Излагавшаяся до сих пор в этой главе теория носила в зна- чительной степени формальный характер. Мы оперировали со всеми величинами так, как если бы они были конечными, и на- меренно не обращали внимания на встречающиеся в теории бес- конечности. Между тем при фактическом вычислении функций Х>, ?/, Г по теории возмущений встречаются расходящиеся ин- тегралы, которым нельзя, без привлечения дополнительных со- ображений, приписать какого-либо определенного значения. В возникновении таких расходимостей проявляется логическое не- совершенство излагаемой квантовой электродинамики. Мы уви- дим, однако, что в этой теории можно установить определенные предписания, позволяющие однозначным образом производить «вычитание бесконечностей» и в результате получать конечные значения для всех величин, имеющих непосредственный физи- ческий смысл. В основе этих предписаний лежат очевидные фи- зические требования, сводящиеся к тому, чтобы масса фотона была равна нулю, а заряд и масса электрона были равны их на- блюдаемым значениям. Начнем с выяснения условий, налагаемых на фотонный про- пагатор. Рассмотрим процесс рассеяния, который может происходить через одночастичные промежуточные состояния с одним вирту- альным фотоном. Амплитуда такого процесса должна иметь по- люс, когда квадрат суммарного 4-импульса начальных частиц Р совпадает с квадратом массы реального фотона, т. е. Р2 = 0; мы видели в § 79, что это требование следует из общего условия уни- тарности. Полюсный член в амплитуде возникает из диаграммы вида G9.1): причем с учетом радиационных поправок обе части диаграм- мы должны быть соединены жирной штриховой линией (точный фотонный пропагатор). Это значит, что функция Т>(к2) должна иметь полюс при к2 = 0, т. е. должно быть при ?;2^0, A10.2) /ъ где Z — постоянная. Для поляризационного оператора же V(k2) отсюда получается, согласно A03.21), условие V@) =0. A10.3) 544 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ При этом коэффициент A10.2) Z к2 Дальнейшие ограничения на функцию V(k2) можно получить из анализа физического определения электрического заряда ча- стицы. Оно состоит в том, что две классические (т. е. сколь угод- но тяжелые) частицы, покоящиеся на больших расстояниях друг от друга, должны взаимодействовать по закону Кулона: U = е /г (имеются в виду расстояния г ^> 1/га, т — масса электрона). С другой стороны, это взаимодействие выражается диаграммой \к (П0.4) где верхние и нижние линии отвечают классическим частицам. Фотонные собственно-энергетические поправки учтены на линии виртуального фотона. Всякие же другие поправки, затрагиваю- щие линии тяжелых частиц, привели бы к обращению диаграм- мы в нуль. Действительно, добавление каких-либо еще внутрен- них линий в диаграмме A10.4) (например, соединение линий а и с или а и Ъ фотонной линией) приводит к появлению на диа- грамме линий виртуальных тяжелых частиц, которым сопоста- вляются соответствующие пропагаторы. Но пропагатор частицы содержит ее массу М в знаменателе и обращается в нуль при М —>> оо. Из вида диаграммы A10.4) ясно (ср. § 83), что множитель е2Т>(к2) в ней должен представлять собой (с точностью до знака) фурье-образ потенциала взаимодействия частиц. Статичность взаимодействия означает, что частоты виртуальных фотонов ио = = 0, а большим расстояниям отвечают малые волновые векторы к. Фурье-образ кулонова потенциала есть 4тге2/к2. Наконец, по- скольку функция Т) зависит только от квадрата к2 = о;2 — к2, то мы приходим к условию ?;2^0, A10.5) т. е. коэффициент в A10.2) должен быть Z = 1 (знак в условии A10.5) очевиден: V(k2) стремится к пропагатору свободных фо- тонов D(k2)). Для поляризационного оператора V(k2) это значит, что должно быть V(k2)/k2 -> 0, к2 -> 0. A10.6) § 110 ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПЕРЕНОРМИРОВКИ 545 Помимо известного уже нам условия A10.3), отсюда следует, что должно быть также и V'@) = 0. A10.7) В § 103 было отмечено, что эффективной внешней линии реаль- ного фотона отвечает в диаграмме множитель A03.15), или, с учетом A03.16) и A03.20), 4тг Мы видим теперь, что ввиду A10.5),A10.6) поправочный член здесь обращается в нуль. Другими словами, мы приходим к важ- ному результату: во внешних фотонных линиях вообще не надо учитывать