При стационарном обтекании твердого тела вязкой жидко- стью движение жидкости на больших расстояниях позади тела обладает своеобразным характером, который может быть иссле- дован в общем виде вне зависимости от формы тела. Обозначим через U постоянную скорость натекающего на те- ло потока жидкости (направление U выберем в качестве оси х с началом где-либо внутри обтекаемого тела). Истинную же ско- рость жидкости в каждой точке будем писать в виде U + v; на бесконечности v обращается в нуль. Оказывается, что на больших расстояниях позади тела ско- рость v заметно отлична от нуля лишь в сравнительно узкой области вокруг оси х. В эту область, называемую ламинарным следом х) , попадают частицы жидкости, движущиеся вдоль ли- ний тока, проходящих мимо обтекаемого тела на сравнительно небольших расстояниях от него. Поэтому движение жидкости в следе существенно завихрено. Дело в том, что источником зави- хренности при обтекании твердого тела вязкой жидкостью яв- ляется именно его поверхность 2) . Это легко понять, вспомнив, х) В отличие от турбулентного следа — см. § 37. ) На неправомерность утверждения о сохранении равенства rot v = 0 вдоль линий тока, проходящей вдоль твердой поверхности, указывалось уже в 8 9. 102 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II что в картине потенциального обтекания, отвечающей идеаль- ной жидкости, на поверхности тела обращается в нуль только нормальная, но не тангенциальная скорость жидкости v^. Меж- ду тем граничное условие прилипания для реальной жидкости требует обращения в нуль также и v^. При сохранении картины потенциального обтекания это привело бы к конечному скачку wt — возникновению поверхностного ротора скорости. Под влия- нием вязкости скачок размывается и завихренность проникает в глубь жидкости, откуда и переносится конвективным образом в область следа. На линиях же тока, проходящих достаточно далеко от те- ла, влияние вязкости незначительно на всем их протяжении, и потому ротор скорости на них (равный нулю в натекающем из бесконечности потоке) остается практически равным нулю, как это было бы в идеальной жидкости. Таким образом, на больших расстояниях от тела движение жидкости можно считать потен- циальным везде, за исключением лишь области следа. Выведем формулы, связывающие свойства движения жидко- сти в следе с действующими на обтекаемое тело силами. Полный поток импульса, переносимого жидкостью через ка- кую-нибудь замкнутую поверхность, охватывающую собой обте- каемое тело, равен взятому по этой поверхности интегралу от тензора потока импульса: Компоненты тензора П^ равны Пг/с = pSik + p(Ui - Vi)(Uk + Vk). Напишем давление в виде р = Ро+р', ГДе Ро ~ давление на беско- нечности. Интегрирование постоянного члена ро5ц~ + pUiUk даст в результате нуль, поскольку для замкнутой поверхности век- торный интеграл § df = 0. Обращается в нуль также и интеграл f pvkdfk'. поскольку полное количество жидкости в рассматри- ваемом объеме остается неизменным, полный поток жидкости через охватывающую его поверхность должен исчезать. Нако- нец, вдали от тела скорость v мала по сравнению с U. Поэтому если рассматриваемая поверхность расположена достаточно да- леко от тела, то на ней можно пренебречь в П^ членом pviVk по сравнению с pU^Vi. Таким образом, полный поток импульса будет равен интегралу Выберем теперь в качестве рассматриваемого объема жидко- сти объем между двумя бесконечными плоскостями х = const, § 21 ЛАМИНАРНЫЙ СЛЕД 103 из которых одна взята достаточно далеко впереди, а другая — позади тела. При определении полного потока импульса интег- рал по бесконечно удаленной «боковой» поверхности исчезает (так как на бесконечности р' = 0, v = 0), и поэтому достаточно интегрировать только по обеим поперечным плоскостям. Полу- чающийся таким образом поток импульса представляет собой, очевидно, разность между полным потоком импульса, втекаю- щим через переднее, и потоком, вытекающим через заднее сече- ние. Но эта разность является в то же время количеством им- пульса, передаваемым в единицу времени от жидкости к телу, т. е. силой F, действующей на обтекаемое тело. Таким образом, компоненты силы F равны разностям Fx= - I J (р' + pUvx) dydz, Х=Х\ Х=Х2 Х=Х\ Fy=( I - I \pUvydydz, Fz=( I - I \pUvzdydz, X=X2 X=X\ X=X2 X=X\ где интегрирование производится по бесконечным плоскостям х = %\ (значительно позади) и х = %2 (значительно впереди тела). Рассмотрим сначала первую из этих величин. Вне следа движение потенциально, и потому справедливо уравнение Бернулли р + ?