При описании явления отрыва (§ 35) уже было указано, что реальное положение линии отрыва на поверхности обтекаемо- го тела определяется свойствами движения в пограничном слое. Мы увидим ниже, что в математическом отношении линия отры- ва есть линия, точки которой являются особыми точками реше- ний уравнений движения в пограничном слое (уравнений Пран- дтля). Задача состоит в том, чтобы определить свойства этих решений вблизи такой особой линии х) . От линии отрыва отходит, как мы знаем, уходящая в глубь жидкости поверхность, ограничивающая область турбулентно- го движения. Движение по всей турбулентной области является вихревым, между тем как при отсутствии отрыва оно было бы вихревым лишь в пограничном слое, где существенна вязкость жидкости, а в основном потоке ротор скорости отсутствовал бы. Поэтому можно сказать, что при отрыве происходит проникно- вение ротора скорости из пограничного слоя в глубь жидкости. Но в силу закона сохранения циркуляции скорости такое про- никновение может произойти только путем непосредственного перемещения движущейся вблизи поверхности тела (в погранич- ном слое) жидкости в глубь основного потока. Другими словами, должен произойти как бы «отрыв» течения в пограничном слое от поверхности тела, в результате чего линии тока выходят из пристеночного слоя в глубь жидкости. (Поэтому и называют это явление отрывом или отрывом пограничного слоя.) Уравнения движения в пограничном слое приводят, как мы видели, к результату, что в пограничном слое тангенциальная ) Излагаемая здесь, несколько отличная от обычной трактовка вопроса принадлежит Л.Д. Ландау A944). 232 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГЛ. IV составляющая скорости (vx) велика по сравнению с нормальной к поверхности тела компонентой (vy). Такое соотношение меж- ду vx и Vy органически связано с основными предположениями о характере движения в пограничном слое и должно необходи- мым образом соблюдаться везде, где уравнения Прандтля имеют физически осмысленные решения. Математически оно во всяком случае имеет место во всех точках, не лежащих в непосредствен- ной близости от особых точек. Но если vy<^vXi то это значит, что жидкость движется вдоль поверхности тела, практически не от- клоняясь от нее, так что никакого отрыва течения произойти не может. Таким образом, мы приходим к выводу, что отрыв может произойти лишь на той линии, точки которой являются особыми для решения уравнений Прандтля. Характер этих особенностей тоже непосредственно следует из сказанного. Действительно, дойдя до линии отрыва, течение от- клоняется, переходя из области пограничного слоя в глубь жид- кости. Другими словами, нормальная составляющая скорости пе- рестает быть малой по сравнению с тангенциальной и делается по крайней мере одного с нею порядка величины. Мы видели (см. C9.11)), что отношение vy/vx ~ R~1/2, так что возрастание vy до vy ~ vx означает увеличение в л/R раз. Поэтому при доста- точно больших числах Рейнольдса (о которых, разумеется, толь- ко и идет речь) можно считать, что vy возрастает в бесконечное число раз. Если перейти в уравнениях Прандтля к безразмер- ным величинам (см. C9.10)), то описанное положение формаль- но означает, что безразмерная скорость v'y в решении уравнений становится на линии отрыва бесконечной. Будем рассматривать для некоторого упрощения дальнейше- го исследования двумерную задачу о поперечном обтекании бес- конечно длинного тела. Как обычно, х будет координатой вдоль поверхности тела в направлении течения, а координата у будет расстоянием от поверхности тела. Вместо линии отрыва здесь можно говорить о точке отрыва, подразумевая пересечение ли- нии отрыва с плоскостью ху\ в выбранных координатах это есть точка х = const = жо, У = 0. Область до точки отрыва пусть соответствует х < xq. Согласно полученным результатам при х = xq имеем при всех у vy(x0, у) = оо. D0.1) Но в уравнениях Прандтля скорость vy является своего рода вспомогательной величиной, которой при исследовании движе- ния в пограничном слое обычно не интересуются (в связи с ее ) Кроме только точки у = 0, в которой всегда должно быть vy = 0 согласно граничным условиям на поверхности тела. § 40 ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ЛИНИИ ОТРЫВА 233 малостью). Поэтому желательно выяснить, какими свойствами обладает вблизи линии отрыва функция vx. Из D0.1) ясно, что при х = xq обращается в бесконечность также и производная dvy/dy. Из уравнения непрерывности ^± + <Ч = о D0.2) дх ду v J следует тогда, что и производная dvx/dx делается бесконечной при х = жо, или I1 =0, D0.3) где х рассматривается как функция от vx и у, а г>о(у) = ^ж(ж(ь у)- Вблизи точки отрыва разности vx — vq и xq — х малы, и можно разложить xq — х в ряд по степеням vx — vq (при