Радиационные поправки к уравнениям электромагнитного поля
При квантовании электрон-позитронного поля (см. § 25) мы видели, что в выражении для энергии вакуума появляется бес- конечная постоянная, которую можно записать в виде х) ?(ра\ A29.1) ра 1) Пишем здесь ? вместо Е во избежание путаницы с напряженностью электрического поля. 638 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ где ?ра — отрицательные частоты решений уравнения Дирака. Сама по себе эта постоянная не имеет физического смысла, так как энергия вакуума равна нулю по определению. С другой сто- роны, при наличии электромагнитного поля уровни энергии e^J будут меняться. Эти изменения конечны и имеют определенный физический смысл. Они описывают зависимость свойств про- странства от поля и меняют уравнения электромагнитного поля в вакууме. Изменение уравнений поля выражается в изменении его функ- ции Лагранжа. Плотность L функции Лагранжа является реля- тивистским инвариантом и потому может быть функцией лишь от инвариантов Е2 — Н2 и ЕН. Обычное выражение Lo = — (Е2-Н2) A29.2) 8тг есть первый член разложения общего выражения по степеням инвариантов. Мы найдем функцию Лагранжа в случае, когда поля Е и Н настолько медленно меняются в пространстве и времени, что их можно считать однородными и постоянными; тогда L не содер- жит производных от полей. На формулировке необходимых для этого условий мы остановимся в конце параграфа. Однако для того чтобы поставленная задача имела смысл, необходимо еще предполагать электрическое поле достаточно слабым. Дело в том, что однородное электрическое поле может рождать из вакуума пары. Рассмотрение поля самого по себе как замкнутой системы допустимо, лишь если вероятность образова- ния пар достаточно мала. Именно, должно быть w) A293) (изменение энергии заряда е на расстоянии Н/ (те) должно быть мало по сравнению с тс2). Мы увидим ниже (см. также зада- чу 2), что в таком случае вероятность образования пар экспо- ненциально мала. Если наряду с электрическим полем имеется также и маг- нитное, то, вообще говоря, можно выбрать систему отсчета, в которой Е и Н параллельны. Тогда магнитное поле не влияет на движение заряда в направлении Е. Именно в этой системе (вы- бор которой будет подразумеваться в дальнейших вычислениях) и должно выполняться условие A29.3). Вычисление функции Лагранжа начнем с определения изме- нения W' энергии вакуума. Величина W' дается изменением за счет поля «нулевой энергии» A29.1). Из этой величины, одна- ко, надо еще вычесть средние значения потенциальной энергии § 129 ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 639 электронов в «состояниях» с отрицательной энергией. Послед- нее вычитание означает просто, что полный заряд вакуума по определению равен нулю. Нулевая энергия при наличии поля: A29.4) / Ol per per где фра — отрицательно-частотные решения уравнения Дирака в данном поле. Будем предполагать, что интегрирование ведется по единич- ному объему, а волновые функции нормированы на 1 в этом объ- еме; тогда ?q есть энергия единицы объема. Согласно сказанному выше из ?q надо вычесть величину pa f J где ip = — Er — потенциал однородного поля. Но согласно теореме о дифференцировании оператора по параметру (см. III, A1.16)) per J per Таким образом, окончательно полное изменение плотности энер- гии вакуума W = (So - В^) - (So - Ъ—) • A29.5) Свяж:ем W' с изменением плотности лагранжиана V (L = = Lq + L'). Для этого воспользуемся общей формулой W = l^ql^~Li где q—«обобщенные координаты» поля (см. II, § 32). Для элек- тромагнитного поля роль величин q играют потенциалы А и (р. Поскольку H = rotA, A29.6) то из числа «скоростей» q в L входит лишь А, а дифференциро- вание по А эквивалентно дифференцированию по Е. Поэтому W1 = Е— - L1. A29.7) <9Е V J 640 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ Сравнив A29.5) и A29.7), найдем Ь' = -[?