радиационных, поправок. Таким образом, естественные физические требования приво- дят к установлению определенных (равных нулю) значений ве- личин V@) и Vf@). Между тем вычисление этих величин по диаграммам теории возмущений привело бы для них к расходя- щимся интегралам. Мы видим, что способ устранения этих бес- конечностей состоит в приписывании расходящимся выражени- ям наперед заданных значений, устанавливаемых физическими требованиями. О такой процедуре говорят как о перенормировке соответствующих величин . Способ проведения этой операции можно сформулировать и в несколько иной форме. Так, для перенормировки заряда части- цы вводят нефизический «затравочный» заряд ес как параметр, который входит в выражение исходного оператора электромаг- нитного взаимодействия, фигурирующего в формальной теории возмущений. После этого условие перенормировки формулиру- ется как требование e2V(k2) —>> 4тге2/А;2 (при к2 —>> 0), где е — истинный, физический заряд частицы. Отсюда находим связь e2Z = е2, и с ее помощью нефизическая величина ес исключается из формул, определяющих наблюдаемые эффекты. Потребовав же сразу Z = 1, мы тем самым произведем перенормировку как бы «на ходу» и избавимся от необходимости введения фиктив- ных величин даже в промежуточных выкладках. Перейдем к выяснению условий перенормировки электронно- го пропагатора. Для этого рассмотрим процесс рассеяния, кото- рый может проходить через одночастичное промежуточное со- стояние с одним виртуальным электроном. Амплитуда такого процесса должна иметь полюс, когда квадрат суммарного 4-им- пульса начальных частиц Pi совпадает с квадратом массы реаль- х) Идея такого подхода была высказана впервые Крамерсом (Н. Kramers, 1947). Систематическое же использование метода перенормировок в квантовой электродинамике осуществлено в работах Дайсона, Томонаги (S. Tomonaga), Фейнмана и Швингера. 18 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY 546 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI ного электрона: Р2 = га2. Полюсной член в амплитуде возникает из диаграммы вида A10.8) где с учетом радиационных поправок жирная линия — точный электронный пропагатор. Это значит, что функция G(p) должна иметь полюс при р = га , т. е. должна иметь предельную форму д{р)ъгх 21Р + ™. +g(p), P2^m\ (П0.9) р2 — т2 + гО где Z\ —скалярная постоянная, a g(p) остается при р2 —>> т2 ко- нечной. Матричная структура полюсного члена в A10.9) (про- порциональность jp + 777,) является следствием того же условия унитарности, из которого возникает и само требование наличия полюса. Покажем это, одновременно выяснив важный вопрос об условиях перенормировки внешних электронных линий. Если G(P) имеет предельный вид A10.9), то обратная матри- ца G~l(p) ~ —("jp — га) — ("ур — ra)gG?? — га), р2 —>> га2. A10.10) Zi Массовый же оператор Л4 = G~l — Q~l « A — — ) (jp — га) + (jp — т)д{'УР — m), p2 ^m2. A10.11) Эффективной внешней (скажем, входящей) электронной линии отвечает в диаграмме множитель (ср. A03.15)) U(p) = и(р) + д(р)М(р)и(р), A10.12) где и(р) — обычная амплитуда волновой функции электрона, удо- влетворяющая уравнению Дирака (jp — т)и = 0. В силу требо- ваний релятивистской инвариантности (ZY, как и и, — биспинор) предельное значение Ы{р) при]?2 —>• га2 может отличаться от и(р) лишь постоянным скалярным множителем: U(p) = Z'u(p). A10.13) Этот множитель Z' определенным образом связан с множителем Zi, но найти эту связь просто подстановкой A10.10),A10.11) в A10.12) нельзя ввиду возникающей неопределенности: результат будет зависеть от порядка, в котором совершается предельный переход в различных множителях в A10.12). § 110 ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПЕРЕНОРМИРОВКИ 547 Можно, однако, обойтись без выяснения вопроса о правиль- ном способе предельного перехода, обратившись вместо этого к условию унитарности в применении к реакции, изображаемой диаграммой A10.8). Соотношение унитарности относится, вооб- ще говоря, не к отдельным диаграммам, а к амплитудам процес- сов в целом. Но при р2 —>> т2 полюсная диаграмма A10.8) да- ет основной вклад в соответствующую амплитуду М^, так что другие диаграммы, относящиеся к той же реакции, можно не рассматривать. В силу требований унитарности, как это было показано