В конце § 2 было указано, что полная система гидродинами- ческих уравнений должна содержать пять уравнений. Для жид- кости, в которой имеют место процессы теплопроводности и вну- треннего трения, одним из этих уравнений является по-преж- нему уравнение непрерывности; уравнения Эйлера заменяются уравнениями Навье-Стокса. Что же касается пятого уравнения, то для идеальной жидкости им является уравнение сохранения энтропии B.6). В вязкой жидкости это уравнение, разумеется, не имеет места, поскольку в ней происходят необратимые процессы диссипации энергии. В идеальной жидкости закон сохранения энергии выражается уравнением F.1): Слева стоит скорость изменения энергии единицы объема жид- кости, а справа — дивергенция плотности потока энергии. В вяз- кой жидкости закон сохранения энергии, конечно, тоже имеет место: изменение полной энергии жидкости в некотором объеме (в 1 с) должно быть по-прежнему равно полному потоку энергии через границы этого объема. Однако плотность потока энергии выглядит теперь иным образом. Прежде всего помимо потока pv(v2 /2 + w), связанного с простым переносом массы жидкости при ее движении, имеется еще поток, связанный с процессами внутреннего трения. Этот второй поток выражается вектором — (vcr7) с компонентами Vi<jfik (см. § 16). Этим, однако, не исчерпы- ваются все дополнительные члены в потоке энергии. Если температура жидкости не постоянна вдоль ее объема, то наряду с обоими указанными механизмами переноса энергии будет происходить перенос тепла также и посредством так назы- ваемой теплопроводности. Под этим подразумевается непосред- ственный молекулярный перенос энергии из мест с более высо- кой в места с более низкой температурой. Он не связан с макро- скопическим движением и происходит также и в неподвижной жидкости. 270 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ ГЛ. V Обозначим через q плотность потока тепла, переносимого посредством теплопроводности. Поток q связан некоторым об- разом с изменением температуры вдоль жидкости. Эту зависи- мость можно написать сразу в тех случаях, когда градиент тем- пературы в жидкости не слишком велик; практически в явле- ниях теплопроводности мы почти всегда имеем дело именно с такими случаями. Мы можем тогда разложить q в ряд по сте- пеням градиента температуры, ограничившись первыми члена- ми разложения. Постоянный член в этом разложении, очевидно, исчезает, поскольку q должно обращаться в нуль вместе с VT. Таким образом, получаем q = -xVT. D9.1) Постоянная ус называется теплопроводностью. Она всегда по- ложительна, — это видно уже из того, что поток энергии должен быть направлен из мест с более высокой в места с более низкой температурой, т. е. q и VT должны иметь противоположные на- правления. Коэффициент ус является, вообще говоря, функцией температуры и давления. Таким образом, полная плотность потока энергии в жидкости при наличии вязкости и теплопроводности равна сумме - (уст1) - ycVT. Соответственно этому общий закон сохранения энергии выража- ется уравнением ?) / 2 \ г / 2 \ 1 — ( — + ре ) = — div pv f — + w) — (vcr7) — xVT . D9.2) dt\ 2 r J 1:42 /v/ J vy Это уравнение можно было бы выбрать в качестве послед- него из полной системы гидродинамических уравнений вязкой жидкости. Удобно, однако, придать ему другой вид, преобразо- вав его с помощью уравнений движения. Для этого вычислим производную по времени от энергии единицы объема жидкости, исходя из уравнений движения. Имеем д (Pv2 I \ — v2 дР _l_ dv де dp Подставляя сюда dp/dt из уравнения непрерывности и dv/dt из уравнения Навье-Стокса, получим dt\ 2 И J 2 И ИУ J 2 F дхк + 9 § 49 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА 271 Воспользуемся теперь термодинамическим соотношением de = Tds -pdV = Tds + 2- dp, P2 откуда де=тдз р_др=тдз_р_ Подставляя это и вводя тепловую функцию w = e+p/p, находим р at гаЖ/г Далее, из термодинамического соотношения dw = Тс/5 + dp/p