Полученное выше решение задачи об обтекании оказывается неприменимым на достаточно больших расстояниях от шара, несмотря на малость числа Рей- нольдса. Для того чтобы убедиться в этом, оценим член (vV)v, которым мы пренебрегли B0.1). На больших расстояниях ско- рость v^u. Производные же от скорости на этих расстояниях — порядка величины uR/r2, как это видно из B0.9). Следователь- но, (vV)v~ii2i?/r2. Оставленные же в уравнении B0.1) члены — порядка величины r]Ru/(pr3) (как это можно увидеть из той же г) Имея в виду некоторые дальнейшие применения, укажем, что если про- изводить вычисления, пользуясь выражением B0.7) для скорости с неопре- деленными постоянными а и 6, то получится F = 8тгат]и. B0.14а) Сила сопротивления может быть вычислена и для медленно движущегося произвольного трехосного эллипсоида. Соответствующие формулы можно найти в кн.: Лэмб Г. Гидродинамика. — М.: Гостехиздат, 1947. Укажем здесь предельные выражения для плоского круглого диска (радиуса Я), движу- щегося в направлении, перпендикулярном к своей плоскости: F = lGrjRu, и для такого же диска, движущегося в своей плоскости: F = C2/3)r]Ru. 94 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II формулы B0.9) для скорости или формулы B0.12) для давле- ния). Условие ur]R/(pr^) ^> u^R/r2 выполняется только на рас- стояниях г^и/и. B0.16) На больших расстояниях сделанные пренебрежения оказывают- ся незаконными и полученное распределение скоростей непра- вильным. Для получения распределения скоростей на больших рассто- яниях от обтекаемого тела следует учесть отброшенный в B0.1) член (vV)v. Поскольку на этих расстояниях скорость v мало отличается от и, то можно написать приближенно (uV) вместо (vV). Тогда мы получим для скорости на больших расстояниях линейное уравнение (uV)v = --Vp + z/Av B0.17) Р (C.W. Oseen, 1910). Мы не станем излагать здесь ход решения этого уравнения для обтекания шара . Укажем лишь, что с помощью получаемого таким образом распределения скоростей можно вывести уточненную формулу для испытываемой шаром силы сопротивления (следующий член разложения этой силы по числу Рейнольдса R = uRjv): + —V B0.18) 8v / Укажем также, что при решении задачи об обтекании беско- нечного цилиндра жидкостью, движущейся в поперечном к ци- линдру направлении, необходимо с самого начала решать урав- нение Осеена (уравнение же B0.1) в этом случае вовсе не обла- дает решением, удовлетворяющим граничным условиям на по- верхности тела и в то же время обращающимся в нуль на бес- конечности). Отнесенная к единице длины сила сопротивления оказывается равной F = ^ = ^ , B0.19) l/2C\(R/4v) In C,70/ito) V J где С = 0,577... —число Эйлера (Я. Lamb, 1911) 2). 1)Его можно найти в книгах: Кочин Н.Е., Кибелъ И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Физматтиз, 1963. Ч. 2. Гл. II, § 25, 26; Лэмб Г. Гидродинамика. — М.: Гостехиздат, 1947. § 342, 343. ) Невозможность вычисления силы сопротивления в задаче о цилиндре с помощью уравнения B0.1) очевидна уже из соображений размерности. Как уже отмечено выше, результат должен был бы выражаться только через па- раметры т/, и, R. Но в данном случае речь идет о силе, отнесенной к единице длины цилиндра; величиной такой размерности могло бы быть только про- изведение г]и, не зависящее от размеров тела (и тем самым не обращающееся в нуль при R —>- 0), что физически нелепо. § 20 ТЕЧЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА 95 Возвращаясь к задаче об обтекании шара, надо сделать сле- дующее замечание. Произведенная в уравнении B0.17) замена v на и в нелинейном члене оправдана вдали от шара, на расстоя- ниях r^>R. Естественно поэтому, что, давая правильное уточне- ние картины движения на больших расстояниях от обтекаемого тела, уравнение Осеена не дает такого уточнения на близких рас- стояниях (это проявляется в том, что решение уравнения B0.17), удовлетворяющее необходимым условиям на бесконечности, не удовлетворяет точному условию обращения в нуль скорости на поверхности шара; это условие соблюдается лишь для нулевого члена разложения скорости по степеням числа Рейнольдса и не выполняется уже для члена первого порядка). Поэтому на пер- вый взгляд может показаться, что решение уравнения Осеена не может послужить для правильного вычисления поправочного члена в силе сопротивления. Это, однако, не так по следующей причине. Вклад в силу F, связанный с движением жидкости на близких расстояниях (для которых u^v/r), должен быть разло- жим по степеням вектора и. Поэтому первый происходящий от этого вклада отличный от нуля поправочный член в векторной величине F будет пропорционален ии2, т. е. дает поправку второ- го порядка по числу Рейнольдса и, таким образом, не отразится на поправке первого порядка в формуле B0.18). Вычисление же следующих поправок к формуле Стокса и правильное уточнение картины течения на близких расстояни- ях с помощью прямого решения уравнения B0.17) невозможно. Хотя сам по себе вопрос об этих уточнениях и не столь важен, вы- яснение своеобразного характера последовательной теории воз- мущений для решения задач об обтекании вязкой жидкостью при малых числах Рейнольдса представляет заметный методи- ческий интерес (S. Kaplun, P.A. Lagerstrom, 1957; /. Proudman, J.R. Pearson, 1957). Опишем имеющую здесь место ситуацию, приведя все нужные для ее уяснения формулы, но не останавли- ваясь на детальном проведении вычислений г) . ) Его можно найти в кн.: Ван-Дайк М. Методы возмущений в механи- ке жидкости. — М.: Мир, 1967. Гл. VIII {Van Dyke M. Perturbation methods in fluid mechanics. — Acad. Press, 1964). Вычисления произведены здесь не в терминах скорости v®, а в менее наглядных, но более компактных тер- минах функции тока. Для осесимметричных течений (к которым относится обтекание шара) функция тока ф(г, 0) в сферических координатах вводится согласно определению г2 sin в 1 дф rsm0 or Тем самым тождественно удовлетворяется уравнение непрерывности A5.22). 