в § 79, одночастичное промежуточное состояние приводит к появлению в амплитуде реакции мнимой части с E-функционным членом т8(р2-т2) J2 ЩпМ*п, A10.14) поляр где в данном случае индекс п относится к состоянию с одним реальным электроном, а суммирование производится по его по- ляризациям (во избежание лишних усложнений считаем, как и в § 79, что произведена симметризация обеих сторон соотношения унитарности по спиральностям начальных и конечных частиц; тогда Mfi = Mif). Амплитуда Mfn отвечает процессу, изобра- жаемому диаграммой и имеет вид Mfn = (M'fnU) = Z'(M'fnu), где ML — множитель с одним свободным биспинорным индек- сом х) . Аналогичным образом амплитуда М*п имеет структуру вида М*п = (ПМ'1) = Z'(uM'*n). Суммирование по поляризациям электрона заменяет произведе- ние (M'fnu)(uM'*in) на M'fn(^p + m)M'*n1 так что член A10.14) в амплитуде М^ принимает вид Z'2in8(p2 - т2)Щп{1Р + т)М'*гп]. ) Здесь необходимо некоторое уточнение. Электрон как стабильная ча- стица не может в действительности превратиться в другую совокупность реальных частиц. Можно, однако, формально рассматривать в качестве по- следних некоторые воображаемые частицы с такими массами, которые бы допускали такое превращение. Получающееся соотношение надо понимать тогда в смысле аналитического продолжения к реальным значениям масс. 18* 548 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI По этому члену в мнимой части можно восстановить весь полюс- ной член в амплитуде рассеяния; согласно G9.5) находим 2 = _z4Mfni,P + m)M;n} 2 m2_ 1 (р2-т2+г0) ' F С другой стороны, вычисление этой же амплитуды непосред- ственно по диаграмме A10.8) дает Сравнение обеих формул подтверждает написанное выше пре- дельное выражение для Q(p) (первый член в A10.9)), причем Z' = yfz[. A10.15) Покажем теперь, что после установления требуемого предель- ного вида электронного пропагатора уже нет необходимости в постановке каких-либо новых условий для вершинного операто- ра. Рассмотрим диаграмму I A10.16) Р2 Р1 описывающую рассеяние электрона во внешнем поле А^е\к) (в первом порядке по полю) с учетом всех радиационных попра- вок. В пределе к —>• 0, р% —>• Pi = p собственно-энергетические поправки к линии внешнего поля исчезают (напомним, что эти поправки исчезают вообще при всяком к2 = 0). Тогда диаграмме будет соответствовать амплитуда Mfi = -еп(р)Г(р, р- 0)U(p)A^(k -> 0) A10.17) — произведение потенциала А^ на электронный ток перехода ЫТЫ. Но при к —>• 0 потенциал А^е\х) сводится к не зависящей от координат и времени постоянной. Такому потенциалу вообще не соответствует никакое физическое поле (частный случай кали- бровочной инвариантности), так что он не может вызвать ника- кого изменения электронного тока. Другими словами, в рассма- триваемом пределе ток перехода UYU должен просто совпадать со свободным током щи: , р; 0)W(p) = Ziu(p)T^u(p) = п(р)^и(р). A10.18) § 111 АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФОТОННОГО ПРОПАГАТОРА 549 Это требование есть, по существу, тоже выражение определения физического заряда электрона. Легко видеть, что оно автома- тически выполняется вне зависимости от значения Z\. Действи- тельно, подставив G~1(p) из A10.10) в тождество Уорда A08.8), найдем , р; 0) = Zf V - 7^д(р)GР -т)- (jp - и равенство A10.18) удовлетворяется в силу уравнений (jp — т)и = 0 H(jp — га) = 0. Мы видим, что при составлении амплитуды физического процес- са «перенормировочная постоянная» Z\ вообще выпадает. Мало того, воспользовавшись неопределенностью, возникающей из-за расходимостей при вычислении Г, можно просто потребовать, чтобы было п(р)Г^(р, р; 0)и(р) = п(р)^и(р), р1 = га2, A10.19) т. е. положить Z\ = 1. Удобство такого определения состоит в том, что отпадает необходимость во введении поправок во внешние электронные линии: имеем просто Ы(р) =и(р). В этом можно убедиться и непосредственно, заметив, что при Z\ = 1 массовый оператор A10.11) М = (чр- m)g(jp - га) A10.20) и второй член в A10.12) очевидным образом обращается в нуль. Таким образом, не будут требовать «перенормировки» внешние линии всех реальных частиц —как фотонов, так и электронов х) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Физические условия перенормировки» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 