о-?оЫ=н=о\. A29.8) Таким образом, вычисление V сводится к вычислению суммы A29.1). Рассмотрим сначала случай, когда имеется лишь магнитное поле. «Отрицательные» уровни энергии электрона (заряд е = = — |е|) в постоянном однородном поле Hz = Н -4~} = -у/т2 + \е\НBп - 1 + а) + р2, A29.9) гс = 0, 1, 2, ... ; а = ±1 (см. задачу к § 32). Для вычисления суммы учтем, что число состояний в интервале dpz есть \e\Hdpz 2тг 2тг (см. III, § 112); первый множитель есть число состояний с раз- личными значениями рХ1 от которых энергия не зависит. Кроме того, все уровни, за исключением лишь уровня с п = 0, а = = — 1, двукратно вырождены: совпадают уровни с n, a = +1 и п + 1, а = —1. Поэтому V^T^f + 2 B7ГJ - V -оо n~L A29.10) Расходимость интегралов в A29.10) устраняется при вычис- лении V A29.8) вычитанием значения суммы при Н = 0. Для проведения этой «перенормировки» удобно вычислить сначала сходящееся выражение (дт2J 2BтгJ оо X О " n=1 8тг2 [т2 8тг2 . ... 71 = 1 Суммирование в фигурных скобках мож:но свести к суммирова- § 129 ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 641 нию геометрической прогрессии следующим способом: оо = -Ш [, 8тг2 J ф = L п=о оо _ \е\Н 8тг2 О dr] = оо _ \е\Н 8тг2 О Г е~ш2т] cth(\e\Hr])dr]. A29.11) Для нахождения V надо теперь дважды проинтегрировать Ф по т2, после чего в Н = 0. Находим т2, после чего вычесть значение получающейся величины при /2 ^р{г/|е|Яcth(|e|tf) - A29.12) где ci и С2 зависят от i7, но не зависят от т2. Из соображений размерности и четности по Н очевидно, что V как функция от Н и m должна иметь вид L =m f ( — Vm4 Поэтому членов, нечетных по т2, в L7 вообще не может быть, так что С2 = 0. Коэффициент же с\ определяется из условия, чтобы разложение V по степеням Н2 начиналось с члена ~ Н^. Действительно, член ~ Н2 в V означал бы просто изменение коэффициента в исходном лагранжиане Lq = —Н2/(8тг). Но это было бы, по существу, изменением определения напряженности поля, а тем самым и заряда. Поэтому устранение членов ~ Н2 означает перенормировку заряда. Легко проверить, что для это- го надо положить оо ЯV Г е-" , с\ = / — ат\. 3 • Этт2 У ц ' о Наконец, произведя еще в A29.12) замену переменной m2r] —>• г/, 21 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY 642 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ получим окончательно оо L'(H; Е = 0) = ^-2 [{-rjbtibbq + 1 + ^}е"^, A29.13) где b = \е\Н/т2. Вернемся к общему случаю, когда наряду с магнитным име- ется также и параллельное ему электрическое поле Е, удовлет- воряющее условию A29.3). Для вычисления V в этом случае нет, однако, необходимо- г - (-) сти решать заново задачу оо определении уровней энергии е\, электрона в поле. Достаточно заметить, что если искать волно- вую функцию — решение уравнения второго порядка C2.7)—в виде произведения где Хпа — волновая функция в магнитном поле при Е = 0 и pz = = 0, то масса т и поле Н войдут в уравнение для Фе(%) лишь в комбинации ш2 + |е|ЯBп + 1 + а). Если теперь учесть, что суммирование по рх (от которого уровни энергии не зависят) по-прежнему дает множитель \е\Н/Bтг), то из соображений размерности величину ф(#, Е) = (dm2J можно записать в виде |е|ЯBп _^ \е\Н т2 + р.\Я п=0а=±1 ±1±21) а = Щ A29.14) (каж:дый член этой суммы есть производная — d2e\> просуммированная по всем квантовым числам, кроме п). Здесь F — неизвестная пока функция, которую мы найдем из сообра- жений релятивистской инвариантности. Действительно, Ф должно быть функцией скаляров Н2 — Е2 и (ЕНJ = (ЕНJ: Ф(#, Е) = f(H2 - Е2, (ЕНJ). 