Для исследования устойчивости стационарного движения жидкости в пространстве между двумя вращающимися цилин- драми (§ 18) в предельном случае сколь угодно больших чисел Рейнольдса можно применить простой способ, аналогичный при- мененному в § 4 при выводе условия механической устойчивости неподвижной жидкости в поле тяжести (Rayleigh, 1916). Идея метода состоит в том, что рассматривается какой-нибудь про- извольный малый участок жидкости и предполагается, что этот участок смещается с той траектории, по которой он движется в рассматриваемом течении. При таком смещении появляются си- лы, действующие на смещенный участок жидкости. Для устой- чивости основного движения необходимо, чтобы эти силы стре- мились вернуть смещенный элемент в исходное положение. Каждый элемент жидкости в невозмущенном течении дви- жется по окружности г = const вокруг оси цилиндров. Пусть ц(г) = тг2ф есть момент импульса элемента с массой т (ф— уг- ловая скорость). Действующая на него центробежная сила рав- на /i2 /mr3] эта сила уравновешивается соответствующим ради- альным градиентом давления, возникающим во вращающейся жидкости. Предположим теперь, что элемент жидкости, нахо- дящийся на расстоянии г о от оси, подвергается малому смеще- нию со своей траектории, так что попадает на расстояние г > > го от оси. Сохраняющийся момент импульса элемента остается при этом равным своему первоначальному значению /io = /л(П))- Соответственно в его новом положении на него будет действо- вать центробежная сила, равная /Лд/(тг3). Для того чтобы эле- мент стремился возвратиться в исходное положение, эта центро- бежная сила должна быть меньше, чем ее равновесное значение /i2/(??ir3), уравновешивающееся имеющимся на расстоянии г гра- диентом давления. Таким образом, необходимое условие устой- чивости гласит: /i2 — /ijj > 0; разлагая ц(г) по степеням положи- тельной разности г — го, напишем это условие в виде ^f > 0. B7.1) dr Согласно формуле A8.3) угловая скорость ф частиц движущейся жидкости равна R\-R\ R\-R\ 144 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill Вычисляя /i как тг2ф и опуская все заведомо положительные множители, пишем условие B7.1) в виде ~ to\R\)<p > 0. B7.2) Угловая скорость ф монотонно меняется с г от значения О\ на внутреннем до значения О2 на внешнем цилиндре. Если оба цилиндра вращаются в противоположных направлениях, т. е. О\ и О2 имеют различные знаки, то функция ф меняет знак в про- странстве между цилиндрами и ее произведение на постоянное число O2R?> — O\R2 не может быть везде положительным. Таким образом, в этом случае B7.2) не выполняется во всем объеме жидкости, и движение неустойчиво. Пусть теперь оба цилиндра вращаются в одну сторону; выби- рая это направление вращения в качестве положительного, име- ем 0,1 > 0, О2 > 0. Тогда ф везде положительно, и для выполне- ния условия B7.2) необходимо, чтобы было О2Щ > OiR\. B7.3) Если же O2R^ меньше, чем O\R\, то движение неустойчиво. Так, если внешний цилиндр покоится (О2 = 0), а вращается только внутренний, то движение неустойчиво. Напротив, если покоится внутренний цилиндр {О\ =0), то движение устойчиво. Подчеркнем, что в изложенных рассуждениях совершенно не учитывалось влияние вязких сил трения при смещении элемен- та жидкости. Поэтому использованный метод применим лишь при достаточно малой вязкости, т. е. достаточно больших числах Рейнольдса. Исследование устойчивости движения при произвольных R должно производиться общим методом, основанным на уравне- ниях B6.4); для движения между вращающимися цилиндрами это было сделано впервые Тэйлором {G.L Taylor, 1924). В данном случае невозмущенное распределение скоростей vq зависит только от цилиндрической координаты г и не зависит ни от угла (р, ни от координаты z вдоль оси цилиндров. Полную систему независимых решений уравнений B6.4) можно поэтому искать в виде vi (r, <p, z) = eHn<P+bz-ut)f® B7.4) с произвольно направленным вектором f®. Волновое число /с, пробегающее непрерывный ряд значений, определяет периодич- ность возмущения вдоль оси z. Число же п пробегает лишь целые значения 0, 1, 2, ... , как это следует из условия однозначности функции по переменной <р; значению п = 0 отвечают осесиммет- ричные возмущения. Допустимые значения частоты ио получают- ся в результате решения уравнений с надлежащими граничными условиями в плоскости z = const (скорость vi = 0 при г = R\ § 27 УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 145 и г = i?2). Поставленная таким образом задача определяет при заданных значениях п и /с, вообще говоря, дискретный ряд соб- ственных частот (ш = иоп \к), где индекс j нумерует различные ветви функции ооп(к)] эти частоты, вообще говоря, комплексны. Роль числа Рейнольдса в данном случае может играть вели- чина ftiRf/u или ^Щ/^ — щж заданных значениях отношений i?i/i?2 и O1/O2, определяющих «тип движения». Будем следить за изменением какой-либо из собственных частот ио = uin (к) при постепенном увеличении числа Рейнольдса. Момент возник- новения неустойчивости (по отношению к данному виду возму- щений) определяется тем значением R, при котором функция j(k) = Imo; впервые обращается в нуль при каком-либо значе- нии к. При R < RKp функция j(k) везде отрицательна, а при R > Ккр она положительна в некотором интервале значений к. Пусть ккр — то значение /с, для которого (при R = RKp) функ- ция j(k) обращается в нуль. Соответствующая функция B7.4) определяет характер того (накладывающегося на основное) дви- жения, которое возникает в жидкости в момент потери устойчи- вости; оно периодично вдоль оси цилиндров с периодом 2тг/ккр. При этом, конечно, фактическая граница устойчивости опреде- ляется тем видом возмущений (т. е. той функцией ищ (А;))), кото- рая дает наименьшее значение RKp; именно эти «наиболее опас- ные» возмущения интересуют нас здесь. Как правило (см. ни- же), ими являются осесимметричные возмущения. Ввиду боль- шой сложности, достаточно полное исследование этих возмуще- ний было произведено лишь для случая узкого зазора между цилиндрами (h = R2 — R\ <С R = {R\ + i?2)/2). Оно приводит к следующим результатам х) . Оказывается, что решению, приводящему к наименьшему зна- чению RKp, отвечает чисто мнимая функция со (к). Поэтому при к = кКр не только Imo; = 0, но и вообще со = 0. Это значит, что первая потеря устойчивости стационарным вращением жид- кости приводит к возникновению другого, тоже стационарного течения 2) . Оно представляет собой тороидальные вихри (их на- зывают тпэйлоровскими), регулярно расположенные вдоль длины ) Подробное изложение можно найти в книгах: Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Физматгиз, 1963. Ч. 2; Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. — Oxford, 1961; Drazin P.G., Reid W.H. Hydrodynamic stability. — Cambridge, 1981. 2)B таких случаях говорят о смене устойчиво emeu. Экспериментальные данные, а также числовые результаты для ряда частных случаев, дают осно- вание считать, что это свойство имеет для рассматриваемого движения об- щий характер и не связано с малостью h. 146 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill цилиндров. Для случая вращения обоих цилиндров в одну сто- рону, на рис. 14 схематически изображены проекции линий то- ка этих вихрей на плоскость меридионального сече- ния цилиндров (скорость v\ имеет в действительно- сти также и азимутальную компоненту). На длине 2тг/ккр каждого периода расположены два вихря с противоположными направлениями вращения. При R, несколько превышающем RKp, имеется уже не одно, а целый интервал значений /с, для ко- торых Imo; > 0. Не следует, однако, думать, что воз- никающее при этом движение будет представлять собой одновременное наложение движений с раз- личными периодичностями. В действительности при каждом R возникает движение с вполне определен- ной периодичностью, стабилизирующее все течение в целом. Определение этой периодичности, однако, уже невозможно с помощью линеаризованного урав- нения B6.4). Ri R2 На рис. 15 изображен примерный вид кривой, разделяющей области устойчивости и неустойчиво- Рис. 14 сти (последняя заштрихована) при заданном значе- нии i?i/i?2- Правая ветвь кривой, соответствующая вращению цилиндров в одну сторону, имеет в качестве асимптоты прямую O2R2 — O±Rf (это свойство имеет в действительности общий ха- рактер и не связано с малостью К). Увеличению числа Рейнольд- са для заданного типа движения отвечает перемещение вверх по прямой, выходящей из начала ко- ординат и отвечающей данному значению O1/O2. На правой части диаграммы все такие прямые, для которых O2R2/O1RI > 1 нигде не пересекают границы области неустойчивости. Напротив, при O2R^/O\R^ < 1 и достаточном увеличении числа Рейнольдса мы всегда попадем в область неустой- чивости — в согласии с условием B7.3). На левой части диаграммы (О\ и О2 имеют различные знаки) всякая прямая, проведенная из начала координат, пересекает границу заштрихованной области, т. е. при достаточном увеличении числа Рейнольдса стационар- ное движение в конце концов теряет устойчивость при любом отношении IO2/O1I —снова в согласии с полученными выше ре- зультатами. При О2 = 0 (вращается только внутренний цилиндр) неустойчивость наступает при числе Рейнольдса (определенном Рис. 15 § 28 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ПО ТРУБЕ 147 как R = №liRi/v), равном ^1 B7.5) Отметим, что в рассматриваемом движении вязкость оказы- вает стабилизирующее влияние: движение, устойчивое при v = = 0, остается устойчивым и при учете вязкости; движение же, неустойчивое при v = 0, может оказаться устойчивым для вяз- кой жидкости. Неосесимметричные возмущения движения между вращаю- щимися цилиндрами не исследованы систематически. Результа- ты расчетов частных случаев дают основание считать, что на правой стороне диаграммы рис. 15 наиболее опасными всегда остаются осесимметричные возмущения. Напротив, на левой сто- роне диаграммы, при достаточно больших значениях IO2/O1I, учет неосесимметричных возмущений, по-видимому, несколько изменяет форму граничной кривой. При этом вещественная часть частоты возмущения не обращается в нуль, так что возникаю- щее движение нестационарно; это существенно меняет характер неустойчивости. Предельным (при h —>> 0) случаем движения между вращаю- щимися цилиндрами является движение жидкости между двумя движущимися друг относительно друга параллельными плоско- стями (см. § 17). Это движение устойчиво по отношению к бес- конечно малым возмущениям при любых значениях числа R = = hujv (^ — относительная скорость плоскостей).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Устойчивость вращательного движения жидкости» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
