Перепишем уравнение C4.20), введя в него вместо функций Brri Brrr функции 6rr, brr^r: J C423) Умножив это уравнение на г4, проинтегрируем его по г от 0 до оо. Выражение в квадратных скобках равно нулю при г = 0. Пола- гая, что оно обращается в нуль также и при г —>• оо, найдем, что оо А= Г r\r dr = const C4.24) х) Оно было высказано Л. Д. Ландау A944). ) Вопрос о том, должны ли флуктуации е отразиться даже на виде корре- ляционных функций в инерционной области, вряд ли может быть надежно решен до построения последовательной теории турбулентности (этот вопрос был поставлен Колмогоровым А.Н. // J. Fluid Mech. 1962. V. 13. P. 77 и Обу- ховым A.M. (там же, р. 82)). Существующие попытки ввести связанные с этим фактором поправки в закон Колмогорова-Обухова основаны на ги- потезах о статистических свойствах диссипации, степень правдоподобности которых трудно оценить. § 34 КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТЕЙ 201 {Л.Г. Лойцянский, 1939). Этот интеграл сходится, если функция Ъгг убывает на бесконечности быстрее, чем г~5, а чтобы он дей- ствительно сохранялся, функция brr^r должна убывать быстрее, чем г~4. Функции Ъгг и Ьц связаны друг с другом таким же соот- ношением C4.5), как и Вгг и Вц. Поэтому имеем (при тех же условиях) / bttr4dr = -- / brrr4dr. о о Поскольку brr + 2bu = (V1V2), то интеграл C4.24) можно пред- ставить в виде А /r(i2)rfl C4.25) 4тг J (где dV = d?(x\ — Ж2)). Этот интеграл тесно связан с моментом импульса жидкости, находящейся в состоянии однородной и изо- тропной турбулентности. Можно показать (на чем мы останав- ливаться не будем), что квадрат полного момента импульса М жидкости, заключенной в некотором большом объеме V (выде- ленном в неограниченной жидкости) есть М2 = Атгр2АУ] тот факт, что М растет пропорционально F1/2, а не V, связан с тем, что М является суммой большого числа статистически неза- висимых слагаемых (моментов импульса отдельных небольших участков жидкости) с равными нулю средними значениями. Значение М2 в заданном объеме V может меняться за счет взаимодействия с окружающими областями жидкости. Если бы это взаимодействие достаточно быстро убывало с расстоянием, то оно представляло бы собой для рассматриваемой части жид- кости поверхностный эффект. Тогда времена, в течение которых М2 могло бы претерпеть значительное изменение, росли бы вме- сте с размерами объема V] эти времена и размеры должны рас- сматриваться как сколь угодно большие, и в этом смысле М2 сохранялось бы. Указанное условие тесно связано с условиями достаточно бы- строго убывания корреляционных функций, сформулированны- ми при выводе C4.24) из C4.23). Но в рамках теории несжимае- мой жидкости существуют основания сомневаться в их соблюде- нии. Физическое основание для этого состоит в бесконечной ско- рости распространения возмущений в несжимаемой жидкости. Математически это свойство проявляется в интегральном харак- тере зависимости распределения давления в жидкости от распре- деления скоростей: если рассматривать правую часть уравнения 202 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill A5.11) как заданную, то решение этого уравнения: д2уг{т')ук(т') dV дх\дх'к |г-г'|' В результате любое локальное возмущение скорости мгновен- но отражается на давлении во всем пространстве; давление же влияет на ускорение жидкости и тем самым — на дальнейшее из- менение скоростей. Естественная постановка задачи для выяснения этого вопро- са состоит в следующем: пусть в начальный момент времени (? = 0) создано изотропное турбулентное движение, в котором функции bik(r, t) и bikj(r, t) экспоненциально убывают с расстоя- нием. Выразив давление через скорости по написанной формуле, можно затем с помощью уравнений движения жидкости пытать- ся определить характер зависимости производных по времени от корреляционных функций (в момент t = 0) от расстояния при г —>> оо. Тем самым определится и характер зависимости от г самих корреляционных функций при t > 0. Такое исследование приводит к следующим результатам . Функция brr (r, t) при t > 0 убывает на бесконечности не мед- леннее, чем г~6 (а возможно, что и экспоненциально). Поэтому интеграл Лойцянского сходится. Функция же brr^r убывает лишь как г~4. Это значит, что Л не сохраняется. Его производная по времени оказывается некоторой отличной от нуля отрицатель- ной (как результат эмпирического факта отрицательности brr^r) функцией времени. Эта функция целиком связана с инерцион- ными силами. Естественно думать, что по мере затухания турбу- лентности роль этих сил падает, и в заключительной стадии ими можно пренебречь по сравнению с вязкими силами. Таким обра- зом, Л убывает (момент импульса равномерно «растекается» по бесконечному пространству), стремясь к постоянному значению, принимаемому им на заключительной стадии турбулентности. Отсюда возникает возможность определить для этой стадии закон изменения со временем основного масштаба турбулентно- сти / и ее характерной скорости v. Оценка интеграла C4.25) да- ет Л ~ v2t5 = const. Еще одно соотношение получим из оценки скорости убывания энергии путем вязкой диссипации. Диссипа- ция е пропорциональна квадрату градиентов скорости; оценив последние как v/l, имеем е ~ v{vjlJ. Приравняв ее производ- ной d(v2)/dt ~ v2/t (t отсчитывается от начала заключительной х)См. Proudman /., Reid W.H. // Phil. Trans. Roy. Soc. 1954. V. A247. P. 163; Batchelor G.K., Proudman /., там же: 1956. V. A248, P. 369. Изложе- ние этих работ дано также в кн.: Монин А.С, Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. — М.: Наука. 1967. Т. 2. § 15.5, 15.6. § 34 КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТЕЙ 203 стадии затухания), получим / ~ (vt)ll2 и затем v = const • t/4 C4.26) (М.Д. Миллионщиков, 1939).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Интеграл Лойцянского» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 