129 ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 643 Поэтому Ф@, Е) = f(-E2, 0) = Ф({Е, 0). Но функция Ф(гЕ, 0) получается из A29.11) заменой Н —>> гЕ] после переобозначения переменной интегрирования найдем оо ф{гЕ, 0) = — / ( 8тг2 J A29.15) Сравнив это выражение с пределом Ф(Д" —>> 0, ?7), вычисленным из A29.14), мы сможем найти функцию F. Переход к пределу Н —>• 0 в A29.14) производится путем за- мены суммирования по п интегрированием по dn = dx/Bb): ф@, ??) = -J- V ' J 8тг2 (X) 1 + ж 8тг2 J A29.16) V 7 I/a Приравняв выражения A29.15) и A29.16) и продифференциро- вав это равенство по I/a = z, получим = — I e r'zri ctg r\ dr\. После этого суммирование в A29.14) снова сводится к сумми- рованию геометрической прогрессии, и дальнейшие вычисления аналогичны произведенным выше: выражаем Ф через гп?, Е и i7, интегрируем дважды по т2, вычитаем значение при Е = Н = = 0 и определяем постоянные интегрирования, как при выводе A29.13). Окончательный результат : L' = -^ Je-^{- ?тг2с3 / ' _ \e\Hf_ т2 V A29.17) \e\hH\ ?тг2с3 / 1)Этот результат был впервые получен Гейзенбергом и Эйлером (W. Heisenberg, H. Euler, 1935). В изложенных вычислениях использованы также идеи вывода, предложенного Вайскопфом (V. Weisskopf, 1936). 21* 644 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ Параметры а и b можно записать в инвариантном виде !|е а = — A29.18) где Т и Q обозначают инварианты: т = ^(н2 - е2), д = ен, т±%д = ±(н ± еJ. A29.19) После того как формула A29.17) выражена через инварианты J- и д, она тем самым становится применимой в произвольной системе отсчета (а не только в той, где Е || Н). Сразу же отметим несколько условный характер записи фор- мулы A29.17). Она пригодна лишь при соблюдении условия ма- лости электрического поля: а <^1 A29.3) (не учтенного в A29.17) в явном виде). Это проявляется в том, что подынтегральное вы- ражение в A29.17) имеет полюсы при г/ = птг/а (п = 1, 2, ...), так что в написанном виде интеграл, строго говоря, не имеет смысла. Поэтому A29.17) может, по существу, служить лишь для получения членов асимптотического (см. ниже) ряда по степеням а путем формального разложения ctga. Математически интегралу A29.17) можно придать смысл, об- ходя полюсы в плоскости комплексного г/. При этом у L', а тем самым и у плотности энергии W' появляется мнимая часть. Ком- плексность энергии, как обычно, означает квазистационарность состояния х) . В данном случае стационарность нарушается ро- ждением пар, а величина —21m.W' есть вероятность w рожде- ния пары в единице объема в единицу времени; так как малые добавки к W и L отличаются только знаком, то вероятность w, выраженная через Е и i7, равна просто w = 2ImLr. A29.20) Очевидно, что она пропорциональна е~п/а (см. ниже A29.22)). Именно вследствие экспоненциальной малости Im Wf при а ^С 1 имеет смысл асимптотический ряд по степеням а с сохранением в нем любого конечного числа членов. Рассмотрим предельные случаи формулы A29.17). В слабых полях (а ^С 1, Ь <С 1) первые члены разложения: L' = ^(а2Ь2J + ?