Следующим по сложности за вершинной частью с тремя внеш- ними линиями является блок с четырьмя концами. В квантовой электродинамике возможны три такие простейшие диаграммы: \ \ у X J I A26.1) Первая из них описывает рассеяние фотона на фотоне. Осталь- ные представляют собой отдельные члены радиационных попра- вок — к рассеянию фотона на электроне (диаграмма б") и к рас- сеянию электрона на электроне (диаграмма в). ^Karplus R., Klein A//Phys. Rev. - 1952.-V. 87.-P. 620 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ Этот параграф посвящен изучению некоторых общих свойств диаграмм такого рода. Но для упрощения и конкретности мы будем вести изложение применительно к определенной диаграм- ме—A26.1,а). Импульсы линий такой диаграммы обозначим следующим об- разом: кз к2 / q — k. / q-ki-k2 q-k2 A26.2) \ ks ki 4-импульсы fci, A;2, &з, A;4 отвечают реальным фотонам, так что их квадраты равны нулю. Отделив зависимость от поляризаций фотонов, амплитуду Mfi, соответствующую диаграмме A26.2), можно выразить через несколько скалярных функций 4-импульсов фотонов. Это —ин- вариантные амплитуды, о которых шла речь в § 70; конкретное выделение их для рассеяния фотона на фотоне будет произве- дено в следующем параграфе. Будучи скалярными, они зависят лишь от скалярных же переменных, в качестве которых можно выбрать, например, любые две из величин A26.3) ниже мы выбираем в качестве независимых s и t. Каждую из инвариантных амплитуд (которые мы обозначим здесь той же буквой М) можно представить интегралом вида м= [ ^^ , I ГО ОГ/ 7\О ОГ/ 7 7\О ОГ/ 7\О *")"!' J [q2 — m2\[(q — к аJ — m2\[(q — к\ — к2J — m2\[(q — к2J — т2\ гп2 ^гп2 - гО, A26.4) где В — некоторая функция всех 4-импульсов; множители в зна- менателе происходят от пропагаторов четырех виртуальных электронов. При достаточно малых s и t амплитуды М вещественны (точ- нее, могут быть сделаны таковыми надлежащим выбором фазо- вого множителя). Действительно, малость s обеспечивает невоз- можность рождения фотонами реальных частиц (электрон-по- зитронной пары) в «s-канале, а малость t — такую же невозмож- ность в t-канале . Другими словами, в обоих каналах отсут- ) Изображенные на диаграмме A26.2) направления внешних линий отве- § 126 ДВОЙНОЕ ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ 621 ствуют реальные промежуточные состояния, которые могли бы, согласно условию унитарности, привести к появлению мнимой части амплитуды. Будем теперь увеличивать s при фиксированном (малом) зна- чении t. При s ^ 4m2 у амплитуды М появится мнимая часть, связанная с возможностью рождения пары двумя фотонами в «s-канале. Поэтому для М можно написать дисперсионное соот- ношение «по переменной s»: ОО M(s, t) = - [ Als{s''t] ds'} A26.5) 7Г J sf — s — iO 4m2 где Ais(s, t) обозначает мнимую часть M(s, t). Как и для всякой диаграммы вида q к2 кз q — ki—k2 k\ Ais(s, t) вычисляется по правилу A15.9) заменой в интеграле A26.4) соответствующих полюсных множителей E-функциями: 2iAla(s, t) = BтггJ Г ^5(д2 - rn2)S[(g-к, - к2Г - т^] 4 13У ' ^ V J J [(q-k4y-mi][(q-k2y-mi] Ч' A26.6) причем интегрирование производится по половине (/-простран- ства, в которой д° > 0. Мы можем сделать существенный дальнейший шаг, заметив, что интеграл A26.6) имеет структуру (в смысле своих полюсных множителей) того же типа, что и амплитуда реакции, изобра- жающейся диаграммой вида fe q-k2 Поэтому и аналитические свойства Ais(s, t) как функции от t подобны аналитическим свойствам этой амплитуды. В частно- сти, у функции Ais(s, t) может появиться (при увеличении t) чают s-каналу. В t-канале входящими должны быть линии 1 и 3, так что 4-импульсами начальных фотонов были бы к\ и — fe. Физические области для рассеяния фотона на фотоне в переменных s, ?, и — заштрихованные секторы на рис. 8 (с. 299). Так, s-каналу отвечает область, в которой s > > 0, t<0, u<0. 