имеем Vp = pVw - pTVs. Последний ж:е член в правой части равенства можно написать в виде щ~аГк = *rSVia*) ~ °^k " dlv(v<T} " ^^' Подставляя эти выражения, прибавляя и вычитая div(xVT), по- лучим i{eY+p?) = -div [pw (у+w) -(v<j/) - xVT]+ + рт(| + vVS) - a^g - div(xVT). D9.3) Сравнив это выражение для производной от энергии единицы объема с выражением D9.2), получим следующее уравнение: D9.4) Мы будем называть это уравнение общим уравнением переноса тепла. При отсутствии вязкости и теплопроводности его правая часть обращается в нуль и получается уравнение сохранения эн- тропии B.6) идеальной жидкости. Нужно обратить внимание на следующее истолкование урав- нения D9.4). Стоящее слева выражение есть не что иное, как умноженная на рТ полная производная от энтропии по времени ds/dt. Последняя определяет изменение энтропии данной пере- двигающейся в пространстве единицы массы жидкости; Тds/dt 272 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ ГЛ. V есть, следовательно, количество тепла, получаемого этой едини- цей массы в единицу времени, a pTds/dt — количество тепла, от- несенное к единице объема. Из D9.4) мы видим поэтому, что количество тепла, получаемого единицей объема жидкости, есть Первый член здесь представляет собой энергию, диссипируемую в виде тепла благодаря вязкости, а второй — тепло, приносимое в рассматриваемый объем посредством теплопроводности. Раскроем первый член в правой части уравнения D9.4), под- ставив в него выражение A5.3) для a'ik: . dvk 2 x dvt \ . > dv{ x dvt k OXi 3 OX\ J OX к OX\ Легко проверить, что первый член может быть написан в виде г] I dvj dvk _ 2, dvi \ 2 \дхк дхг 3 ikdxj ' а во втором имеем Таким образом, уравнение D9.4) приобретает вид + vVS) = div(xVT) + *(р- + ^ - 2-6гк^- dt J 2 \dxk dxi 3 dxi J + C(div vJ. D9.5) В результате необратимых процессов теплопроводности и внутреннего трения энтропия жидкости возрастает. Речь идет при этом, конечно, не об энтропии каждого элемента объема жидкости в отдельности, а о полной энтропии всей жидкости, равной интегралу J psdV. Изменение энтропии в единицу вре- мени определяется производной С помощью уравнения непрерывности и уравнения D9.5) имеем dips) ds . dp -,. __ l ,. , т-7гГ\ , —?-L = п— + S-L = —s div рлг — pvVs + — div(xVT) + dt dt dt T + л_(д^ + дщ_ is дЛ2 + i(div vJ> 2T\dxk dxi 3 гКдх, J TV ' § 49 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА 273 Первые два члена дают в сумме — div(psv). Интеграл по объему от этого члена преобразуется в интеграл от потока энтропии psv по поверхности. Рассматривая неограниченный объем жидкости, покоящейся на бесконечности, мы можем стремить граничную поверхность на бесконечность; тогда подынтегральное выраже- ние в поверхностном интеграле обращается в нуль и интеграл исчезает. Интеграл от третьего члена преобразуется следующим образом: W T J Считая, что температура жидкости на бесконечности достаточно быстро стремится к постоянному пределу, преобразуем первый интеграл в интеграл по бесконечно удаленной поверхности, на которой VT = 0, так что интеграл тоже исчезает. В результате получается: \дхк дхг 3 dxj + /^(div vfdV. D9.6) Первый член представляет собой увеличение энтропии благода- ря теплопроводности, а остальные два — увеличение энтропии, обусловленное внутренним трением. Энтропия может только возрастать, т. е. сумма D9.6) должна быть положительна. С другой стороны, в каждом из членов этой суммы подынтегральное выражение может быть отлично от нуля даже при равенстве нулю двух других интегралов. Поэтому каж- дый из этих интегралов должен быть всегда положителен. От- сюда следует наряду с известной уже нам положительностью ус и т\ также и положительность второго коэффициента вязкости (*. При выводе формулы D9.1) молчаливо подразумевалось, что поток тепла зависит только от градиента температуры и не за- висит от градиента давления. Это предположение, априори не очевидное, может