией, которую можно составить из имею- щихся в нашем распоряжении величин v, %, P-, v*? ср (что каса- ется потока тепла д, то он не может входить в const, поскольку Т должно быть пропорционально g, a q входит уже в множитель перед скобкой). Таким образом, получаем закон распределения температуры в виде [ 1 E4.4) {Л.Д. Ландау, 1944). Эмпирическое значение постоянной /3 в этом выражении: /3 ~ 0,9. Значение функции / для воздуха: /@,7) «1,5. 1) Здесь х — постоянная Кармана, входящая в логарифмический профиль скоростей D2.4). При таком определении /3 = ^Турб/ХтуРб, где ^турб и хтуРб — коэффициенты в соотношениях дТ ди Я. = рСрХтурб — , о- = рмгурб —. ду ду 298 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ ГЛ. V С помощью формулы E4.4) можно рассчитать теплопереда- чу при турбулентном течении по трубе, при обтекании плоской пластинки и т. п. Мы не станем останавливаться здесь на этом.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теплопередача в пограничном слое» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Отсюда имеем 