622 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ мнимая часть только тогда, когда оба множителя в знаменате- ле будут одновременно обращаться в нуль. Это, однако, не про- изойдет сразу же после достижения значения t = 4m2 — порога рождения пары в t-канале. Дело в том, что наличие E-функций в подынтегральном выражении ограничивает область интегриро- вания в ^-пространстве, которая может оказаться несовместимой со значением t = 4m2. Протяженность области интегрирования зависит от значения s (аргументы E-функций содержат к\ и к2). Поэтому зависит от s и граничное значение t = ?c(s), за которым функция A\s(s, t) становится комплексной. Подобно тому как функция M(s, t) выражается через свою мнимую часть Ais(s, t) формулой A26.5), функция Ais(s, t) в свою очередь выражается через A2(s, t) = Im A\s(s, t) дисперси- онным соотношением «по переменной t»: Подставив теперь A26.7) в A26.5), получим двойное дисперси- онное соотношение, или представление Манделъстама для ам- плитуды M(s, t): (X) (X) = J- f [ ^^ dt'ds', тг2 J J (sf -s-iO)(tf -t-iO) A26.8) V J {S.Mandelstam, 1958). Функцию .4.2 (s, t) называют двойной спектральной плотно- стью функции M(s, t). Ее можно получить из интеграла A26.6) повторным применением к нему правила замены A15.9). Обо- значив для краткости h=q, h = q~h, h = q~k2, U = q- h- k2, A26.9) получим BiJA2(s, t) = = BтггL f iB6(lj - m2N(ll - m2N(l23 - m2N(lj - m2)d*q, A26.10) причем интегрирование производится по области g° > 0. Следует, однако, иметь в виду, что формула A26.10) име- ет лишь символический смысл. Дело в том, что область s > 0, t > 0 — нефизическая. Соответственно в этой области величи- ны /]_, 12, ... при вещественных q оказываются, вообще говоря, § 126 ДВОЙНОЕ ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ 623 комплексными; понятие же S-функции при комплексных значе- ниях аргумента не является полностью определенным. Точнее было бы говорить прямо о взятии вычетов в соответствующих полюсах исходного интеграла A26.4). В нашем случае это, одна- ко, не играет роли. Условие обращения в нуль четырех знаме- нателей в A26.4) или четырех аргументов E-функций полностью определяет компоненты 4-вектора q. Переходя к интегрирова- нию по /2, /|, • • • (см- ниже) и формально оперируя с интегра- лом A26.10) по обычным правилам, мы найдем (с точностью до знака) выражение для А2. Для дальнейших вычислений выберем систему центра инер- ции (в «s-канале). Тогда fci = (w, k), k2 = (w, -k), k3 = (w, k'), U = (", -k'), A26.11) s = 4оД t = -(k - k'J = -4a;2 sin2@/2), и = -(k + k'J = -4a;2 cos2(#/2), где в — угол между кик7 (угол рассеяния). Ось х пространствен- ных декартовых координат направим по вектору k + k7, а ось у — по к-к7 *). Преобразуем теперь интеграл A26.10), выбрав квадраты l\, l\, ... в качестве новых переменных интегрирования (вместо четырех компонент q). Имеем поэтому якобиан преобразования ^(^i? hi h, h) d(q°, qx, qy, qz) где D — определитель, составленный из 16 компонент 4-векторов Wt h, h, h- Интегрирование в A26.10) сводится просто к замене функций В и D в подынтегральном выражении их значениями при 2) \\ = ll = lj = ll =m2. A26.13) Из условий l\ = l\ = m2 получаем, как и в § 115, q°=Gj, q2=o;2-m2. A26.14) 1)При t > 0 : (к — к'J < 0, т. е. вектор к — к7 мнимый. Это затрудне- ние, однако, легко обойти, раскрыв все векторные выражения при t < 0 и произведя затем аналитическое продолжение к t > 0. ) Такой способ интегрирования автоматически учитывает лишь по одному из нулей аргументов ^-функций. 624 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ Остальные два условия дают (q - hf - т2 = -2qk± = -2a;2 - 2qk' = 0, (q - к2J - т2 = -2а;2 - 2qk = О, так что qk = qk = — s/4, или в компонентах: Qz = ±у/и? - т* - ей = ± [st -4^+«>] 1/2. A26.15) Таким образом, интеграл A26.10) равен Ш)' A26Л6) где суммирование производится по двум значениям q из A26.15). Определитель D мож:но записать с помощью единичного ан- тисимметричного тензора: (при преобразованиях использована антисимметрия е^рG). За- метив, что из четырех множителей временную компоненту имеет только fci, находим Раскрыв это выражение при t < 0 и затем продолжив к t > 0, получим D = -u;qzVs + tV^i -+ ±-{st[st - 4m2(«s + ?)]