Рассмотрим теплопроводность в неограниченной неподвиж- ной среде. Наиболее общей постановкой задачи является следую- щая. В начальный момент времени t = 0 задано распределение температуры во всем пространстве: Т = Т0(г) при * = 0, где Tq (г) — заданная функция координат. Требуется определить распределение температуры во все последующие моменты вре- мени. Разложим искомую функцию T(r, t) в интеграл Фурье по ко- ординатам: |k^ J(r,t)e-^rd3x. E1.1) Для каждой фурье-компоненты температуры, Ткегкг, уравнение E0.4) дает ^ + к2ХТк = 0, dt откуда находим зависимость Т^ от времени: Поскольку при t = 0 должно быть Т = Tq(г), то ясно, что представляет собой коэффициенты фурье-разложения функции ok = / ^o(r j § 51 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ 281 Таким образом, находим Т(г, t) = v 7 BтгK Интеграл по с/3 к разбивается на произведение трех одинаковых интегралов вида где ? — одна из компонент вектора к (аналогичный интеграл с sin вместо cos исчезает в силу нечетности функции sin). В результате получаем окончательно следующее выражение: Эта формула полностью решает поставленную задачу, опре- деляя распределение температуры в любой момент времени по ее заданному распределению в начальный момент. Если начальное распределение температуры зависит только от одной координаты ж, то, произведя в E1.2) интегрирование по dyf dzf, получим ОО ^ / Ы^Ч*'¦ <м-з> Пусть при t = 0 температура равна нулю во всем простран- стве, за исключением одной точки (начала координат), в кото- рой она принимает бесконечно большое значение, но так, что пол- ное количество тепла, пропорциональное интегралу /ТЬ(г)с/3ж, остается конечным. Такое распределение можно представить S- функцией: То (г) = const -5®. E1.4) Интегрирование в формуле E1.2) сводится тогда просто к за- мене г7 нулем, в результате чего получаем Г(г, t) = const ¦ _l_7-e-VDx*). E1.5) С течением времени температура в точке г = 0 падает как ?~3/2. Одновременно повышается температура в окружающем про- странстве, причем область заметно отличной от нуля темпера- туры постепенно расширяется (рис. 39). Ход этого расширения определяется в основном экспоненциальным множителем в E1.5): порядок величины / размеров этой области дается 282 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ ГЛ. V выражением E1.6) т. е. растет пропорционально корню из времени. Аналогично, если в начальный момент времени конечное ко- личество тепла сконцентрировано в плоскости х = 0, то в по- следующее время распределение температуры Tt | определится формулой 1 t) = const E1.7) V J Рис. 39 Формулу E1.6) можно истолковать с не- сколько иной точки зрения. Пусть / есть по- рядок величины размеров тела. Тогда можно утверждать, что если это тело было неравно- мерно нагрето, то порядок величины времени т, в течение которого температуры в разных точ- ках тела заметно выравнятся, равен т~/2/х- E1-8) Время т, которое можно назвать временем релаксации для процесса теплопроводности, пропорционально квадрату размеров тела и обратно пропорционально коэффициенту тем- пературопроводности . Процесс теплопроводности, описываемый полученными здесь формулами, обладает тем свойством, что влияние всякого тепло- вого возмущения распространяется мгновенно на все простран- ство. Так, из формулы E1.5) видно, что тепло из точечного ис- точника распространяется так, что уже в следующий момент времени температура среды обращается в нуль лишь асимптоти- чески на бесконечности. Это свойство сохраняется и для среды с зависящей от температуры температуропроводностью %, если только эта зависимость не приводит к обращению х в нуль в ка- кой-либо области пространства. Если же х есть функция темпе- ратуры, убывающая и обращающаяся в нуль вместе с нею, то это приводит к такому замедлению процесса распространения тепла, в результате которого влияние любого теплового возмущения бу- дет простираться в каждый момент времени лишь на некоторую конечную область пространства; речь идет о распространении тепла в среду, температуру которой (вне области влияния) мож- но считать равной нулю (Я.Б. Зельдович, А.С. Компанеец, 1950; им же принадлежит решение приведенных ниже задач).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теплопроводность в неограниченной среде» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
