При изучении движения вязких жидкостей можно получить ряд существенных результатов из простых соображений, связан- ных с размерностью различных физических величин. Рассмот- рим какой-нибудь определенный тип движения. Этим типом 1) Решение более сложной задачи о движении вязкой жидкости в узком зазоре между цилиндрами с параллельными, но эксцентрично расположен- ными осями, можно найти в кн.: Кочин Н.Е., Кибелъ И.А., Розе Н.В. Тео- ретическая гидромеханика.— М.: Физматгиз. 1963. Ч. 2, С. 534. § 19 ЗАКОН ПОДОБИЯ 87 может быть, например, движение тела определенной формы че- рез жидкость. Если тело не является шаром, то должно быть также указано, в каком направлении оно движется, например, движение эллипсоида в направлении его большой оси или в на- правлении его малой оси и т. п. Далее, речь может идти о тече- нии жидкости по области, ограниченной стенками определенной формы (по трубе определенного сечения и т. п.). Телами одинаковой формы мы называем при этом тела гео- метрически подобные, т. е. такие, которые могут быть получены друг из друга изменением всех линейных размеров в одинако- вое число раз. Поэтому если форма тела задана, то для полно- го определения размеров тела достаточно указать какой-нибудь один из его линейных размеров (радиус шара или цилиндриче- ской трубы, одну из полуосей эллипсоида вращения с заданным эксцентриситетом и т. п.). Мы будем рассматривать сейчас стационарные движения. По- этому если речь идет, например, об обтекании твердого тела жид- костью (ниже мы говорим для определенности о таком случае), то скорость натекающего потока жидкости должна быть посто- янной. Жидкость мы будем предполагать несжимаемой. Из параметров, характеризующих самую жидкость, в гидро- динамические уравнения (уравнение Навье-Стокса) входит толь- ко кинематическая вязкость v = r\j p\ неизвестными же функция- ми, которые должны быть определены решением уравнений, яв- ляются при этом скорость v и отношение р/р давления р к по- стоянной р. Кроме того, течение жидкости зависит посредством граничных условий от формы и размеров движущегося в жид- кости тела и от его скорости. Поскольку форма тела считается заданной, то его геометрические свойства определяются всего од- ним каким-нибудь линейным размером, который мы обозначим буквой /. Скорость же натекающего потока пусть будет и. Таким образом, каждый тип движения жидкости определя- ется тремя параметрами: v^ и, I. Эти величины обладают раз- мерностями: [и] — см2/с, [I] — см, [и] — см/с. Легко убедиться в том, что из этих величин можно составить все- го одну независимую безразмерную комбинацию, именно, lujv. Эту комбинацию называют числом Рейнольдса и обозначают че- рез R: R=^ = ^. A9.1) К) V Всякий другой безразмерный параметр можно написать в виде функции от R. Будем измерять длины в единицах /, а скорости — в едини- цах и, т. е. введем безразмерные величины т/1 и лг/и. Поскольку ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II единственным безразмерным параметром является число Рей- ноль дса, то ясно, что получающееся в результате решения гидро- динамических уравнений распределение скоростей определяется функциями вида v = uf(^,R]. A9.2) Из этого выражения видно, что в двух различных течениях од- ного и того же типа (например, обтекание шаров различного ра- диуса жидкостями различной вязкости) скорости у/и являются одинаковыми функциями отношения г//, если только числа Рей- ноль дса для этих течений одинаковы. Течения, которые могут быть получены друг из друга простым изменением масштаба из- мерения координат и скоростей, называются подобными. Таким образом, течения одинакового типа с одинаковым числом Рей- нольдса подобны —так называемый закон подобия (О. Reynolds, 1883). Аналогичную A9.2) формулу можно написать и для распре- деления давления в жидкости. Для этого надо составить из па- раметров ^, /, и величину с размерностью давления, деленного на р] в качестве такой величины выберем, например, и2. Тогда можно утверждать, что р/ри2 будет функцией от безразмерной переменной г/1 и безразмерного параметра R. Таким образом, A9.3) Наконец, аналогичные соображения применимы к величинам, характеризующим течение жидкости, но не являющимся уже функциями координат. Таковой является, например, действую- щая на обтекаемое тело сила сопротивления F. Именно, можно утверждать, что безразмерное отношение F к составленной из v, и, /, р величине размерности силы должно быть функцией толь- ко от числа Рейнольдса. В качестве указанной комбинации из v, и, /, р можно взять, например, произведение pu2l2. Тогда F = pu2l2f®. A9.4) Если влияние силы тяжести на движение существенно, то движение определяется не тремя, а четырьмя параметрами: /, и, v и ускорением свободного падения g. Из этих параметров можно составить уже не одну, а две независимые безразмерные комбинации. В качестве их можно, например, выбрать число Рей- нольдса и число Фруда, равное F = u2/(lg). A9.5) В формулах A9.2)—A9.4) функция / будет зависеть теперь не от одного, а от двух параметров (R и F), и течения являются подобными лишь при равенстве обоих этих чисел. § 20 ТЕЧЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА 89 Наконец, скажем несколько слов о нестационарных движе- ниях. Нестационарное движение определенного типа характери- зуется наряду с величинами v, и, I еще значением какого-либо характерного для этого движения интервала времени т, опреде- ляющего изменение движения со временем. Так, при колебаниях погруженного в жидкость твердого тела определенной формы этим временем может являться период колебаний. Из четырех величин v, и, /, т можно опять составить не одну, а две незави- симые безразмерные величины, в качестве которых можно взять число Рейнольдса и число S = ut/1, A9.6) называемое иногда числом Струхала (Strouhal). Подобие дви- жений имеет место в таких случаях при равенстве обоих этих чисел. Если колебания в жидкости возникают самопроизвольно (а не под влиянием заданной внешней вынуждающей силы), то для движения определенного типа число S будет определенной функ- цией числа R: S = /®.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Закон подобия» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