заданном у). В силу условия D0.3) член первого порядка в этом разложении тождественно выпадает, и с точностью до члена второго порядка имеем xq -х = f(y)(vx -v0J или vx = Щ(у) + а(у)лМ) ~ж> D0-4) где а = f~1'2 —некоторая функция только от у. Написав теперь dvy _ _chx_ _ а(у) ду и интегрируя, получаем ^L D0.5) Хо — X где /3(у) — снова функция от у. Далее, воспользуемся уравнением C9.5): dvx , dvx d2vx 1 dp г лп г\ дх ду ду2 р ax Производная d2vx/dy2 не обращается, как это видно из D0.2), при х = xq в бесконечность. То же самое относится и к величине dp/dx, определяющейся движением вне пограничного слоя. Оба же члена в левой части уравнения D0.6) обращаются, каждый в отдельности, в бесконечность. В первом приближении можно, следовательно, написать для области вблизи точки отрыва дх у ду С учетом уравнения непрерывности D0.2), переписываем это уравнение в виде dvv dvx 2 д vv n vT—- — vqj = vt = 0. ду У ду xdyvx 234 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГЛ. IV Поскольку при х = xq скорость vXi вообще говоря, не обращается в нуль, то отсюда следует, что отношение vy/vx не зависит от у. С другой стороны, из D0.4) и D0.5) имеем с точностью до членов высшего порядка Для того чтобы это выражение было функцией только от ж, необ- ходимо: /3(у) = 1/2Avo(y), где А — численная постоянная. Таким образом, jVL D07) Наконец, замечая, что функции а и /3 в D0.4) и D0.5) связаны друг с другом уравнением а = 2/3', получаем а = Adv^/dy, так что ^ D0.8) Формулы D0.7), D0.8) определяют характер зависимости функций vx и vy от х вблизи точки отрыва. Мы видим, что обе они оказываются разложимыми в этой области по степеням кор- ня (xq — жI/2, причем разложение vy начинается с члена (—1)-й степени, так что vy обращается при х —>• ж о в бесконечность, как (xq—х)~1/2. При ж > жо, т. е. за точкой отрыва, разложение D0.7), D0.8) физически неприменимо, так как корни делаются мнимы- ми; это свидетельствует о физической бессмысленности продол- жения за точку отрыва решений уравнений Прандтля, описы- вающих движение до этой точки. В силу граничных условий на самой поверхности тела должно быть всегда vx = vy = 0 при у = 0. Из D0.7) и D0.8) заключаем поэтому, что г>0@)=0, ^ =0. D0.9) dy y=0 Таким образом, мы приходим к важному результату, что в са- мой точке отрыва (х = жо, У = 0) обращается в нуль не только скорость ^, но и ее первая производная по у (этот результат принадлежит Прандтлю). Необходимо подчеркнуть, что равенство dvx/dy = 0 на ли- нии отрыва имеет место лишь постольку, поскольку при этом же х обращается в бесконечность vy. Если бы постоянная А в D0.7) случайно оказалась равной нулю (а потому не было бы и vv(xq, у) = оо), то точка х = жо, У = 0, в которой обращает- ся в нуль производная dvx/dy, не была бы ничем замечательна и во всяком случае не была бы точкой отрыва. Обращение А в нуль может, однако, произойти лишь чисто случайно и поэтому § 40 ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ЛИНИИ ОТРЫВА 235 невероятно. Практически, следовательно, точка на поверхности тела, в которой dvx/dy = 0, всегда является в то же время точкой отрыва. Если бы в точке х = xq не возник отрыв (т. е. если А = 0), то при х > xq было бы (dvx/' ду)\у=о < 0, т. е. при удалении от стенки (при достаточно малых у) vx делалось бы отрицательным, уве- личиваясь по абсолютной величине. Другими словами, за точкой х = xq жидкость двигалась бы в нижних слоях пограничного слоя в направлении, обратном основному потоку; возникло бы «подтекание» жидкости к этой точке. Подчеркнем, что из тако- го рода рассуждений еще отнюдь нельзя было бы делать вывод о необходимости отрыва в точке, где dvx/dy = 0; вся картина течения с подтеканием могла бы (как это и было бы при А = 0) находиться целиком в области пограничного слоя, не выходя в область основного потока, между тем как для отрыва характерен именно выход течения в основной объем жидкости. В предыдущем параграфе было показано, что картина дви- жения в пограничном слое остается при изменении числа Рей- ноль дса подобной самой себе, причем, в частности, масштабы по координате х остаются неизменными. Отсюда следует, что значе- ние xq координаты ж, при котором обращается в нуль производ- ная (dvx/dy)\y=Q, не меняется при изменении R. Таким образом, мы приходим к существенному выводу, что положение точки от- рыва на поверхности обтекаемого тела не зависит от числа Рей- ноль дса (до тех пор, разумеется, пока пограничный слой остается ламинарным; см. об этом § 45). Выясним еще, какими свойствами обладает распределение давления р(х) вблизи точки отрыва. При у = 0 левая часть урав- нения D0.6) обращается в нуль вместе с vx и vy и остается v d2vx ду2 _ 1 dp D0.10) y=Q рdx Отсюда видно, что знак dp/dx совпадает со знаком d2vx/dy2\y=Q. До