}1/2. A26.17) 4 Выбор знака в этом выражении можно произвести на осно- вании следующих соображений. Положим для простоты В = 1. Тогда видно, что в физической области (s > 0, t < 0) имеем Ais(s, t) < 0. Действительно, оба знаменателя в подынтеграль- ном выражении в A26.6) имеют одинаковый (отрицательный) знак: (q - hJ - m2 = -2а;2 - 2qk7 < -2а;(а; - |q|) < 0, (q - к2J - m2 = -2а;2 - 2qk < -2а;(а; - |q|) < 0 (здесь использовано, что, в силу наличия двух E-функций в чис- лителе, имеет место A26.14) и потому |q| < о;) . Из A26.7) Разумеется, это не случайно. Отрицательность A\s в действительности следует из условия унитарности, что особенно ясно при t = 0, когда А\8 определяет полное сечение. 126 ДВОЙНОЕ ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ 625 видно тогда, что отрицательна должна быть и функция ^(s, t) при s > 0, t > 0 (если учесть, что, согласно A26.16), эта функ- ция знакопостоянна). Это значит, что в A26.17) надо выбрать верхний знак, так что окончательно Ао = -7Г2 {st[st-4.m2(s 1/2 A26.18) Так как по своему смыслу функция ^(s, t) должна быть ве- щественна, то кроме положительности s и t имеется еще условие положительности выражения в квадратных скобках в знамена- теле: st - 4ra2(s + ?) ^ 0, s > 0, t > 0. A26.19) Эти неравенства определяют область, по которой должно про- изводиться интегрирование в двойном дисперсионном интеграле A26.8) (заштрихована на рис. 23). Ее границей является кривая s?-4ra2(s + ?) =0 с асимптотами s = 4m2 и t = 4m2. Дисперсионные соотношения в форме A26.5) и A26.8) еще не учитывают условий перенормировки, и при буквальном их применении интегралы оказались бы расходящимися и требовали бы регу- ляризации. Условие перенормировки для амплитуд M(s, t) заключается в требовании М@,0) =0. A26.20) Am2 Рис. 23 Действительно, амплитуда рассея- 4т2 ния фотона на фотоне должна обра- щаться в нуль, когда к\ = &2 = к% = = &4 = 0 (а потому и s = t = 0), поскольку к = 0 означает постоян- ный во времени и пространстве потенциал, которому не отвеча- ет никакое физическое поле (мы еще обсудим это условие более детально в следующем параграфе). Для автоматического учета этого условия надо написать дис- персионное соотношение «с вычитанием» (подобно переходу от A11.8) к A11.13)). Мы придем к такому соотношению естествен- ным образом, произведя сначала тождественное преобразование соотношения A26.8) с помощью тождества 1 st 0' - s)(t' - t) (s' - s)(t' - t)s't' (s' - s)s't' + * +J-. (f-t)s't' s't' 626 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ Подставив его в подынтегральное выражение в A26.8), получим M(s t) = it ff A2(s',t')ds'dt' ? f f(s')ds' K2 J J (S' - S)(t' - t)s't' 7Г J (S'-S)S' t [ g(t')dt' где s't' Последние равенства, однако, имели бы смысл лишь при усло- вии сходимости всех интегралов. В противном же случае функ- циям /(s), g(t) и постоянной С должны быть предписаны за- ранее заданные значения, соответствующие условию перенорми- ровки. Именно надо положить С = 0, f(s) = Als(s,0), g(t)=Alt(O,t), где Ait —мнимая часть M(«s,t), появляющаяся при увеличении t при заданном малом «s, подобно тому как A\s — мнимая часть, появляющаяся при увеличении s при заданном малом t. Первое из этих равенств очевидно: С = М@, 0) = 0. Второе (и анало- гичным образом третье) следует из сравнения равенства i 0) = ? Г iif 7Г J (Sf - с однократным дисперсионным соотношением A26.5), написан- ным «с вычитанием», отвечающим условию A26.20): щ t) = t fM?±Uds'. A26.21) тг J (sf - s)sf Таким образом, окончательное двойное дисперсионное соот- ношение «с вычитанием»: ' 2 ds'dt* ? Г АиУ, 0) ds,+ tf Л»@, О ds+ f м nj (s'-s)s' nj (t'-t)t' Если значения s, t сами лежат в области интегрирования, то ин- тегралы A26.21),A26.22), как всегда, надо понимать как предел при s^s + iO, t^t + iO. A26.23)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Двойное дисперсионное соотношение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Другими словами, в обоих каналах отсут- 