Своеобразные гравитационные волны могут распространять ся внутри несжимаемой жидкости. Их происхождение связано с вызываемой наличием поля тяжести неоднородностью жидко сти: ее давление (а с ним и энтропия s) непременно будет ме няться с высотой; поэтому всякое смещение какого-либо участка жидкости по высоте приведет к нарушению механического рав новесия, а потому к возникновению колебательного движения. Действительно, ввиду адиабатичности движения этот участок принесет с собой в новое место свое значение энтропии « отлич s, ное от ее равновесного значения в этом месте.
ВН У ТРЕН Н И Е ВОЛНЫ В Н ЕСЖ И М А ЕМ О Й Ж И Д К О С Т И
63
Мы будем ниже предполагать, что длина распространяющей ся в жидкости волны мала по сравнению с расстояниями, на ко торых поле тяжести вызывает заметное изменение плотности . Саму жидкость мы будем при этом рассматривать как несжима емую. Это значит, что можно пренебречь изменением ее плотно сти, связанным с изменением давления в волне. Изменением же плотности, связанным с тепловым расширением, отнюдь нельзя пренебречь, так как именно оно определяет собой все явление. Выпишем систему гидродинамических уравнений для рас сматриваемого движения. Будем отмечать значения величин в состоянии механического равновесия индексом нуль, а малые отклонения от этих значений в волне —штрихом. Тогда уравне ние сохранения энтропии s = sq + s' напишется с точностью до величин первого порядка малости в виде ^ + vVs 0 = 0, (13.1)
где «so, как и равновесные значения других величин, является заданной функцией вертикальной координаты Далее, в уравнении Эйлера снова пренебрегаем (в силу мало сти колебаний) членом (vV)v; учитывая также, что равновесное распределение давления определяется уравнением Vpo = pog> получим с той же точностью dv _ О. dti Ур , О р Ур ро , Уро ; 2 pz ' * 0
Поскольку согласно сказанному выше изменение плотности свя зано только с изменением энтропии, но не давления, то можно написать: Vdsо/ р
и мы получим уравнение Эйлера в виде Ё1 = в(ЁРо) S' - V l . dt р \ ds о / р ро
(13.2)
Величину ро можно ввести под знак градиента, так как изме нением равновесной плотности на расстояниях порядка длины х) Градиент плотности связан с градиентом давления равенством Vp = ) V p = c2Vp,
где с —скорость звука в жидкости. Поэтому из гидростатического уравнения УР = Pg имеем Vр = (p/c2)g. Отсюда видно, что существенное изменение плотности в поле тяжести происходит на расстояниях I и с2/g. Для воздуха I и 1 0 км, для воды 2 0 0 км.
64
И Д ЕА Л ЬН А Я Ж И Д К О С Т Ь
ГЛ. I
волны мы, согласно сказанному выше, все равно пренебрегаем. По этой же причине можно считать плотность постоянной и в уравнении непрерывности, которое сводится при этом к divv = 0. (13.3)
Будем искать решение системы уравнений (13.1)— (13.3) в виде плоской волны: V = const • e*(kr_a;t) и аналогично для sf и pf. Подстановка в уравнение непрерывно сти (13.3) дает vk = 0, (13.4)
т. е. скорость жидкости везде перпендикулярна к волновому век тору (поперечная волна). Уравнения же (13.1) и (13.2) дают т~ 7 IU / = vVSo, JS • 1 ък —100V = — {дРо \) s/g ——p/. I ро Vds о / p po
Условие kv = 0, примененное ко второму из этих равенств, при водит к соотношению гк2р' = ( |^ ) Vos о/ р
s'(gk),
и исключая затем из обоих уравнений v и s', получим искомый закон дисперсии —соотношение между частотой и волновым век тором: со2 = ljq sin2 где обозначено w2 = -К(дР) 0 pKdsJpdz
(13.5)
(13.6) v '
Мы опускаем здесь и ниже индекс нуль у равновесных значе ний термодинамических величин; ось £ направлена вертикально вверх, а в есть угол между осью £ и направлением к. Положи тельность выражения (13.6) обеспечивается условием устойчиво сти равновесного распределения s(z) (условием отсутствия кон векции, см. § 4). Мы видим, что частота оказывается зависящей только от на правления волнового вектора, но не от его величины. При в = = 0, 7 получается со = 0 ; это означает, что волны рассматри г ваемого типа с волновым вектором, направленным вертикально, вообще невозможны.
ВОЛНЫ ВО В РА Щ А Ю Щ ЕЙ СЯ Ж И Д К О С Т И
65
Если жидкость находится не только в механическом, но и в полном термодинамическом равновесии, то ее температура постоянна и можно написать: ds _ fds\ dp _ ( <9s\ dz \др) T dz ^ \<%/T Наконец, воспользовавшись известными термодинамическими соотношениями (Ё1) = Ц Ё £ .\ (Ё£) = L ( £ p ) \др)т рЛдт) р ’ \d s J p ср \дт)р (ср —теплоемкость единицы массы жидкости), получим iT (13.7) ^0 = x l - СР р X В частности, для термодинамически идеального газа эта форму ла дает = -fy(13-8)
Зависимость частоты от направления волнового вектора при водит к тому, что скорость распространения волны U = дио/дк не совпадает по направлению с к. Представив зависимость о;(к) в виде кI/4 2 к ) (v —единичный вектор в направлении вертикально вверх) и про изведя дифференцирование, получим U = —— (nv){i/ —(ni/)n}5 (13.9) ик где n = к/к. Эта скорость перпендикулярна к вектору к, а по величине равна и = - — COS0.
