Совершенно особым характером потери устойчивости обла- дает стационарное течение жидкости по трубе (рассмотренное в § 17). Ввиду однородности потока вдоль оси х (вдоль длины трубы) невозмущенное распределение скоростей vq не зависит от коор- динаты х. Аналогично изложенному в предыдущем параграфе мы можем поэтому искать решения уравнений B6.4) в виде v1=e^kx-ujtk(y,z). B8.1) И здесь будет существовать такое значение R = RKp, при ко- тором 7 — Imo; впервые обращается при некотором значении к в нуль. Существенно, однако, что вещественная часть функции ио(к) теперь уже отнюдь не будет равна нулю. Для значений R, лишь немного превышающих RKp, интервал значений /с, в котором j(k) > 0, мал и расположен вокруг точки, Yi 148 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill в которой j(k) имеет максимум, т. е. dj/dk = 0 (как это ясно из рис. 16). Пусть в некотором участке потока возникает слабое возмущение; оно представляет собой волновой пакет, получаю- щийся путем наложения ряда компонент вида B8.1). С течением времени будут усиливаться те из этих ком- понент, для которых: ^(к) > 0; остальные R>R же компоненты затухнут. Возникающий та- кр ким образом усиливающийся волновой па- к кет будет в то же время «сноситься» вниз \ по течению со скоростью, равной группо- вой скорости пакета duo/dk (§ 67); посколь- i R=RKp ку речь идет теперь о волнах со значения- ми волновых векторов в малом интервале r<rkp вокруг точки, в которой djIdk = 0, то ве- личина Reuj B8.2) dk dk y J вещественна и потому действительно представляет собой истин- ную скорость распространения пакета. Этот снос возмущений вниз по течению весьма существен и придает всему явлению потери устойчивости совершенно иной характер по сравнению с тем, который был описан в § 27. Поскольку положительность Imo; сама по себе означает те- перь лишь усиление перемещающегося вниз по течению возму- щения, то открываются две возможности. В одном случае, не- смотря на перемещение волнового пакета, возмущение неогра- ниченно возрастает со временем в любой фиксированной в про- странстве точке потока; такую неустойчивость по отношению к сколь угодно малым возмущениям будем называть абсолютной. В другом же случае пакет сносится так быстро, что в каждой фиксированной точке пространства возмущение стремится при t —>> оо к нулю; такую неустойчивость будем называть сносовой, или конвективной х) . Для пуазейлевого течения, по-видимому, имеет место второй случай (см. ниже примеч. на с. 150). Следует сказать, что различие между обоими случаями име- ет относительный характер в том смысле, что зависит от выбора системы отсчета, по отношению к которой рассматривается не- устойчивость: конвективная в некоторой системе неустойчивость становится абсолютной в системе, движущейся «вместе с паке- том», а абсолютная неустойчивость становится конвективной в системе, достаточно быстро «уходящей» от пакета. В данном слу- чае, однако, физический смысл этого различия устанавливается существованием выделенной системы отсчета, по отношению к ) Общий метод, позволяющий установить характер неустойчивости, опи- сан в другом томе этого курса (см. X, § 62). § 28 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ПО ТРУБЕ 149 которой и следует рассматривать неустойчивость —системы, в которой покоятся стенки трубы. Более того, поскольку реальные трубы имеют хотя и большую, но конечную длину, возникающее где-либо возмущение может, в принципе, оказаться вынесенным из трубы раньше, чем оно приведет к истинному срыву ламинар- ного течения. Поскольку возмущения возрастают с координатой х вниз по течению, а не со временем в заданной точке пространства, то при исследовании этого типа неустойчивости разумно поставить во- прос следующим образом. Предположим, что в заданном месте пространства на поток накладывается непрерывно действующее возмущение с определенной частотой о;, и посмотрим, что будет происходить с этим возмущением при его сносе вниз по течению. Обращая функцию o;(fc), мы найдем, какой волновой вектор к соответствует заданной (вещественной) частоте. Если ImA; < О, то множитель е возрастает с увеличением ж, т. е. возмущение усиливается. Кривая в плоскости o;R, определяемая уравнением \тк(ио, R) = 0 (ее называют кривой нейтральной устойчиво- сти или просто нейтральной кривой) дает границу устойчиво- сти, разделяя для каждого R области значений частоты возму- щений, усиливающихся или затухающих вниз по течению. Фактическое проведение вычислений чрезвычайно сложно. Полное исследование было произведено аналитическими мето- дами лишь для плоского пуазейлевого течения — течения меж- ду двумя параллельными плоскостями {С.