Рассуждения, аналогичные вышеизложенным, могут быть проведены по поводу распределения скоростей вблизи свободной поверхности жидкости. Рассмотрим колебательное движение, происходящее у поверхности жидкости (например, гравитацион- ные волны). Предположим, что выполняются условия B4.11), в которых теперь роль размеров / играет длина волны А: A2a;>z^ a<A B5.1) (а — амплитуда полны, uj — ее частота). Тогда можно утверждать, что решение будет вихревым лишь в тонком слое у поверхности жидкости, а в основном ее объеме движение будет потенциаль- ным— таким, каким оно было бы у идеальной жидкости. Движение вязкой жидкости должно удовлетворять у свобод- ной поверхности граничным условиям A5.16), требующим исчез- новения определенных комбинаций производных от скорости по 134 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II координатам. Движение же, получающееся в результате решения уравнений гидродинамики идеальной жидкости, этому условию не удовлетворяет. Подобно тому как это было сделано в преды- дущем параграфе для скорости vyi мы можем заключить, что в тонком слое у поверхности жидкости соответствующие произ- водные скорости будут быстро уменьшаться. Существенно отме- тить, что градиент скорости не будет при этом аномально боль- шим, как это имело место вблизи твердой поверхности. Вычислим диссипацию энергии в гравитационной волне. Здесь надо говорить не о диссипации кинетической энергии, а о дис- сипации механической энергии Еме^1 включающей в себя наряду с кинетической также и потенциальную энергию в поле тяже- сти. Ясно, однако, что на обусловленную процессами внутренне- го трения в жидкости диссипацию энергии не может влиять факт наличия или отсутствия поля тяжести. Поэтому Еме^ определя- ется той же формулой A6.3): 2 _ г] f f dvi dvk\ ,T/ — -- / I — + — 1 av. 2 J \дхк dxi/ дхк При вычислении этого интеграла для гравитационной волны на- до заметить, что поскольку объем поверхностного слоя вихревого движения мал, а градиент скорости в нем не аномально велик, фактом наличия этого слоя можно пренебречь, в противополож- ность тому, что мы имели в случае колебаний твердой поверхно- сти. Другими словами, интегрирование должно производиться по всему объему жидкости, в котором, как мы видели, жидкость движется как идеальная. Но движение в гравитационной волне в идеальной жидкости было уже нами определено в § 12. Это движение потенциально, и потому так что Потенциал ср имеет вид ср = ср0 cos (kx — uot + a)ekz. Нас интересует, конечно, не мгновенное, а среднее по времени значение диссипируемой энергии. Замечая, что средние значения квадратов косинуса и синуса одинаковы, получим с1У. B5.2) Что касается самой энергии гравитационной волны, то для ее вычисления можно воспользоваться известным из механики § 25 ЗАТУХАНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН 135 обстоятельством, что у всякой системы, совершающей малые ко- лебания (колебания с малой амплитудой), средняя кинетическая и потенциальная энергии равны друг другу. На этом основа- нии можно написать Еме:к просто как удвоенную кинетическую энергию: откуда Ё?мех = 2Р^2 f^dV. B5.3) Затухание волн удобно характеризовать коэффициентом за- тухания 7, определенным как отношение 7 = \Емех\/BЁ). B5.4) С течением времени энергия волны падает по закону Е = = const • е~27*; что касается амплитуды волны, то, поскольку энергия пропорциональна ее квадрату, закон ее уменьшения со временем определяется множителем е~7*. С помощью B5.2), B5.3) находим 7 = 2гД;2. B5.5) Подставляя сюда A2.7), получим коэффициент затухания гра- витационных волн в виде 7 = ^- B5.6)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Затухание гравитационных волн» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