ИJ А^ 2 8тг2 45 45-87r2m4 1) Направление обхода в интеграле должно быть выбрано так, чтобы бы- ло ImVF7 < 0. Этому требованию отвечает обычное правило замены массы т2 —>- т2 — гО (в данном случае а —»¦ а + гО). § 129 ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 645 В частности, при 6 = 0 относительная поправка L/ 2 а — = а . Lq 45тг Мнимая часть L' при а <С 1 получается из интеграла A29.17) взятием полувычета в ближайшем к нулю полюсе котангенса, т. е. при г/а = тг — гО. Согласно A29.20) она дает вероятность рождения пары слабым электрическим полем: w = f.a\-*l\ 4тг3 или, в обычных единицах: 1 / еЕП\2тс2 fтс\3 ( тгш2с3\ /mnoo\ w = — — exp — . A29.22) 4тг3 Vm2c3/ П\П) FV \е\ПЕ ) V У В сильном магнитном поле (а = 0, Ъ ^> 1) исходим из фор- мулы A29.13), записанной (после замены Ъг\ -Л г\) в виде оо 8тг2 J ц L3 г]2 ' 0 При Ь> 1 в этом интеграле существенна область 1 <^ r\ <^ b. В ней е~Г]' ~ 1, и мож:но пренебречь вторым членом в скобках, а интеграл обрезать (с логарифмической точностью) на пределах г/ « 1 и г/ « 6. Тогда L' = ^-^In6 A29.23) (более точное вычисление заменяет In Ь на In 6 — 2,29). В этом случае — « — In о. Lo Зтг Отсюда видно, что радиационные поправки к уравнениям поля могли бы достигнуть относительного порядка единицы лишь в экспоненциально больших полях: Я « !^!е37г/«. A29.24) к Тем не менее вычисленные поправки имеют смысл: они нару- шают линейность уравнений Максвелла и тем самым приводят к наблюдаемым, в принципе, эффектам (например, к рассеянию света на свете или во внешнем поле). Связь напряженностей Е и Н с потенциалами А и ср остается, по определению, прежней—A29.6). Поэтому не меняется также и первая пара уравнений Максвелла: divH = 0, rotE = - —. A29.25) 646 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ Вторая же пара уравнений получается путем варьирования дей- ствия S = = f(L0 + L')dAx по А и (р. Они могут быть записаны в виде rot(H - 4тгМ) = — (Е + 4тгР), A29.26) div(E + 47rP) =0, A29.27) где введены обозначения: йТ' йТ' Р = —, М = —. A29.28) uhj Gx1 По форме уравнения A29.25)—A29.27) совпадают с макроскопи- ческими уравнениями Максвелла для поля в материальной сре- де . Отсюда видно, что величины Р и М имеют смысл векторов электрической и магнитной поляризации вакуума. Отметим, что Р и М обращаются в нуль для поля плоской волны, в котором, как известно, оба инварианта Е2 — Н2 и ЕН равны нулю. Другими словами, для плоской волны нелинейные поправки в вакууме отсутствуют. Остановимся, наконец, на условиях применимости получен- ных формул. Для того чтобы поля можно было считать посто- янными, их относительные изменения на расстояниях или проме- жутках времени ~ 1/га должны быть малы; этим обеспечивается малость связанных с производными поправок к Lq по сравнению с самим Lq. Так, если поле зависит только от времени, это при- водит к естественному условию о;<га. A29.29) Для случая слабого поля, однако, имеется и более жесткое условие. Оно возникает из требования, чтобы член четвертого порядка A29.21) был велик по сравнению с квадратичной по про- изводным поправкой к Lq] в противном случае этот член потерял бы смысл. Так, для электрического поля, зависящего только от времени, это приводит к условию ш « т^, A29.30) гп2 более жесткому, чем A29.29). Условие A29.30) не возникает, однако, при решении задачи о рассеянии фотона на фотоне, рассмотренной в последнем разде- ле § 127. Там мы с самого начала интересуемся только четырех- фотонным процессом, описываемым членами четвертого поряд- ка в функции Лагранжа, и вопрос об относительном значении 1)См. VIII, § 75. При сравнении надо помнить, что в макроскопической электродинамике среднее значение микроскопической напряженности маг- нитного поля обозначается через В, а не Н, как здесь. § 130 ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 647 других членов в V не имеет отношения к делу. Поэтому доста- точно было потребовать выполнения лишь условия A29.29).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Радиационные поправки к уравнениям электромагнитного поля» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
: 