Асимптотическое поведение амплитуд рассеяния при высоких энергиях
Рассмотрим вопрос об асимптотическом (при высоких энер- гиях) поведении амплитуд и сечений двухчастичных процессов рассеяния (_/ + 2 —>• 3 + 4)- Для основных электродинамических процессов в первом (по а) неисчезающем приближении ответ на этот вопрос может быть найден, исходя из полученных в пре- дыдущих главах конкретных формул, справедливых при любых энергиях. Здесь, однако, мы рассмотрим этот вопрос с более об- щей точки зрения, которая позволит находить такие асимптоти- ки прямым способом. Как и в § 66, введем инвариантные переменные s = (pi +р2J, 1=(Р1-РзJ, и = (р1-р±J A34.1) (причем pi + Р2 = Рз + Ра)] обозначения соответствуют реакци- ям в «s-канале, которые мы и будем рассматривать. В ультраре- лятивистском случае, когда энергии много больше масс частиц, в системе центра инерции энергии обеих частиц приближенно одинаковы. Обозначив через е сумму энергий сталкивающихся частиц, получим в этой системе р\ = (е/2, pi), P2 = (е/2, — -Pi), Рз = (е/2, р3), Ра = (е/2, -р3), Р? = Рз = ?2/4> и тогДа s = б2, t = --A - cos<9), и = --A + cos6>), A34.2) где в — угол между pi и р2. Рассмотрим сначала асимптотику сечения реакции при неко- тором фиксированном значении угла рассеяния в. Тогда все три переменные s, ?, и пропорциональны друг другу и устремля- ются к бесконечности вместе. В ультрарелятивистском случае массы частиц не могут войти в ответ, и единственной величи- ной размерности длины является 1/е (= Нс/е). Поэтому уже из соображений размерности следует, что дифференциальное сече- ние двухчастичных реакций уменьшается с ростом энергии по асимптотическому закону da/doocl/s при s, |t|, \u\ —)> оо. A34.3) Если относить сечение не к элементу телесного угла do, а к диф- ференциалу ей, то (поскольку do ос dt/s) da/dt ex l/s2. A34.4) Сечение выражается через амплитуду рассеяния (в ультрареля- тивистском случае) как da/dt ос \Mfi\2/s — см. F4.22),F4.23). Поэтому закон A34.3) означает, что в асимптотическом пределе амплитуда рассеяния не зависит от s: Mfi = const. A34.5) 670 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII Как ясно из характера вывода, эти результаты относятся не только к первому неисчезающему, но и к высшим (т. е. с уче- том радиационных поправок) приближениям теории возмуще- ний, если только не обращать внимания на логарифмические (вида ln(s/m2)) множители; зависимость от безразмерных ло- гарифмов, разумеется, не может быть выяснена из соображений размерности . Иная ситуация возникает, если увеличивать s при фиксиро- ванном ?, т. е. при фиксированном квадрате передаваемого им- пульса. Другими словами, рассматривается рассеяние на малые, убывающие с ростом энергии углы: s -+ оо, 111 - s92 = const, 0 ~ (| t |/«sI/2. A34.6) В таком случае соображения размерности позволяют утверждать лишь, что суммарная степень 1/ s и 1/t в da/dt равна 2 (а в ам- плитуде Mfi — нулю) 2) . Поэтому для нахождения наименее бы- стро убывающей с ростом s части сечения надо выделить мно- житель, зависящий от 1/t в наибольшей степени. Но такие мно- жители возникают, лишь если фейнмановскую диаграмму мож- но разделить между концами 1, 3 и 2, 4 на Две части путем пересечения линий виртуальных частиц. Суммарный 4-импульс таких линий равен р\ — р%, от чего и возникает зависящий от t = — (Pi~PsJ множитель. Таким образом, асимптотика диаграммы в области A34.6) зависит от характера возможных пересечений диаграммы в t-канале. Аналогичным образом асимптотика в области s -+ оо, \и\ ~ s(n - вJ = const, |тг - 0| ~ (\u\/sI/2, A34.7) отвечающая рассеянию на углы, близкие к тг, определяется ха- рактером возможных пересечений диаграммы в г^-канале (т. е. между концами _/, 4 и %•> 3). Простейший пример — рассеяние электрона на электроне, описывающееся диаграммами G3.13) и G3.14). Из них рассе- чение в t-канале по линии виртуального фотона допускает пер- вая; она и определит асимптотическое поведение амплитуды рас- сеяния в области A34.6). Линии виртуального фотона отвечает D-функция, пропорциональная 1/t. Поэтому асимптотики ам- 1) Суммирование рядов, содержащих логарифмические поправки, может привести к экспоненциальной зависимости от логарифмов, что означает из- менение показателя степенной зависимости. Это изменение, однако, мало в силу малости а. 2) Значение 11 \ ^> т2 здесь мы предполагаем постоянным. Получающиеся таким образом результаты остаются справедливыми — в смысле зависимости от s (т. е. от энергии) —и при \t ~ m . § 134 АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 671 плитуды и дифференциального сечения рассеяния: Mfi ос s/t, da ос dt/t2. A34.8) Асимптотика же в пределе A34.7) (вблизи направления назад) определяется «обменной» диаграммой G3.14); в этом пределе Mfi ос s/u, do ос du/u2. В случае взаимного рассеяния различных частиц (электрон и мюон) обменная диаграмма отсутствует; поэтому для него сече- ние рассеяния на углы в « тг убывает по закону A34.3),A34.4) . Покажем, что эти результаты для асимптотики рассеяния электрона на электроне не меняются и при учете радиационных поправок. Для этого рассмотрим поправки различного рода к диаграмме G3.13). Мы уже видели, что диаграммы, представляющие собой по- правки к внутренней D-функции (см. A13.11)) или к вершинным частям (см. A17.1)), приводят лишь к логарифмическим поправ- кам в амплитуде; они не меняют степенной зависимости A34.8). Покажем, что то же самое относится к диаграмме, допускающей рассечение по двум (вместо одной) внутренним фотонным лини- ям: ^ Pi ф Рг-pi-q \д A34.9) '< »< Соответствующая этой диаграмме амплитуда рассеяния отлича- ется от амплитуды, отвечающей диаграмме G3.13), заменой мно- жителя 1/t на У2-д)) л4„ с последующим интегрированием по d^q. Существенная область интегрирования — та, которая приводит в результате к наимень- шей степени 1/s. Для этого во всяком случае q должно быть мало по сравнению с р\, р2- Отбросив малые в этом смысле члены (а также члены р\ = р\ = т2), перепишем это выражение как GPi)GP2) А„ A34.Ю) -pi ~qJ 1)Все эти утверждения находятся, конечно, в согласии с результатами 81 —см. (81.11) и задачу 6. 672 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII Знаменатель не будет содержать «s, если qo и qx (ось ж —по на- правлению pi = — Р2) будут ос 1/y/sj а компоненты qyi qz могут быть сх 1/д/| 11; тогда область интегрирования ос 1/s. Числитель же имеет порядок величины р\Р2 ос s. Таким образом, замена одной внутренней фотонной линии в диаграмме двумя не меня- ет ее зависимости от s (при заданном t 1)). Другими словами, вклад диаграммы A34.9) в амплитуду рассеяния следует тому же асимптотическому закону A34.8), что и вклад основной диа- граммы. Положение не изменится при добавлении в диаграмме еще и других параллельных внутренних фотонных линий, а так- же при введении поправок к внутренним электронным линиям. Этот результат имеет общий характер: всякой диаграмме, ко- торая может быть разрезана в t-канале или в г^-канале на две час- ти путем пересечения любого числа внутренних фотонных ли- ний, отвечает вклад в амплитуду с асимптотикой соответственно Mfi ос s/t при t = const или s/u при и = const (В. Г Горшков, В. Н. Грибов, Л. Н. Липатов, Г В. Фролов, 1967; Н. Cheng, Т. Т. Wu, 1969). В качестве другого примера рассмотрим комптоновское рас- сеяние, описываемое двумя диаграммами G4.14). Эти диаграм- мы не допускают рассечения в t-канале, но вторая из них