Низкоэнергетическая теорема для тормозного излучения
В § 98 был исследован процесс испускания фотона при столк- новении частиц в пределе, когда частота фотона стремится к ну- лю. Оказалось, что амплитуда процесса обратно пропорциональ- на о; и простым образом выражается через амплитуду того же столкновения без испускания мягкого фотона (об этой последней мы будем снова говорить условно как об амплитуде «упругого» рассеяния и обозначать ее как 7WTnp). В следующем по со при- ближении будет Mfi = М^ + М$\ A40.1) где к главному члену (ос со~1) добавляется не зависящий от со (ос о;0) поправочный член. Мы увидим, что и этот поправочный (как и главный) член может быть выражен через М^пр), причем независимо от деталей электромагнитной структуры адрона. Это утверждение называют низкоэнергетической теоремой для тор- мозного излучения (F. E. Low, 1958). Мы видели в § 98, что основной вклад в амплитуду испуска- ния мягкого фотона (отвечающий первому члену в A40.1)) воз- никает от диаграмм, в которых фотон излучается непосредствен- но начальной или конечной частицей. Это — диаграммы вида A40.2) Р2 Р2 Р2 700 ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ ГЛ. XIV в противоположность диаграммам вида A40.3) в которых фотонная линия выходит из внутренних частей диа- граммы. Для графиков A40.2) характерно, что они могут быть рассечены на две части путем пересечения одной линии вирту- ального адрона (начального или конечного). Другими словами, они иллюстрируют существенное в данном аспекте свойство: на- личие одночастичного промежуточного состояния с одним ад- роном. Мы видели в § 79, что в силу требований унитарности это свойство уже само по себе приводит к появлению полюсной особенности в амплитуде. Предположим для простоты, что из двух сталкивающихся ад- ронов электрически заряжен (и потому может излучать) лишь один (первый) и что оба адрона не имеют спина. Волновые амплитуды и таких адронов — скаляры, которые полагаем рав- ными 1. Тогда вклад в амплитуду от полюсной части диаграммы A40.2,а) имеет вид хМ$ = V^e;Bp1 - ^)eF__J__ir. A40.4) Первый множитель отвечает фотону к (е^ — его 4-вектор поля- ризации). Второй множитель отвечает электромагнитной адрон- ной вершине (жирная точка на диаграмме); она записана в фор- ме A38.5), F — формфактор адрона. Третий множитель — про- пагатор виртуального адрона р\ — к (М — его масса). Наконец, множитель it обозначает весь остальной блок. Последний отли- чается от амплитуды упругого процесса A40.5) Р2 заменой реального адрона р\ виртуальным р\ — к. Среди первых членов разложения выражения A40.4) по сте- пеням ио будут члены: 1) обратно пропорциональные о;, 2) не зависящие от о;, но зависящие от направления к, 3) не завися- щие от о;, к вовсе. Члены третьего (и только такого) рода воз- никнут также от «неособых» диаграмм — диаграмм вида A40.3), § 140 НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ТОРМОЗНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 701 не содержащих полюсной особенности, и от неполюсных частей диаграмм A40.2). Мы увидим, что все такие члены вместе од- нозначно определяются по членам первых двух типов условием калибровочной инвариантности и потому не требуют специаль- ного вычисления. Амплитуда упругого процесса A40.5) зависит лишь от двух инвариантных переменных: s = (p1+p2J = (p'1+p'2J, t = (p'2-p2J. A40.6) Замена р\ на р\ — к не только превращает s в (р\ — к +Р2J, но вводит еще и зависимость от новой переменной (Р1-кJ-М2 = -2{р1к), характеризующей «нефизичность» импульса р\ — к. Но уже пер- вый член разложения по этой новой (малой) переменной устра- няет особенность в амплитуде A40.4) и потому может дать в ней лишь не зависящие от к члены, которые, согласно сказанному выше, нас пока не интересуют. Таким образом, мы приходим к важному заключению, что вместо величины Г в A40.4) можно подставить физическую амплитуду M^np^(s, ?), лишь заменив в ней s -+ (pi +P2 - кJ = s - 2k(pi + р2). A40.7) Первые члены ее разложения: По такой же причине несуществен тот факт, что электромаг- нитный формфактор F относится здесь к вершине, в которой из двух адронных концов (р\ и р\ — к) лишь один физический. Его можно поэтому заменить рассмотренным в § 138 формфактором вершины с двумя физическими концами, а поскольку фотон к в данном случае реальный, то F(k2) = F@) = Zi, где eZ\ —заряд адрона. Таким образом, находим из A40.8) -2(kpi) A40.8) где многоточие означает члены, не зависящие от к вовсе (между тем как второй член в A40.8) зависит от направления к). Анало- гичным образом найдем, что вклад в Mfi диаграммы A40.2,5) 702 ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ ГЛ. XIV отличается от A40.8) заменой pi, р2, к нар'15 р2, —к. Для глав- ного члена разложения получим в результате известное уже нам выражение (ср. (98.5)). Не зависящие же от к члены можно определить из требова- ния, чтобы амплитуда в целом была калибровочно-инвариантна. Именно, она не должна меняться при замене е* —>• е* + const • /с, т. е. должна иметь вид Mfi = e* J^, причем k^J^ = 0. Легко ви- деть, что для этого нужно добавить к A40.8) не зависящий от к член и аналогично для диаграммы A40.2,5). В результате получим окончательно A40.10) Эта формула решает поставленную задачу. Ее можно пред- ставить в более компактном виде, заменив тождественно (и аналогично для d/dp'i) и введя дифференциальные операторы rflu = Vl^tfA д_ A40.11) (и аналогично d[ ). Тогда М}°} = ZieV^e; (< + d'A M^np). A40.12) Сечение определяется квадратом |Му^|2 с требуемой точно- стью \Mfi\2 = \M{-1}\2 + 2Re(M}-1}M}f). A40.13) Второй член дает искомую поправку к сечению излучения. Про- суммировав по поляризациям фотона, получим для этой поправ- ки следующее выражение: § 141 НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ФОТОНА 703 Таким образом, поправка к сечению излучения выражается через сечение упругого процесса и его производную по s. Если заряженный адрон имеет спин 1/2, то вся принципи- альная сторона вычислений остается прежней. Меняется лишь конкретный вид вершин и пропагаторов. При этом оказывается, что после усреднения по поляризациям адронов и фотона оста- ется справедливой формула A40.14) (Т. N. Burnett, N. М. Kroll, 1968).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Низкоэнергетическая теорема для тормозного излучения» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
