Форма, а также и некоторые другие основные свойства турбу- лентных областей в ряде случаев могут быть установлены уже с помощью простых соображений подобия. Сюда относятся преж- де всего различного рода свободные турбулентные струи, рас- пространяющиеся в заполненном жидкостью же пространстве (L. Prandtl, 1925). В качестве первого примера рас- смотрим турбулентную область, воз- никающую при отрыве потока с края угла, образованного двумя пересека- ~х ющимися бесконечными плоскостя- ми (на рис. 24 изображен их по- перечный разрез). При ламинарном обтекании (см. рис. 3) поток жид- кости, идущей вдоль одной из сто- рон угла (скажем, в направлении рис 24 от А к О), плавно поворачивался бы, переходя в поток, идущий вдоль второй плоскости в направлении от края угла (от О к В). При турбулентном же обтекании картина движения оказывается совершенно иной. ) Об этом свойстве говорят как о перемежаемости турбулентности. Его надо отличать от аналогичного свойства структуры движения в глубине турбулентной области, которое тоже называют перемежаемостью. В этой книге не рассматриваются существующие модельные представления об этих явлениях. § 36 ТУРБУЛЕНТНАЯ СТРУЯ 211 Поток жидкости, идущий вдоль одной из сторон угла, теперь не поворачивается, дойдя до края угла, а продолжает распро- страняться в прежнем направлении. Вдоль другой же стороны возникает поток жидкости, подтекающей в направлении к краю угла (от В к О). Смешивание обоих потоков происходит в тур- булентной области (границы сечения этой области указаны на рис. 24 штриховой линией). Происхождение такой области можно наглядно описать следующим образом. Представим себе такое течение жидкости, при котором идущий от А к О равно- мерный поток продолжал бы течь в том же направлении, запол- няя все пространство кверху от плоскости АО и ее продолжения направо в глубь жидкости, а в пространстве под этой плоско- стью жидкость была бы вообще неподвижна. Другими слова- ми, мы имели бы при этом поверхность разрыва (продолжение плоскости АО) между жидкостью, текущей с постоянной скоро- стью, и жидкостью неподвижной. Но такая поверхность разры- ва является неустойчивой и не может реально существовать (см. § 29). Эта неустойчивость приводит к ее «разбалтыванию» и об- разованию области турбулентного движения. Подтекающий от В к О поток возникает при этом в результате того, что в область турбулентности должно происходить втекание жидкости извне. Определим форму области турбулентного движения. Выбе- рем ось х указанным на рис. 24 образом; начало координат нахо- дится в точке О. Обозначим через Y\ и Y2 расстояния от плоскости xz до верхней и нижней границ турбулентной обла- сти; требуется определить зависимость Y\ и Y2 от х- Эту зависи- мость легко определить непосредственно из соображений подо- бия. Поскольку все размеры плоскостей бесконечны, то в нашем распоряжении нет никаких характерных для рассматриваемого движения постоянных параметров с размерностью длины. Отсю- да следует, что единственной возможной зависимостью величин Yi, Y2 °т расстояния х является их прямая пропорциональность: х, Y2 = tga2 • x. C6.1) Коэффициенты пропорциональности являются просто числен- ными постоянными; мы пишем их в виде tg«i, tg«2, так что а\ и а2 — углы наклона обеих границ турбулентной области к оси х. Таким образом, область турбулентного движения огра- ничена двумя плоскостями, пересекающимися вдоль линии края обтекаемого угла. Значения углов а\ и а2 зависят только от величины обте- каемого угла и не зависят, например, от скорости набегающего потока жидкости. Они не могут быть вычислены теоретически; Напоминаем, что вне турбулентной области имеет место безвихревое турбулентное движение, постепенно переходящее в ламинарное по мере уда- ления от границ этой области. 212 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill экспериментальные данные дают, например, для обтекания пря- мого угла значения а\ = 5°, «2 = 10° х) . Скорости потоков жидкости с обеих сторон угла неодинако- вы; их отношение является определенным числом, зависящим опять-таки только от величины угла. При не слишком малых углах одна из скоростей оказывается значительно больше дру- гой—именно, большей является скорость «основного» потока, в направлении которого расположена турбулентная область (по- ток от А к О). Так, при обтекании прямого угла скорость потока вдоль плоскости АО в 30 раз больше скорости потока от В к О. Отметим еще, что разность давлений жидкости по обе сторо- ны турбулентной области очень мала. Так, при обтекании пря- мого угла оказывается Р1~Р2 = 0,003/9^, где С/]. — скорость набегающего потока (от А к О), р\— давле- ние в верхнем (вдоль АО), а р2 — в нижнем (вдоль ВО) потоках жидкости. В предельном случае равного нулю обтекаемого угла мы име- ем дело просто с краем пластинки, вдоль обеих сторон которой течет жидкость. Угол раствора а\ + «2 турбулентной области при этом тоже обращается в нуль, т. е. турбулентная область ис- чезает; скорости же потоков по обеим сторонам пластинки ста- новятся одинаковыми. При увеличении же угла АО В наступа- ет момент, когда плоскость ВО касается нижней границы тур- булентной области; угол АО В является при этом уже тупым. При дальнейшем увеличении угла АОВ область турбулентности будет оставаться ограниченной с одной стороны поверхностью твердой стенки. По существу, мы имеем при этом дело просто с явлением отрыва, с линией отрыва вдоль края угла. Угол рас- твора турбулентной области остается все время конечным. В качестве следующего примера рассмотрим задачу о бью- щей из конца тонкой трубки турбулентной струе, распростра- няющейся в неограниченном пространстве, заполненном той же жидкостью (задача о ламинарном движении в такой «затоплен- ной» струе была решена в § 23). На