рассе- кается в г^-канале по внутренней электронной линии; в обозначе- ниях этого параграфа она имеет вид Pi-P4 A34.11) PS P2 Это значит, что рассеяние сосредоточено в основном вблизи на- правления назад (как это уже было отмечено в конце § 86; см. (86.20)). Для нахождения асимптотики в этой области замеча- ем, что множитель G, отвечающий внутренней линии диаграм- мы A34.11), имеет порядок величины l/j(pi — р^) ос 1/уу[п\. Поэтому амплитуда рассеяния Mfi ос a(s/\u\) /2; в нее введен множитель а в соответствии с тем, что диаграмма A34.10) — второго порядка. Отсюда дифференциальное сечение: da/du ос ос or/\u\s. Интеграл этого выражения по \и\ определяется обла- стью значений \и\ <^ s. В результате полное сечение убывает с х) Снова напомним, что речь идет только о степенных асимптотиках, и по- тому можно не обращать внимания на логарифмические расходимости при интегрировании. Мы вернемся к более подробному исследованию диаграмм вида A34.9) в § 137. § 134 АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 673 ростом энергии по закону о ос а2/s (точнее, о ос (а2/s) ln(s/m2)); ср. (86.20)) *). Но для этого процесса радиационные поправки меняют асим- птотику. Изменение возникает за счет диаграмм шестого порядка типа Рз Vi 1 A34.12) Р4 Р2 Они допускают в t-канале рассечение по двум внутренним фо- тонным линиям и потому дают вклад в амплитуду с асимптоти- кой Mfi ос o?s/t множитель а3 отвечает шестому порядку диа- граммы. При достаточно больших s эта часть амплитуды стано- вится основной и тогда дифференциальное сечение da/dt ос а6/*2. Интеграл этого выражения по t определяется областью малых значений \t\ ~ т , т. е. областью углов рассеяния в ~ m/y/s (обратим внимание на то, что рассеяние происходит теперь в основном в направлении вперед, а не назад). В результате полное сечение перестает убывать с энергией: а ос а6/т2 = аА/г2е. A34.13) Убывающая часть сечения сравнивается с этой его постоянной частью е = л/s ос т/а2. Аналогичная ситуация имеет место для рассеяния света на свете. В первом неисчезающем приближении оно описывается «квадратными» диаграммами A27.1), которые могут быть рас- сечены по двум внутренним электронным линиям. По 4-импуль- су этих линий в диаграмме производится интегрирование, при- чем существенны импульсы ~ д/s, и малые значения t (или и) ничем не выделены. Поэтому асимптотика этих диаграмм при любом t = const (или и = const) дается законом A34.5): Mfi = = const ос а2. При этом полное сечение убывает с ростом энер- гии: а ос a^/s (ср. A27.23)); углы, близкие к нулю или к тг, здесь никак не выделены. Но в восьмом порядке появляются диа- граммы, допускающие рассечение (в t- или в г^-канале) по двум ) Точный вид зависимости сечения от \и или 11 \ при их значениях ^ т , разумеется, не может быть выяснен на основании излагаемых соображений. Подразумевается, что интеграл по \и\ (или по \t\) сходится на значениях ~ т . Это действительно так для всех процессов, за исключением упругого рассеяния заряженных частиц. 22 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY 674 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII внутренним фотонным линиям, например, A34.14) Эти диаграммы приводят к постоянной асимптотике сечения: а ос а8/т2 при yfs ^> т/а2 . Постоянная асимптотика для полного сечения — характерное свойство процессов рассеяния, диаграммы которых рассекаются (в t- или в г^-канале) по внутренним фотонным линиям. Это свой- ство имеет место и в тех случаях, когда в конечном состоянии реакции возникает более двух частиц.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Асимптотическое поведение амплитуд рассеяния при высоких энергиях» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 