быть оправдано теперь следующим образом. Если бы в q входил член, пропорциональный Vp, то в выраже- нии D9.6) для изменения энтропии прибавился бы еще член, со- держащий под интегралом произведение V^VT. Поскольку это последнее может быть как положительным, так и отрицатель- ным, то и производная от энтропии по времени не была бы су- щественно положительной, что невозможно. Наконец, необходимо уточнить изложенные выше рассужде- ния еще и в следующем отношении. Строго говоря, в термоди- намически неравновесной системе, каковой является жидкость при наличии в ней градиентов скорости и температуры, обыч- ные определения термодинамических величин теряют смысл и 274 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ ГЛ. V должны быть уточнены. Подразумевавшиеся нами здесь опре- деления заключаются прежде всего в том, что р, е и v опре- деляются по-прежнему: р и ре есть масса и внутренняя энергия, заключенные в единице объема, a v есть импульс единицы массы жидкости. Остальные же термодинамические величины опреде- ляются затем как те функции от р и ?, которыми они являются в состоянии теплового равновесия. При этом, однако, энтропия s = = s(e, р) уже не будет истинной термодинамической энтропией: интеграл / psdV не будет, строго говоря, той величиной, кото- рая должна возрастать со временем. Тем не менее, легко видеть, что при малых градиентах скорости и температуры в принятом нами здесь приближении s совпадает с истинной энтропией. Действительно, при наличии градиентов в энтропии появля- ются, вообще говоря, связанные с ними дополнительные (по от- ношению к s(р, е)) члены. На изложенных выше результатах, однако, могли бы сказаться лишь линейные по градиентам чле- ны (например, член, пропорциональный скаляру divv). Такие члены неизбежно могли бы принимать как положительные, так и отрицательные значения. Между тем они должны быть суще- ственно отрицательными, так как равновесное значение s = = s(р, е) является максимально возможным. Поэтому разло- жение энтропии по степеням малых градиентов может содер- жать (помимо нулевого члена) лишь члены начиная со второго порядка. Аналогичные замечания должны были быть по существу сде- ланы уже в § 15 (ср. примеч. на с. 72), так как уже наличие градиента скорости является термодинамической неравновесно- стью. Именно, под давлением р, которое входит в выражение для тензора плотности потока импульса в вязкой жидкости, следует понимать ту функцию р = р(е, р), которой она является в со- стоянии теплового равновесия. При этом р не будет уже, строго говоря, давлением в обычном смысле слова, т. е. не будет совпа- дать с нормальной силой, действующей на элемент поверхности. В отличие от того, что было сказано выше об энтропии, здесь различие проявляется уже в величинах первого порядка по ма- лому градиенту: мы видели, что в нормальной компоненте си- лы наряду с р появляется еще и член, пропорциональный div v (в несжимаемой жидкости этот член отсутствует и там разница имеет место лишь в членах более высокого порядка). Таким образом, три коэффициента г/, ?, х, фигурирующие в системе уравнений движения вязкой теплопроводящей жидко- сти, полностью определяют гидродинамические свойства жидко- сти в рассматриваемом, всегда применяемом приближении (т. е. при пренебрежении производными высших порядков по коорди- натам от скорости, температуры и т. п.). Введение в уравнения каких-либо дополнительных членов (например, введение в плот- § 50 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 275 ность потока массы членов, пропорциональных градиентам плот- ности или температуры) лишено физического смысла и означало бы в лучшем случае лишь изменение определения основных ве- личин; в частности, скорость не совпадала бы с импульсом еди- ницы массы жидкости .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Общее уравнение переноса тепла» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 