Рассмотрим, наконец, разрушение периодического движения при прохождении мультипликатора через значение /i = +1. Этот тип бифуркации описывается (в рамках одномерного отображения Пуанкаре) функцией #j+i = f(%j, R), которая при определенном значении параметра (числа Рейнольдса), R = RKp, касается прямой #j+i = Xj. Выбрав точку касания в качестве Xj = 0, напишем вблизи нее разложение функции отображения в виде = (R - R Kp) + xj. C2.22) При R < RKp (рис. 23) существуют две неподвижные точки R<R ¦кр из которых одна (ж; ) отвечает устойчивому, а другая (ж* )) — неустойчивому периодическому движению. При R = RKp муль- типликатор в обеих точках становится равным +1, оба периодических движе- ния сливаются и при R > RKp исче- зают (неподвижные точки переходят в комплексную область). При малой надкритичности рассто- яние между линией C2.22) и прямой ж^_|_1 = Xj мало (в области вблизи Xj = = 0). На этом интервале значений ж, следовательно, каждая итерация ото- бражения C2.22) лишь незначитель- но перемещает след траектории, и для прохождения им всего интервала по- требуется много шагов. Другими ело- ис' вами, на сравнительно большом промежутке времени траекто- рия в пространстве состояний будет иметь регулярный, почти 1) Коэффициент при R — RKp и коэффициент (положительный) при ж| можно обратить в единицу соответствующим определением R и ^-, что и предполагается в C2.22). 184 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill периодический характер. Такой траектории отвечает в физиче- ском пространстве регулярное (ламинарное) движение жидко- сти. Отсюда возникает еще один, в принципе возможный, сцена- рий возникновения турбулентности (P. Manneville, Y. Ротеаи, 1980). Можно представить себе, что к рассмотренному участку функ- ции отображения примыкают участки, приводящие к хаотизации траекторий; им отвечает в пространстве состояний множество локально неустойчивых траекторий. Это множество, однако, са- мо по себе не является аттрактором и с течением времени точка, изображающая систему, его покидает. При R < RKp траектория выходит на устойчивый цикл, т. е. в физическом пространстве устанавливается ламинарное периодическое движение. При R > > RKp устойчивый цикл отсутствует и возникает движение, в котором «турбулентные» периоды чередуются с ламинарными (отсюда название сценария — переход через перемежаемость). О длительности турбулентных периодов нельзя сделать ка- ких-либо общих заключений. Зависимость же длительности ла- минарных периодов от надкритичности легко выяснить. Для это- го напишем разностное уравнение C2.22) в виде дифференциаль- ного. Имея в виду малость изменения Xj на одном шаге отобра- жения, заменим разность Xj+\ — Xj производной dx/dt по непре- рывной переменной t: dx/dt = (R - RKP) + x2. C2.23) Найдем время т, необходимое для прохождения отрезка между точками х\ и #2, лежащими по обе стороны точки х = 0 на рас- стояниях, больших по сравнению с (R — RKp) 5 н0 еЩе в области применимости разложения C2.22). Имеем г = (R - Икр)/2 arctg [x(R - RKp)-1/2]|^, откуда r~(R-RKp)-1/2, C2.24) чем и определяется искомая зависимость; длительность лами- нарных периодов убывает с ростом надкритичности. В этом сценарии остается открытым как вопрос о пути под- хода к его началу, так и вопрос о природе возникающей турбу- лентности.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Переход к турбулентности через перемежаемость» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
