Тот факт, что мы получили для плоско-параллельного тур- булентного потока логарифмический закон распределения скоро- стей формально во всем пространстве, связан с тем, что рассма- тривалось течение вдоль стенки, площадь которой бесконечна. При течении же вдоль поверхности реальных конечных тел лога- рифмическим профилем обладает лишь движение на небольших расстояниях от поверхности — в пограничном слое. Толщина пограничного слоя растет вниз по течению вдоль обтекаемой поверхности (закон этого возрастания будет найден ниже). Это объясняет, почему при течении по трубе логарифми- ческий профиль имеет место вдоль всего сечения трубы. Толщи- на пограничного слоя у стенки трубы растет, начиная от входа в трубу. Уже на некотором конечном расстоянии от входа погра- ничный слой как бы заполняет собой все сечение трубы. Поэтому если рассматривать трубу как достаточно длинную и не интере- соваться ее начальным участком, то течение во всем ее объеме будет того же типа, как и в турбулентном пограничном слое. Напомним, что аналогичное положение имеет место и для ла- минарного течения по трубе. Оно всегда описывается формулой A7.9); роль вязкости в нем проявляется на всех расстояниях от стенки и никогда не бывает ограничена тонким пристеночным слоем жидкости. Падение средней скорости как в турбулентном, так и в ла- минарном пограничном слое, обусловливается в конечном итоге вязкостью жидкости. Однако влияние вязкости проявляется в турбулентном пограничном слое очень своеобразно. Самый ход изменения средней скорости в слое не зависит непосредственно от вязкости; вязкость входит в выражение для градиента скоро- сти только в вязком подслое. Общая же толщина пограничного слоя определяется вязкостью и обращается в нуль вместе с ней (см. ниже). Если бы вязкость была в точности равна нулю, то никакого пограничного слоя вовсе не было бы. Применим полученные в предыдущем параграфе результаты к турбулентному пограничному слою, образующемуся при об- текании тонкой плоской пластинки, — таком же, какое было рас- смотрено в § 39 для ламинарного течения. На границе турбулент- ного слоя скорость жидкости почти равна скорости U основного потока. С другой стороны, для определения этой скорости на 252 пограничный слой гл. iv границе мы можем (с логарифмической точностью) воспользо- ваться формулой D2.7), подставив в нее вместо у толщину по- граничного слоя 6 г) . Сравнив оба выражения, получим U = ^ln^. D4.1) Здесь U играет роль постоянного параметра; толщина же S ме- няется вдоль пластинки, а вместе с ней является, следовательно, медленно меняющейся функцией от ж и величина г>*. Для опре- деления этих функций формула D4.1) недостаточна; необходимо получить еще какое-нибудь соотношение, которое бы связывало г;* и 6 с х. Для этого воспользуемся теми же соображениями, с помощью которых была получена формула C7.3) для ширины турбулент- ного следа. Как и там, производная dS/dx должна быть порядка величины отношения скорости вдоль оси у на границе слоя к ско- рости вдоль оси х на той же границе. Вторая из них — порядка [/, что же касается поперечной скорости, то она обязана пульса- ционному движению и потому — порядка г>*. Таким образом, dd v* dx U откуда 8~^. D4.2) U v J Формулы D4.1) и D4.2) определяют вместе зависимость г>* и 6 от расстояния х 2) . Эта зависимость, однако, не может быть написа- на в явном виде. Ниже мы выразим 6 через некоторую вспомога- тельную величину. Но поскольку г>* есть медленно меняющаяся функция от ж, то уже из D4.2) видно, что толщина слоя меняется в основном пропорционально х. Напомним, что толщина лами- нарного пограничного слоя растет как ж1/2, т. е. медленнее, чем в турбулентном слое. Определим зависимость от х силы трения <т, действующей на единицу площади поверхности пластинки. Эта зависимость определяется двумя формулами: (J = pv*, U=—ln—. к Uv Вторая из них получается подстановкой D4.2) в D4.1) и обладает логарифмической точностью. Введем коэффициент сопротивле- Фактически логарифмический профиль наблюдается не на всей толщине пограничного слоя. Последние 20-25 % набора скорости на его наружной стороне происходят быстрее, чем по логарифмическому закону. Эти откло- нения связаны, по-видимому, с нерегулярными колебаниями границы слоя (ср. сказанное в конце § 35 о границах турбулентных областей). ) Строго говоря, расстояние х должно отсчитываться примерно от места перехода ламинарного слоя в турбулентный. § 45 КРИЗИС СОПРОТИВЛЕНИЯ 253 ния с (отнесенный к единице площади поверхности пластинки), определяемый как безразмерное отношение V-^Y. D4.3) Тогда, исключая г;* из двух написанных уравнений, получим следующее уравнение, определяющее (с логарифмической точ- ностью) в неявном виде зависимость с от х: Rx = —. D4.4) v Определяемый этой формулой коэффициент сопротивления с является медленно убывающей функцией расстояния х. Через эту функцию можно выразить толщину пограничного слоя. Имеем а тт с р Подставив это в D4.2), находим 5 = const • ху/с. D4.5) Эмпирическое значение коэффициента в этой формуле — около 0,3. Аналогичным образом можно получить формулы для тур- булентного пограничного слоя на шероховатой поверхности. Со- гласно формуле D2.13) вместо D4.1) имеем теперь тт V * 1 8 U = —In-, к а где d — размеры выступов шероховатости. Подставив сюда S из D4.2), получим или, введя сюда коэффициент сопротивления D4.3): п^. D4.6)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Турбулентный пограничный слой» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Фактически логарифмический профиль наблюдается не на всей толщине 