Описанный в конце предыдущего параграфа характер рас- пределения скоростей вокруг обтекаемого тела не относится к исключительным случаям, когда толщина образующегося за те- лом следа очень мала по сравнению с его шириной. Такой след § 38 ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО 219 образуется при обтекании тел, толщина которых (в направле- нии оси у) мала по сравнению с их шириной в направлении z (длина же в направлении обтекания — оси х — может быть про- извольной), другими словами, речь идет об обтекании тел, по- перечное (к направлению движения) сечение которых обладает сильно вытянутой в одном направлении формой. Сюда относят- ся, в частности, обтекания крыльев — тел, размах которых велик по сравнению со всеми остальными их размерами. Ясно, что в таком случае нет никаких причин для того, чтобы перпендикулярная к плоскости турбулентного следа скорость иу заметно уменьшалась уже на расстояниях порядка толщины сле- да. Напротив, эта скорость будет теперь иметь одинаковый поря- док величины как внутри следа, так и на значительных (порядка размаха крыла) расстояниях от него. При этом, конечно, пред- полагается, что подъемная сила отлична от нуля; в противном случае поперечная скорость практически вообще отсутствует. Рассмотрим вертикальную подъемную силу Fy, развиваю- щуюся при таком обтекании. Согласно формуле B1.2) она опре- деляется интегралом Fy = -pU ГГ Uydydz, C8.1) причем ввиду характера распределения скорости иу интегриро- вание в данном случае должно производиться по всей поперечной плоскости. Более того, поскольку толщина следа (по оси у) мала, а скорость иу внутри него отнюдь не велика по сравнению с этой же скоростью вне следа, то в рассматриваемом случае можно с достаточной точностью ограни- читься при интегрировании по dy интегрированием только по области вне следа, т. е. написать: / Uydyxi / Uydy+Uy dy, 2/1 где у\жу2 — координаты границ сле- да (рис. 26). Рис. 26 Но вне следа движение потенциально и иу = дср/ду] имея в виду, что на бесконечности ср = 0, получаем поэтому где (f2 и (fi — значения потенциала на обеих сторонах следа; можно сказать, что (f2 — (fi есть скачок потенциала на поверх- ности разрыва, которой можно заменить тонкий след. Что же касается производных от <р, то производная иу = dip/ду должна 220 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill оставаться непрерывной. Скачок нормальной к поверхности сле- да компоненты скорости означал бы, что некоторое количество жидкости втекает в след; между тем, в приближении, в кото- ром толщина следа пренебрегается, этот эффект должен отсут- ствовать. Таким образом, мы заменяем след поверхностью тан- генциального разрыва. Далее, в этом же приближении на следе должно быть непрерывно также и давление. Поскольку измене- ние давления определяется согласно формуле Бернулли в первом приближении величиной pUux = pUdcp/dx, то отсюда следует, что должна быть непрерывна и производная дср/дх. Производ- ная же dcp/dz — скорость в направлении размаха крыла — испы- тывает, вообще говоря, скачок. Ввиду непрерывности производной дср/дх скачок ^f2~cPi есть величина, зависящая только от z, но не от координаты х вдоль длины следа. Таким образом, получаем для подъемной силы сле- дующую формулу: Fy = -pU J(cp2 - <pi) dz. C8.2) Интегрирование по dz распространяется фактически лишь по ширине следа (вне следа, конечно, (f2 — (fx = 0). Эту формулу можно представить в несколько ином виде. Для этого замечаем, что по известным свойствам интегралов от гра- диента скаляра можно написать разность ^ - ^ в виде криво- линейного интеграла / V(f • d\ = / (иу dy + ux dx), взятого по контуру, выходящему из точки ух, огибающему те- ло и приходящему в точку j/2? проходя, таким образом, везде в области потенциального движения. А благодаря тонкости сле- да можно, не изменяя интеграла с точностью до малых величин высшего порядка, дополнить этот длинный контур коротким от- резком от у\ до 2/2? превратив его таким образом в замкнутый. Обозначая буквой Г циркуляцию скорости по замкнутому кон- туру С, охватывающему тело (рис. 26): Г = (f)VLd\ = (p2-(px, C8.3) j получаем для подъемной силы формулу Fy = -pU JYdz. C8.4) Знак циркуляции скорости выбирается всегда для обхода конту- ра в направлении против часовой стрелки. Знак в формуле C8.3) связан также и с выбором направления обтекания: мы предпола- гали везде, что обтекание происходит в положительном направ- лении оси х (поток натекает слева направо). § 38 ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО 221 Устанавливаемая формулой C8.4) связь подъемной силы с циркуляцией скорости составляет содержание теоремы Н. Е. Жу- ковского A906). К применению этой теоремы к хорошо обтекае- мым крыльям мы вернемся еще в § 46.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теорема Жуковского» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