больших по сравнению с размерами отверстия трубы расстояниях (о которых только и будет идти речь) струя аксиально симметрична вне зависимости от конкретной формы отверстия. Определим форму области турбулентного движения в струе. Выберем ось струи в качестве оси ж, а радиус области турбулент- ности обозначим буквой R] требуется определить зависимость R 1) Здесь и в других случаях ниже имеются в виду экспериментальные дан- ные о распределении скоростей в поперечном сечении турбулентной струи, обработанные с помощью расчетов по полуэмпирическим теориям турбу- лентности (см. примеч. на с. 215). § 36 ТУРБУЛЕНТНАЯ СТРУЯ 213 от х (х отсчитывается от точки выхода струи). Как и в пре- дыдущем примере, эту зависимость легко определить непосред- ственно из соображений размерности. На расстояниях, больших по сравнению с размерами отверстия трубы, конкретная форма и размеры отверстия не могут играть роли для формы струи. Поэтому в нашем распоряжении нет никаких характеристиче- ских параметров с размерностью длины. Отсюда опять следует, что R должно быть пропорционально х: R = tga-x, C6.2) где численная постоянная tg а одинакова для всех струй. Таким образом, турбулентная область пред- ставляет собой конус; эксперимент \\ дает для угла раствора 2а этого ко- ^ ^-^' нуса значение около 25° (рис. 25) :). Движение в струе происходит в ^: основном вдоль ее оси. Ввиду отсут- ствия каких-либо параметров размер- ности длины или скорости, которые могли бы характеризовать движение в струе 2) , распределение продольной ис' (средней по времени) скорости их в ней должно иметь вид ux(r, x) = Uo(x)f(-!—), C6.3) где г —расстояние от оси струи, а щ — скорость на оси. Други- ми словами, профили скорости в различных сечениях струи от- личаются только масштабами измерения расстояния и скорости (в этой связи говорят об автомоделъности структуры струи). Функция /(?) (равная 1 при ? = 0) быстро убывает с увеличени- ем ее аргумента. Она становится равной 1/2 уже при ? = 0,4, а на границе области достигает значения ~0,01. Что касается попе- речной скорости, то она сохраняет вдоль сечения турбулентной области примерно одинаковый порядок величины и на границе области равна около —О,О25г^о, будучи направлена здесь внутрь струи. За счет этой поперечной скорости и осуществляется вте- кание жидкости в турбулентную область. Движение вне турбу- лентной области можно определить теоретически (см. задачу 1). х) Формула C0.2) дает R = 0 при х = 0, т. е. отсчет координаты х ведется от точки, которая была бы выходной для струи, бьющей из точечного ис- точника. Эта точка может не совпадать с реальным положением выходного отверстия, отстоя от него (назад) на расстояние того же порядка величины, которое требуется для установления закона C6.2). Интересуясь асимптоти- ческим законом при больших ж, этим отличием можно пренебречь. ) Напомним лишний раз, что речь идет о развитой турбулентности в струе и потому вязкость не должна входить в рассматриваемые формулы. 214 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill Зависимость скорости в струе от расстояния х можно опреде- лить, исходя из следующих простых соображений. Полный поток импульса в струе через сферическую поверхность (с центром в точке выхода струи) должен оставаться неизменным при изме- нении ее радиуса. Плотность потока импульса в струе ~/т2, где и — порядок величины некоторой средней скорости в струе. Пло- щадь той части поперечного сечения струи, в которой скорость заметно отлична от нуля, порядка величины R2. Поэтому полный поток импульса Р ~ pv?R?. Подставив сюда C6.2), получим C6.4) т. е. скорость падает обратно пропорционально расстоянию от точки выхода струи. Количество (масса) жидкости Q, протекающей в единицу вре- мени через поперечное сечение турбулентной области струи — порядка величины произведения puR?. Подставив сюда C6.2) и C6.4), найдем, что Q = const -x (если две переменные величины, меняющиеся в широких пределах, всегда одного порядка вели- чины, то они вообще пропорциональны друг другу; поэтому мы пишем формулу со знаком равенства). Коэффициент пропорци- ональности здесь удобно выразить не через поток импульса Р, а через количество жидкости Qo, выбрасываемой в единицу вре- мени из трубки. На расстояниях порядка величины линейных размеров отверстия трубки а должно быть Q ~ Qq. Отсюда сле- дует, что const ~ Eо/^, так что можно написать Q = /3Qo-, C6.5) а где /3 —численный коэффициент, зависящий только от формы отверстия. Так, для круглого отверстия с радиусом а эмпири- ческое значение /3 « 1,5. Таким образом, расход жидкости че- рез сечение турбулентной области возрастает с расстоянием ж, — жидкость втягивается в турбулентную область . Движение в каждом участке длины струи характеризуется числом Рейнольдса для этого участка, определяемым как —. Но в силу C6.2) и C6.4) произведение uR остается постоян- ным вдоль струи, так что число Рейнольдса одинаково для всех участков струи. В качестве этого числа может быть выбрано от- ношение Qq/(pclv). Входящая сюда постоянная Qq/cl является тем единственным параметром, который определяет все движе- ния в струе. При увеличении «мощности» струи Qq (при задан- *) Полный же поток жидкости через всю бесконечную плоскость, прове- денную поперек струи, бесконечен — струя, бьющая в неограниченное про- странство, увлекает за собой бесконечное количество жидкости. § 36 ТУРБУЛЕНТНАЯ СТРУЯ 215 ной величине а отверстия) достигается в конце концов некото- рое критическое значение числа Рейнольдса, после которого дви- жение делается турбулентным одновременно вдоль всей длины струи .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Турбулентная струя» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
(границы сечения этой области указаны 