С. Ып, 1945). Укажем здесь результаты такого исследования . Течение (невозмущенное) между плоскостями однородно не только вдоль направления своей скорости (ось ж), но и во всей плоскости xz (ось у перпендикулярна плоскостям). Поэтому можно искать решения уравнений B6.4) в виде с волновым вектором к в произвольном направлении в плоско- сти xz. Нас, однако, интересуют лишь те возрастающие возмуще- ния, которые появляются (при увеличении R) первыми; именно они определяют границу устойчивости. Можно показать, что при заданной величине волнового вектора первым становится неза- тухающим возмущение с к вдоль оси ж, причем fz = 0. Таким образом, достаточно рассматривать только двумерные (как и 1)См. книгу: Линь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчиво- сти.— М.: ИЛ, 1958 [Ып С.С. The theory of hydrodynamic stability.— Cambridge, 1955]. Изложение этих, а также и более поздних исследований по данному вопросу дано в указанной в примеч. на с. 145 книге Дразина и Рейда. 150 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill основное течение) возмущения в плоскости ху, не зависящие от координаты z х) . Нейтральная кривая для течения между плоскостями изобра- жена схематически на рис. 17. Заштрихованная область внутри кривой — область неустойчивости 2) . Наименьшее значение R, при котором появляются незатухающие возмущения, оказывается равным RKp = = 5772 (по более поздним уточненным расчетам, S.A. Orszag, 1971); число Рей- нольдса определено здесь как R = Um3xh/Bu), B8.4) где f7max — максимальная скорость тече- ния, a h/2 — половина расстояния между пкР « плоскостями, т. е. расстояние, на котором скорость возрастает от нуля до максиму- ис ма 3) . Значению R = RKp отвечает волно- вой вектор возмущения ккр = 2,04//i. При R —>> оо обе ветви ней- тральной кривой асимптотически приближаются к оси абсцисс по законам с )Ъ ITJ r^J R —3/11 г )h/ТТ r**j ~D~3/7 соответственно для верхней и нижней ветвей; при этом на обеих ветвях со л к связаны соотношениями вида coh/U ~ (kh)^. Таким образом, для всякой отличной от нуля частоты со, не превышающей определенного максимального значения (~[///i), существует конечный интервал значений R, в котором возмуще- ния усиливаются 4) . Интересно, что малая, но конечная вязкость ) Доказательство этого утверждения (Н.В. Squire, 1933) состоит в том, что система уравнений B6.4) для возмущений вида B6.2) может быть приведена к виду, в котором она отличается от уравнений для двумерных возмущений лишь заменой R на Rcos<^, где (р — угол между к и vo (в плоскости xz). Поэтому критическое число RKp для трехмерных возмущений (с заданным к) RKp = RKp/ cos (p > RKp, где RKp вычислено для двумерных возмущений. 2) Нейтральная кривая в плоскости кК имеет аналогичный вид. Посколь- ку на нейтральной кривой вещественны как и, так и А;, то эти кривые в обоих плоскостях — это одна и та же зависимость, выраженная в различных переменных. 3) В литературе используется также и другое определение R для плоского пуазейлевого течения — как отношения hU/v, где U — средняя (по сечению) скорость жидкости. Ввиду равенства U = 2[/тах/3, имеем hU/v = 4R/3, где R определено согласно B8.4). 4) Доказательство конвективного характера неустойчивости плоского пуа- зейлевого течения дано в статье: Иорданский СВ., Куликовский А.Г. II ЖЭТФ. 1965. Т. 49. С. 1326. Доказательство, однако, относится лишь к области очень больших значений R, в которой обе ветви нейтральной кри- вой близки к оси абсцисс, т. е. на обоих ветвях kh <C 1. Для чисел R, при которых на нейтральной кривой kh ~ 1, вопрос остается открытым. § 28 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ПО ТРУБЕ 151 жидкости оказывает в данном случае в известном смысле деста- билизирующее влияние на устойчивость по сравнению с тем, что имело бы место для строго идеальной жидкости . Действитель- но, при R —>> оо возмущения со всякой частотой затухают; при введении же конечной вязкости мы в конце концов попадем в область неустойчивости, пока дальнейшее увеличение вязкости (уменьшение R) не выведет снова из этой области. Для течения в трубе