Наряду с рассмотренным в предыдущем параграфе коор- динатным представлением корреляционных функций, методиче- ски и физически интересно также и спектральное (по волновым векторам) их представление. Оно получается разложением в про- странственный интеграл Фурье: Bik® = |si/fc(k)eikr^L, Вгк(к) = I Вгк(г)е-гкг dzx (мы обозначаем спектральную корреляционную функцию В^к (к) тем же символом В^к с другой независимой переменной — волно- вым вектором к). Поскольку в изотропной турбулентности Bik(-r) = Bik®,TO Bik(k) = Bik(-k) = В*к(к), т. е. спектраль- ные функции Bik(k) вещественны. При г —>• оо функции Bik® стремятся к конечному преде- лу, даваемому первым членом в C4.4). Соответственно этому, их фурье-компоненты содержат E-функционный член: (ж)8()(у2) - 2bik(k). C4.27) О Компоненты ж:е с к ф 0 для функций В{к и —26^ совпадают друг с другом. Дифференцирование по координатам х\ в координатном пред- ставлении эквивалентно в спектральном представлении умноже- нию на %к\. Поэтому уравнение непрерывности dbik®/dxi = 0 сводится в спектральном представлении к условию поперечно- сти тензора bik(k) по отношению к волновому вектору: ?;гЫк)=0. C4.28) В силу изотропии, тензор Ь^(к) должен выражаться только че- рез вектор к и единичный тензор 8^. Общий вид такого симмет- ричного тензора, удовлетворяющего условию C4.28), есть bik (k) = F® (к) (8ik - ^), C4.29) где F^ (к) — вещественная функция от абсолютной величины волнового вектора. Аналогичным образом определяется спектральное представ- ление корреляционного тензора третьего ранга, причем тензор Biki(\a) выражается через Ь^?цк) формулой C4.11); E-функцион- ного члена эти тензоры не содержат. Уравнение непрерывности 204 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill ,xi = 0 приводит к условию поперечности спектрально- го тензора 6^^ (к) по его третьему индексу: fc,&iM(k) = 0. C4.30) Общий вид такого тензора: ^ ^ ^}. C4.31) Поскольку bikj(-r) = — &i/c,z®? спектральные функции ^/(k) мнимы; в C4.31) введен множитель г, так что функция F^'(k) — вещественная. Уравнение C4.19) в спектральном представлении записыва- ется как Г) • j ( If | oJcilh-i 1 i\c\ I rij j • ( \с I *? 7 У к" Г) • j I W I — zА^ V / — I \ ъI fax / *^ к/1 ъ \ / z/с V /* Подставив сюда C4.29) и C4.31), получим OF (к, t) _ _о? ^(З)/? i\ _ о7.^2 771B) /т, у.\ /4 49^ Функция i7"^2^ (k) имеет важный физический смысл. Для его выяснения подойдем к определению спектральной корреляцион- ной функции в несколько более ранней стадии . Введем спектральное разложение самой пульсирующей ско- рости v® по обычным формулам разложения Фурье: ;kr d3k Последний интеграл фактически расходится, поскольку v® не стремится к нулю на бесконечности. Это обстоятельство, однако, несущественно для дальнейших формальных выводов, имеющих целью вычисление заведомо конечных средних квадратов. Корреляционный тензор Ь^{т) выражается через фурье-ком- поненты скорости интегралом Mr) = fJ(vM)e^+k'^d^f. C4.33) Для того чтобы этот интеграл был функцией только от разности г = Г2 —ri, подынтегральное выражение в нем должно содержать S-функцию от суммы к + к7, т. е. должно быть к7). C4.34) 1) Приведенные ниже рассуждения перефразируют вывод, данный в V, 122. § 34 КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТЕЙ 205 Это выражение надо рассматривать как определение величины, обозначенной здесь символически как (гзд)к- Подставив C4.34) в C4.33) и устранив E-функцию интегрированием по d?А/, находим, что т. е. величины (г>г^)к совпадают с фурье-компонентами корреля- ционной функции Ьц(т)] тем самым они симметричны по индек- сам г, / и вещественны. В частности, Ьц(к) = (v2)k, причем мы можем теперь утверждать, что эта величина положительна, как это очевидно из ее связи согласно C4.34) с положительной ве- личиной (vkVk') = (|vk|2)—средним квадратом модуля фурье- компоненты пульсирующей скорости. Значение корреляционной функции Ьц(т) при г = 0 опреде- ляет средний квадрат скорости жидкости в какой-либо (любой) точке пространства. Оно выражается через спектральную функ- цию формулой или, подставив сюда Ьц(к) из C4.29) оо I(v2) = />B)(*H = j F^(kL-^. C4.35) о После всего сказанного выше смысл этой формулы очевиден: по- ложительная величина F^ (к) / BтгK представляет собой спек- тральную плотность кинетической энергии жидкости (отнесен- ной к единице массы) в k-пространстве. Энергия же, заключен- ная в пульсациях с величиной волнового вектора в интервале dk, есть Е(к) dk, где Е(к) = Jf-F^2\k). C4.36) Первый член в правой части уравнения C4.32) возникает как фурье-компонента первого члена в правой части уравнения C4.19). При г —>> 0 последний сводится к производной Id \,/d \ ^ / \ \ OX\i I \ OX\i I OX\i и обращается в нуль в силу однородности. В спектральном пред- ставлении это значит, что 3k = 0, C4.37) так что функция F^(k) знакопеременна. 206 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill Уравнение C4.32) имеет простой смысл: оно представляет баланс энергии различных спектральных компонент турбулент- ного движения. Второй член в правой части отрицателен; он определяет убыль энергии, связанную с диссипацией. Первый же член (связанный с нелинейным членом в уравнении Навье- Стокса) описывает перераспределение энергии по спектру —ее переход от спектральных компонент с меньшими к компонентам с большими значениями к. Спектральная (по к) плотность энер- гии Е(к) имеет максимум при к ~ 1/1] в области вблизи макси- мума (область энергии — см. § 33) сосредоточена большая часть полной энергии турбулентного движения. Плотность же дисси- пируемой энергии 2ик2Е(к) максимальна при А;~1/Ао; в области диссипации сосредоточена большая часть полной диссипации. При очень больших числах Рейнольдса обе эти области раздви- нуты далеко друг от друга и между ними находится инерционная область. Проинтегрировав уравнение C4.32) по с/3/с/B7гK, мы полу- чим в его левой части производную по времени от полной ки- нетической энергии жидкости; эта производная совпадает с пол- ной диссипацией энергии —е. Таким образом, находим следую- щее «условие нормировки» функции Е(к): оо 2v f k2E(k, t) dk = e. C4.38) о В инерционном интервале волновых чисел A/1 <С к <С 1/Ао) спектральные функции (как и корреляционные функции в коор- динатном представлении) можно считать независящими от вре- мени. Согласно C3.13) в этой области Е(к) = Ci?2/3?T5/3, C4.39) где С\ — постоянный коэффициент. Этот коэффициент связан с коэффициентом С в корреляционной функции Brr® = C(erf'* C4.40) равенством С\ = 0,76С (см. задачу). Их эмпирические значения: С«2, Ci^l.,51).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Спектральное представление корреляционных функций» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 