(U + vJ = const = р0 + P-U2, или, пренебрегая членом pv /2 по сравнению с pUv, р = -pUvx. Мы видим, что в этом приближении подынтегральное выраже- ние в Fx обращается в нуль во всей области вне следа. Други- ми словами, интеграл по плоскости х = Х2 (проходящей впе- реди тела и не пересекающей след вовсе) исчезает полностью, а в интеграле по задней плоскости х = х\ надо интегрировать лишь по площади сечения следа. Но внутри следа изменение дав- ления р' — порядка величины pv2, т. е. мало по сравнению с pUvx. Таким образом, приходим к окончательному результату, что сила сопротивления, действующая на тело в направлении обтекания, равна Fx = -pU I vxdydz, B1.1) где интегрирование производится по площади поперечного сече- ния следа вдали от тела. Скорость vx в следе, разумеется, отри- цательна— жидкость движется здесь медленнее, чем она двига- лась бы при отсутствии тела. Обратим внимание на то, что стоя- щий в B1.1) интеграл определяет «дефицит» расхода жидкости 104 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II через сечение следа по сравнению с расходом при отсутствии тела. Рассмотрим теперь силу (с компонентами Fyi Fz), стремя- щуюся сдвинуть тело в поперечном направлении. Эта сила назы- вается подъемной. Вне следа, где движение потенциально, можно написать vy = dip/'ду, vz = dip/ dz] интеграл по проходящей везде вне следа плоскости х = %2 обращается в нуль: / vy dy dz = I -?- dy dz = 0, I -^ dy dz = 0, поскольку на бесконечности ip = 0. Таким образом, для подъем- ной силы получаем выражение Fy = -pU I Vydydz, Fz = -pU f vzdydz. B1.2) Интегрирование в этих формулах фактически тоже производит- ся лишь по площади сечения следа. Если обтекаемое тело обла- дает осью симметрии (не обязательно полной аксиальной сим- метрии) и обтекание происходит вдоль направления этой оси, то осью симметрии обладает и движение жидкости вокруг тела. В этом случае подъемная сила, очевидно, отсутствует. Вернемся снова к движению жидкости в следе. Оценка раз- личных членов в уравнении Навье-Стокса показывает, что чле- ном z/Av можно, вообще говоря, пренебречь на расстояниях г от тела, удовлетворяющих условию rU jv Ъ> 1 (ср. вывод обратного условия B0.16)); это и есть те расстояния, на которых движение жидкости (вне следа) можно считать потенциальным. Однако такое пренебрежение недопустимо даже на этих расстояниях в области внутри следа, поскольку здесь поперечные производные д^лг/ду2, d^v/dz2 велики по сравнению с продольной производ- ной d2w/dx2. Пусть Y — порядок величины ширины следа, т. е. тех рас- стояний от оси ж, на которых скорость v заметно падает. Тогда порядки величины членов в уравнении Навье-Стокса: , VT4 Tjdv Uv д d2v w vv v ~ U— ~ —, uAv ~ v ~ —. V } 3x x ' ду2 У2 Сравнив эти величины, найдем Y = [ух IVY12. B1.3) Эта величина действительно мала по сравнению с х ввиду пред- положенного условия Uxjv ^> 1. Таким образом, ширина лами- нарного следа растет пропорционально корню из расстояния до тела. Чтобы определить закон убывания скорости в следе, обра- тимся к формуле B1.1). Область интегрирования в ней ~У . § 21 ЛАМИНАРНЫЙ СЛЕД 105 Поэтому оценка интеграла дает Fx ~ pUvY2 и, использовав соот- ношение B1.3), получим искомый закон: v~Fx/(pvx). B1.4) Выяснив качественные особенности ламинарного движения вдали от обтекаемого тела, обратимся к выводу количественных формул, описывающих картину движения в следе и вне его.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Ламинарный след» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
