Выберем какой-нибудь неподвижный в пространстве элемент объема и определим, как меняется со временем энергия находя щейся в этом объеме жидкости. Энергия единицы объема жид кости равна V 1 . р — + ре, где первый член есть кинетическая энергия, а второй — внутрен няя энергия (е — внутренняя энергия единицы массы жидкости). Изменение этой энергии определяется частной производной Для вычисления этой величины пишем д pv2 v2 др dv — -— = ---- - + p v — dt 2 2 dt dt или, воспользовавшись уравнением непрерывности (1.2) и урав нением движения (2.3), d v2 v2 — ~ divpv — v g ra d ]9 — pv(vV )v. В последнем члене заменяем v(vV )v = (1/2)vV ^2, а гради ент давления согласно термодинамическому соотношению dw = = Tds + dp/р заменяем на pVw — pTV s и получаем — — = — — div pv — pvV (w + —1 + pTvV s. dt 2 2 V 2 / Д ля преобразования производной от ре воспользуемся термоди намическим соотношением de = Т ds — р dV = Т ds + — dp. Р2 Имея в виду, что сумма е -\-р/р = е + p V есть не что иное, как тепловая функция w единицы массы, находим d{pe) — s dp + р ds = w dp + pT ds, и потому — W®R _|_ p T — = — w div pv — pTvV s. a t dt r dt H H26 И Д Е А Л Ь Н А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . I Здесь мы воспользовались также общим уравнением адиабатич- ности (2.6). Собирая полученные выражения, находим для искомого из менения энергии I (тг+ре)= “ (ю+vi)diVipv “p(vV) (“+vi)• или окончательно i ( v + ^ ) = - div{',v(7 + “’)}- 1611 Для того чтобы выяснить смысл полученного равенства, про интегрируем его по некоторому объему: S / (lT + р£) i v = “ Г div{',v( f + ю) } i v ' или, преобразовав стоящий справа объемный интеграл в инте грал по поверхности: i f { ef +l* ) dV = - lf l,''(vT +w) d!■ <6-2) Слева стоит изменение в единицу времени энергии жидко сти в некотором заданном объеме пространства. Стоящий спра ва интеграл по поверхности представляет собой, следовательно, количество энергии, вытекающей в единицу времени из рассмат риваемого объема. Отсюда видно, что выражение Pv( y + w) представляет собой вектор плотности потока энергии. Его аб солютная величина есть количество энергии, протекающей в еди ницу времени через единицу поверхности, расположенную пер пендикулярно к направлению скорости. Выражение (6.3) показывает, что каждая единица массы жид кости как бы переносит с собой при своем движении энергию w + v2/2. Тот факт, что здесь стоит тепловая функция w, а не просто внутренняя энергия £, имеет простой физический смысл. Подставив w = е + р / р , напишем полный поток энергии через замкнутую поверхность в виде — <^) di — f p v df. Первый член есть энергия (кинетическая и внутренняя), непо средственно переносимая (в единицу времени) проходящей че рез поверхность массой жидкости. Второй же член представляет собой работу, производимую силами давления над жидкостью, заключенной внутри поверхности.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Поток энергии» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