тех пор, пока (dvx/dy)\y=Q > 0, о знаке второй производной ничего нельзя сказать. Но поскольку при удалении от стенки vx положительно и растет (в области до точки отрыва), то в самой точке х = жо, где dvx/dy = 0, должно во всяком случае быть d2vx/dy2\y=Q > 0. Отсюда заключаем, что dp dx > 0, D0.11) х=хо т. е. вблизи точки отрыва жидкость движется от более низкого давления к более высокому. Градиент давления связан с гради- ентом скорости U(x) вне пограничного слоя соотношением 1ф = _jjdU_ р dx dx 236 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГЛ. IV Поскольку положительное направление оси х совпадает с на- правлением основного потока, то U > О, и мы заключаем, что dU dx < О, D0.12) X=XQ т. е. вблизи точки отрыва скорость U падает в направлении те- чения. Из полученных результатов можно вывести заключение о том, что при обтекании тела в том или ином месте его поверхности должен произойти отрыв. Действительно, на заднем, как и на пе- реднем, конце тела имеется точка, в которой при потенциальном обтекании идеальной жидкостью скорость жидкости обращалась бы в нуль (критическая точка). Поэтому, начиная с некоторого значения ж, скорость U(x) должна была бы начать падать, обра- щаясь в конце концов в нуль. С другой стороны, ясно, что теку- щая вдоль поверхности тела жидкость тормозится тем сильнее, чем ближе к стенке находится рассматриваемый ее слой (т. е. чем меньше у). Поэтому, раньше чем обратилась бы в нуль ско- рость U(x) на внешней границе пограничного слоя, должна была бы обратиться в нуль скорость в непосредственной близости от стенки. Математически это, очевидно, означает, что производная dvx/ду во всяком случае должна была бы обратиться в нуль (а поэтому отрыв не может не возникнуть) при некотором ж, мень- шем, чем то его значение, при котором было бы U(x) = 0. В случае обтекания тел произвольной формы все вычисле- ния могут быть произведены совершенно аналогичным образом и приводят к результату, что на линии отрыва обращаются в нуль производные dvx/dy, dvz/dy от обеих касательных к по- верхности тела компонент скорости vx и vz (ось у по-прежнему направлена по нормали к рассматриваемому участку поверхно- сти тела). Приведем простое рассуждение, которое показывает необхо- димость возникновения отрыва в случаях, когда в отсутствие отрыва в обтекающем тело потоке жидкости имелось бы доста- точно быстрое возрастание давления (и соответственно этому па- дение скорости U) в направлении течения. Пусть на малом рас- стоянии Ах = Х2 — х\ давление р испытывает достаточно боль- шое увеличение от значения р\ до р2 (р2 ^ Pi)- На том же рас- стоянии Ах скорость U жидкости вне пограничного слоя падает от исходного значения Ui до значительно меньшего значения [/2, определяемого уравнением Бернулли: Поскольку р не зависит от у, то увеличение давления р2 — р\ одинаково на всех расстояниях от стенки. При достаточно боль- § 40 ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ЛИНИИ ОТРЫВА 237 шом градиенте давления dp/dx ~ (р2 — pi)/Ax в уравнении дви- жения D0.6) может быть опущен член ud2vx/dy2, содержащий вязкость (если только, разумеется, у не слишком мало). Тогда можно и для оценки изменения скорости v в пограничном слое воспользоваться уравнением Бернулли, написав или сравнивая с предыдущим равенством: Но скорость vi в пограничном слое меньше скорости основно- го потока; можно выбрать такое у, для которого v\ < U\ — f/|. Скорость V2 оказывается, таким образом, мнимой, что свидетель- ствует об отсутствии физически осмысленных решений уравне- ний Прандтля. В действительности, на участке Ах должен воз- никнуть отрыв, в результате которого слишком большой гради- ент давления уменьшается. Интересным случаем возникновения отрыва является обтека- ние угла, образованного двумя пересекающимися твердыми по- верхностями. При ламинарном потенциальном обтекании выпук- лого угла (см. рис. 3) скорость жидкости на крае угла обратилась бы в бесконечность (см. задачу 6 § 10), возрастая вдоль потока, подходящего к краю, и убывая в потоке, уходящем от него. В действительности, быстрое падение скорости (и соответственно возрастание давления) за краем угла приводит к возникновению отрыва, причем линией отрыва является линия края угла. В ре- зультате возникает картина движения, рассмотренная в § 35. При ламинарном же течении внутри вогнутого угла (см. рис. 4) скорость жидкости обращается на краю угла в нуль. Падение скорости (и возрастание давления) имеет здесь место в потоке, подходящем к краю угла. Оно приводит, вообще говоря, к воз- никновению отрыва, причем линия отрыва расположена вверх по течению от края угла.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Движение вблизи линии отрыва» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
