Рассмотрим несколько простейших случаев движения вязкой несжимаемой жидкости. Пусть жидкость заключена между двумя параллельными плоскостями, движущимися друг относительно друга с постоян- ) Мы рассматриваем движение жидкости в системе координат, в которой жидкость на бесконечности покоится. Здесь и в аналогичных других местах мы для определенности говорим о бесконечном объеме жидкости, что отнюдь не означает какого-либо огра- ничения общности. Так, для жидкости, заключенной в ограниченном твер- дыми стенками объеме, интеграл по поверхности этого объема все равно обратился бы в нуль в силу условия равенства нулю скорости на стенке. 80 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II ной скоростью и. Плоскость xz выберем в одной из них, причем ось х направим по направлению скорости и. Все величины за- висят, очевидно, только от координаты у, а скорость жидкости направлена везде по оси х. Из A5.7) имеем для стационарного движения * = 0, — = 0. dy dy2 (Уравнение же непрерывности удовлетворяется тождественно.) Отсюда р = const, v = ay + b. При у = 0 и при у = h (h — рассто- яние между плоскостями) должно быть соответственно v = 0 и v = и. Отсюда находим v = У-и. A7.1) h Таким образом, распределение скоростей в жидкости линейно. Средняя скорость жидкости h vdy = ^. A7.2) о Из A5.14) находим, что нормальная компонента действующей на плоскости силы равна, как и должно было быть, просто р, а тангенциальная сила трения (на плоскости у = 0) равна dv пи (л п о \ (Уху =V^- = JT A7-3) dy h (на плоскости у = h она имеет обратный знак). Далее, рассмотрим стационарное течение жидкости между двумя неподвижными параллельными плоскостями при нали- чии градиента давления. Координаты выбираем, как в предыду- щем случае; ось х направлена по направлению движения жидко- сти. Уравнения Навье-Стокса дают (скорость зависит, очевидно, только от координаты у): d?v_ _ ^др_ ®Е — Q ду2 г] дх ду Второе из этих уравнений показывает, что давление не зависит от у, т. е. оно постоянно вдоль толщины слоя жидкости между плоскостями. Тогда в первом уравнении справа стоит функция только от ж, а слева — только от у; такое уравнение может вы- полняться, только если его левая и правая части являются по- стоянными величинами. Таким образом, — = const, dx т. е. давление является линейной функцией координаты х вдоль направления потока жидкости. Для скорости же получаем теперь v = ^~т~у2 + аУ + ь- 2г] dx § 17 ТЕЧЕНИЕ ПО ТРУБЕ 81 Постоянные а и b определяются из граничных условий v = 0 при у = 0 л у = h. В результате получаем %(yh). A7.4) 2rj dx Таким образом, скорость меняется вдоль толщины слоя жидко- сти по параболическому закону, достигая наибольшей величины посередине слоя. Для среднего по толщине слоя жидкости зна- чения ее скорости вычисление дает — h2 dp / л п г \ v = — -. A7.5) 12г] dx v J Сила трения, действующая на неподвижную стенку: dv оху = п- h dp A7.6) у=0 2 dx Наконец, рассмотрим стационарное течение жидкости по тру- бе произвольного сечения (одинакового вдоль всей длины тру- бы). Ось трубы выберем в качестве оси х. Очевидно, что ско- рость v жидкости направлена везде по оси х и является функ- цией только у ж z. Уравнение непрерывности удовлетворяется тождественно, а у- и ^-компоненты уравнения Навье-Стокса да- ют опять др/ду = dp/dz = 0, т. е. давление постоянно вдоль сечения трубы, ж-компонента уравнения A5.7) дает ^ + ^ = 1* A7.7) ду2 dz2 г] dx Отсюда опять получаем, что — = const; градиент давления мож- dx но поэтому написать в виде Ар/1, где Ар —разность давлений на концах трубы, а / — ее длина. Таким образом, распределение скоростей в потоке жидкости в трубе определяется двумерным уравнением типа Дг> = const. Это уравнение должно быть решено при граничном условии и = = 0 на контуре сечения трубы. Решим это уравнение для трубы кругового сечения. Выбирая начало координат в центре круго- вого сечения и вводя полярные координаты, имеем в силу сим- метрии v = v®. Воспользовавшись выражением для оператора Лапласа в полярных координатах, имеем (г) . г dr \ dr) r\l Интегрируя, находим v = -^r2 + alnr + 6. A7.8) 4г]1 Постоянную а надо положить равной нулю, поскольку скорость должна оставаться конечной во всем сечении трубы, включая его 82 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II центр. Постоянную b определяем из требования v = 0 при г = R (R — радиус трубы) и получаем и = ^(Д2-г2). A7.9) Таким образом, скорость распределена по сечению трубы по па- раболическому закону. Легко определить количество (массу) жидкости Q, проте- кающей в 1 с через поперечное сечение трубы (или, как гово- рят, расход жидкости в трубе). Через кольцевой элемент 2тгг dr площади сечения трубы проходит в 1 с количество жидкости р • 2nrv dr. Поэтому R Q = 2тгр / rv dr. о С помощью A7.9) получаем Q = К . A7.1UJ Количество протекающей жидкости пропорционально четвертой степени радиуса трубы .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Течение по трубе» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 