к
Ее проекция на вертикаль: Uv = —— cos в sin в. к § 14. Волны во вращающейся жидкости Другой своеобразный тип внутренних волн может распро страняться в равномерно вращающейся как целое несжимаемой жидкости. Их происхождение связано с возникающими при вра щении кориолисовыми силами. 3 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI
66
И Д ЕА Л ЬН А Я Ж И Д К О С Т Ь
ГЛ. I
Будем рассматривать жидкость в системе координат, враща ющейся вместе с ней. Как известно, при таком описании в ме ханические уравнения движения должны быть введены допол нительные силы —центробежная и кориолисова. Соответственно этому, надо добавить такие же силы (отнесенные к единичной массе жидкости) в правую часть уравнения Эйлера. Центробеж ная сила может быть представлена в виде градиента V[fir]2/2, где fi —вектор угловой скорости вращения жидкости. Этот член можно объединить с силой —Vp/p, введя эффектив ное давление Р = р — р[fir]2. (14.1)
Кориолисова же сила равна 2[vfi], она появляется лишь при дви жении жидкости относительно вращающейся системы координат (v —скорость в этой системе). Перенеся этот член в левую часть уравнения Эйлера, напишем его в виде ^ + (vV)v + 2[fJv] = -^ V P . (14.2)
Уравнение же непрерывности сохраняет свой прежний вид, сво дясь для несжимаемой жидкости к равенству divv = 0 . Снова будем считать амплитуду волны малой и пренебрежем квадратичным по скорости членом в уравнении (14.2), которое примет вид ^ + 2[fiv] = -±Vp', dt р
(14.3)
где р! —переменная часть давления в волне, а р = const. Сра зу же исключим давление, применив к обеим частям уравнения (14.3) операцию rot. Правая часть уравнения обращается в нуль, а в левой имеем, с учетом несжимаемости жидкости: rot [fiv] = fi divv —(fiV)v = —(fiV)v. Выбрав направление fi в качестве оси z, запишем получающееся уравнение в виде — rot v = 2Г2— . dt dz
(14.4)
Ищем решение в виде плоской волны v = A ei< kr~ut\ (14.5)
удовлетворяющей (в силу уравнения divv = 0) условию поперечности кА = 0. (14.6)
ВОЛНЫ ВО В РА Щ А Ю Щ ЕЙ СЯ Ж И Д К О С Т И
67
Подстановка (14.5) в уравнение (14.4) дает си[клг] = 2iftkzv. (14.7) Закон дисперсии волн получается исключением v из этого векторного равенства. Умножив его с обеих сторон векторно на к, переписываем его в виде —си2к2лг = 2iQkz\kv] и, сравнив друг с другом оба равенства, находим искомую зави симость си от к: О = 2 0 ^ = 20 cos 6» , , к
(14.8)
где
в —угол между к и fi. С учетом (14.4) равенство (14.7) принимает вид
[nv] = iv, где п = к/к. Если представить комплексную амплитуду волны как А = а + ib с вещественными векторами а и Ь, то отсюда следует, что [nb] = а, —векторы а и b (оба лежащие в плос кости, перпендикулярной вектору к) взаимно перпендикулярны и одинаковы по величине. Выбрав их направления в качестве осей х и у и отделив в (14.5) вещественную и мнимую части, найдем, что vx = a cos (cut — kr), vy — —a sin (cut — kr). Таким образом, волна обладает круговой поляризацией: в каж дой точке пространства вектор v вращается со временем, оста ваясь постоянным по величине г) . Скорость распространения волны: U = t = f i " - n (™ )h (14-9)
где v —единичный вектор в направлении fi; как и в гравитаци онных внутренних волнах, эта скорость перпендикулярна волно вому вектору. Ее абсолютная величина и проекция на направ ление п. U = — sm6, к
Ui/ = — sin2 6»= С/sin 6» . к
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Внутренние волны в несжимаемой жидкости» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Саму жидкость мы будем при этом рассматривать как несжима емую. Это значит, что можно пренебречь изменением ее плотно сти, связанным с изменением давления в волне. Изменением же плотности, связанным с тепловым расширением, отнюдь нельзя пренебречь, так как именно оно определяет собой все явление. Выпишем систему гидродинамических уравнений для рас сматриваемого движения. Будем отмечать значения величин в состоянии механического равновесия индексом нуль, а малые отклонения от этих значений в волне —штрихом. Тогда уравне ние сохранения энтропии s = sq + s' напишется с точностью до величин первого порядка малости в виде ^ + vVs 0 = 0, (13.1) 