кругового сечения полное теоретиче- ское исследование устойчивости еще отсутствует, но имеющиеся результаты дают веские основания полагать, что это движение устойчиво по отношению к бесконечно малым возмущениям (как в абсолютном, так и в конвективном смысле) при любых числах Рейнольдса. В силу аксиальной симметрии основного течения, возмущения можно искать в виде vi = eHn<P+b*-ut)f (г) B8.5) (как и в B7.4)). Можно считать доказанным, что осесимметрич- ные (п = 0) возмущения всегда затухают. Среди исследованных неосесимметричных колебаний (с определенными значениями п в определенных интервалах значений числа Рейнольдса) тоже не оказалось незатухающих. На устойчивость течения в трубе ука- зывает и то обстоятельство, что при очень тщательном устра- нении возмущений у входа в трубу удается поддерживать лами- нарное течение до очень больших значений R (фактически его удавалось наблюдать вплоть до R « 105, где R = Umaxd/{2v) = Ud/v, B8.6) d — диаметр трубы, [7max — скорость жидкости на оси трубы). Течение между плоскостями и течение в трубе кругового се- чения можно рассматривать как предельные случаи течения в трубе кольцевого сечения, т. е. между двумя коаксиальными ци- линдрическими поверхностями (радиусов R\ и i?2, R2 > -Ri)- При R\ = 0 мы возвращаемся к трубе кругового сечения, а пре- делу R\ —>• i?2 отвечает течение между плоскостями. По-види- мому, критическое число RKp существует при всех отличных от нуля значениях отношения R1/R2 < 1, а при R1/R2 —>• 0 оно стремится к бесконечности. Для всех этих пуазейлевых течений существует также кри- тическое число RL), определяющее границу устойчивости по от- ношению к возмущениям конечной интенсивности. При R < R^p в трубе вообще не может существовать незатухающего нестацио- нарного движения. Если в каком-либо участке возникает турбу- лентность, то при R < R' турбулентная область, сносясь вниз 1)Это свойство было впервые обнаружено Гейзенбергом (W. Heisenberg, 1924). 152 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill по течению, в то же время сужается, пока не исчезнет совсем; на- против, при R > R4p она будет с течением времени расширяться, захватывая все больший участок потока. Если возмущения тече- ния непрерывно происходят у входа в трубу, то при R < R^p они непременно затухнут на некотором расстоянии от входа, сколь бы сильны они не были. Напротив, при R > R^p движение ста- нет турбулентным на всем протяжении трубы, причем для это- го достаточны тем более слабые возмущения, чем больше R. В интервале между R^p и RKp ламинарное течение метастабиль- но. Для трубы кругового сечения незатухающая турбулентность наблюдалась уже при R^ 1800, а для течения между параллель- ными плоскостями — начиная cR^ 1000. Ввиду «жесткости» срыва ламинарного течения в трубе, он сопровождается скачкообразным изменением силы сопротивления. При течении по трубе при R > R^p имеется, по существу, два раз- личных закона сопротивления (зависимости силы сопротивления от R) — один для ламинарного и другой для турбулентного те- чений (см. ниже § 43). При каком бы значении R ни произошел переход одного в другое, сила сопротивления испытывает скачок. В заключение этого параграфа сделаем еще следующее за- мечание. Граница устойчивости (нейтральная кривая), получен- ная для течения в неограниченно длинной трубе, имеет еще и другой смысл. Рассмотрим течение в трубе очень большой (по сравнению с ее шириной), но конечной длины. Пусть на каждом из ее концов поставлены определенные граничные условия — за- дан профиль скорости (например, можно представить себе концы трубы закрытыми пористыми стенками, создающими однород- ный профиль); везде, за исключением концевых отрезков трубы, профиль (невозмущенный) скорости можно считать пуазейлев- ским, не зависящим от х. Для определенной таким образом ко- нечной системы можно поставить задачу об устойчивости по от- ношению к бесконечно малым возмущениям (общий метод уста- новления критерия такой устойчивости, которую называют гло- бальной^ описан в X, § 65). Можно показать, что упомянутая выше нейтральная кривая для бесконечной трубы является в то же время границей глобальной устойчивости в конечной трубе, независимо от конкретных граничных условий на ее концах .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Устойчивость движения по трубе» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 