96 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II Для явного выявления малого параметра R —числа Рей- нольдса — введем безразмерные скорость и радиус-вектор v7 = v/гл, г' = r/R и ниже в этом параграфе будем обозначать их теми же буквами v и г, опуская штрих. Тогда точное уравне- ние движения (которое возьмем в форме A5.10) с исключенным давлением) запишется в виде Rrotfvrotv] + Arotv = 0. B0.20) Выделим в пространстве вокруг обтекаемого шара две обла- сти: ближнюю и дальнюю, определенные соответственно усло- виями г <С 1/R и г>1. Вместе эти области исчерпывают все пространство, причем частично они перекрываются в «проме- жуточной» области 1/R>r>l. B0.21) При проведении последовательной теории возмущений исход- ным приближением в ближней области является стоксово при- ближение— решение уравнения Arotv = 0, получающегося из B0.20) пренебрежением члена с множителем R. Это решение да- ется формулами B0.10); в безразмерных переменных оно имеет вид -- + — V v^ = -sme(l---—), r<l/R B0.22) (индекс A) отмечает первое приближение). Первым приближением в дальней области является просто постоянное значение v^1) = i/, отвечающее невозмущенному од- нородному набегающему потоку (z/— единичный вектор в на- правлении обтекания). Подстановка v = i/ + v^ в B0.20) приво- дит для vB) к уравнению Осеена R rot \y rot v^2'] + A rot v^2' = 0. B0.23) Решение должно удовлетворять условию обращения скорости v^2) в нуль на бесконечности и условию сшивки с решением B0.22) в промежуточной области; последнее условие исключает, в частности, решения, слишком быстро возрастающие с умень- шением г г) . Таким решением является следующее: 3 |\ jl [l + A + cos B0.24) 1) Для фиксирования численных коэффициентов в решении надо также учесть условие обращения в нуль полного потока жидкости через всякую замкнутую поверхность, охватывающую собой обтекаемый шар. § 20 ТЕЧЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА 97 Отметим, что естественной переменной для дальней области яв- ляется не сама радиальная координата г, а произведение р = rR. При введении этой переменной из уравнения B0.20) выпадает число R — в соответствии с тем, что при г > 1/R вязкие и инер- ционные члены в уравнении сравниваются по порядку величи- ны. Число R входят при этом в решение только через граничное условие сшивки с решением в ближней области. Поэтому разло- жение функции v® в дальней области является разложением по степеням R при заданных значениях произведения р = rR; действительно, вторые члены в B0.24), будучи выражены че- рез р, содержат множитель R. Для проверки правильности сшивки друг с другом решений B0.22) и B0.24), замечаем, что в промежуточной области B0.21) rR^Cl и выражения B0.24) могут быть разложены по этой пере- менной. С точностью до первых двух (после однородного потока) членов разложения находим vr = cos6>(l- —) + — A-cos6>)(l + 3cos6>), 16 ) + / зч 163R B0.25) ve =-smell - —) - — sin0(l - cos0). V 4r/ 8 С другой стороны, в той же области г»1 и потому в B0.22) можно опустить члены ~1/г3; остающиеся выражения действи- тельно совпадают с первыми членами в B0.25) (вторые члены в B0.25) понадобятся ниже). Для перехода к следующему приближению в ближней обла- сти пишем v = v^1) + vB) и получаем из B0.20) уравнение для поправки второго приближения: Arotv^ = -Rrotfv^rotvW]. B0.26) Решение этого уравнения должно удовлетворять условию обра- щения в нуль на поверхности шара и условию сшивки с решени- ем в дальней области; последнее означает, что главные члены в функции v^2) (г) при г ^> 1 должны совпасть со вторыми членами в B0.25). Таким решением является следующее: k 2 8 32 V г/ \ г 3R A) , 3R/1 1\Л.1.1.2\.л л v\ ' = —v\ ' + — 1 - - 4 + - + — + — sin 0 cos 0, в 8в 32 V rJ V г г2 г3/ ' г < 1/R. B0.27) В промежуточной области в этих выражениях остаются только члены, не содержащие множителей 1/г; эти члены действительно совпадают со вторыми членами в B0.25). По распределению скоростей B0.27) можно вычислить по- правку к формуле Стокса для силы сопротивления. Вторые 4 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI 98 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II члены в B0.27) в силу своей угловой зависимости не дают вкла- да в силу, а первые дают как раз тот поправочный член 3R/8, который был приведен в B0.18). В соответствии с изложенной выше аргументацией правильное распределение скоростей вбли- зи шара приводит (в рассмотренном приближении) к тому же результату для силы, что и решение уравнения Осеена. Следующее приближение может быть получено путем про- должения описанной процедуры. В этом приближении в распре- делении скоростей появляются логарифмические члены, а в вы- ражении B0.18) для силы сопротивления скобка заменяется на RRln 8 40 R (причем логарифм ln(l/R) предполагается большим) х) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уточнение формулы Стокса» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Укажем лишь, что с 
3R A) , 3R/1 1\Л.1.1.2\.л л 