Если система находится в заданном внешнем поле А^(х), то точный электронный пропагатор определяется той же форму- лой A05.1), но в гамильтониан Н = Hq + V, осуществляющий преобразование к гейзенберговскому представлению операторов, входит также и взаимодействие электронов с внешним полем: V = е I Aj»d3x + e Г A^d3x. A09.1) Поскольку внешнее поле нарушает однородность пространства и времени, то пропагатор G(x, x1) будет зависеть теперь уже от обоих аргументов ж и ж7 в отдельности, а не только от их разности х — х1 Если перейти обычным образом к представлению взаимодей- ствия, то получится обычная диаграммная техника, в которой наряду с виртуальными фотонными линиями будут фигуриро- вать также и линии внешнего поля. Такая техника, однако, неу- добна в тех случаях, когда внешнее поле нельзя рассматривать § 109 ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 537 как малое возмущение, прежде всего — когда частицы в поле мо- гут находиться в связанных состояниях. Между тем электрон- ный пропагатор во внешнем поле необходим в первую очередь как раз для изучения свойств связанных состояний, в частности для определения уровней энергии с учетом радиационных по- правок. Для построения такого пропагатора следует исходить из представления операторов, в котором внешнее поле учитывает- ся точно, уже в нулевом приближении по электрон-фотонному взаимодействию (W. H. Furry, 1951). В дальнейшем мы будем предполагать внешнее поле стацио- нарным, т. е. не зависящим от времени. Требуемое представление ^-операторов дается формулами C2.9) вторичного квантования во внешнем поле: fte\t, г) = A09.2) t, r) = ?+Й+L+) ?V где фп (г) и e\i — волновые функции и уровни энергии соот- ветственно электрона и позитрона, являющиеся решениями «од- ночастичной» задачи — уравнения Дирака для частицы в поле. Легко понять, что операторы A09.2) являются ^-операторами в некотором представлении {представлении Фарри), как бы про- межуточном между гейзенберговским и представлением взаимо- действия. Их можно записать в виде где t, r) = ехр(гЯ1*)^(г) ехрНЯх*), ?, г) = (/^)^()(Я) / Оператор же электромагнитного поля А^ разумеется, коммути- рует со вторым членом в Ях, и потому для него представление Фарри совпадает с представлением взаимодействия. Электронный пропагатор нулевого приближения в новом пре- дставлении определяется как G^\x, х1) = -г@|Т^(Ж)Йе)И|0). (Ю9.4) Оператор ip(eJ(t, r) удовлетворяет уравнению Дирака во внеш- нем поле ^ - m]^(e)(t, г) = 0, A09.5) 538 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI а функция G^ — соответственно уравнению [jp- ejA^e\x) - m]G{e\x, х') = 5А(х - х'), A09.6) (ср. вывод A07.5)). Диаграммная техника, выражающая точный пропагатор Q в виде ряда по е2, строится путем перехода от гейзенбергов- ского представления к представлению Фарри — в точности так, как мы производили ранее переход к представлению взаимодей- ствия. Мы получим в результате диаграммы того же вида, при- чем сплошным линиям будут соответствовать теперь множители iG^ (вместо iG). Незначительное отличие в правилах записи аналитических выражений диаграмм возникает лишь в связи с тем, что в коор- динатном представлении G^ — функция не только от разности х — х'. В постоянном внешнем поле, однако, сохраняется одно- родность времени, и потому моменты t и t' по-прежнему будут входить лишь в виде разности t — t' = т, так что G*e) =G*e)(т, г, г'). Переход к импульсному представлению осуществляется разло- жением Фурье по каждому из аргументов функции: r, r)= ///eW-Pi'-^G(e, P2, pO^^.^2-. A09.7) Каждой линии, которой отвечает множитель iG^e\e, P2, Pi), должно приписываться теперь одно значение виртуальной энер- гии ?, но два значения импульса — начальный pi и конечный р2: гО^Це, р2, Р1) =<^^ . A09.8) В результате получается правило записи аналитических выра- жений диаграмм, в которых обычным образом производятся ин- тегрирования по ск/Bтг), а по d3pi/B7rK и с/3]92/BтгK интегриро- вания производятся независимо, с учетом сохранения импульса в каждой вершине. Например, .'VG(e)(e-w, p"-k, p'-k) x .(w, k) —. A09.? § 109 ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 539 Важно отметить, что в излагаемой технике необходимо учиты- вать также и диаграммы с «замкнутыми на себя» электронными линиями, которые в обычной технике отбрасываются как связан- ные с «вакуумным током». При наличии внешнего поля этот ток уже не должен обращаться в нуль в связи с вызываемой полем «поляризацией вакуума». Так, в диаграмме A09.10) Р2 верхней петле отвечает множитель Здесь, однако, надо еще уточнить смысл, придаваемый интегра- лу по о;. Дело в том, что интегрирование компоненты Фурье функции G^e\r) по оо сводится к взятию значения этой функ- ции при т = 0; но функция G^® разрывна в этой точке, так что надо указать, какое именно из ее двух предельных значе- ний должно быть взято. Для выяснения этого вопроса достаточ- но заметить, что интеграл A09.11) происходит от свертывания ^-операторов, стоящих в одном и том же операторе тока: где ip(e;(t, r) стоит слева от ip(e'(t, r). Согласно определению про- пагатора A09.4) такой порядок множителей при t = t' получится, если понимать t' как t' = ? + 0, т е. предельное значение функции G^e'(t — t') —как предел при t — t' —>• —0. Иначе можно сказать, что интеграл по doo/2n в A09.11) надо понимать как ' —, т->-0. A09.12) Массовый оператор во внешнем поле определяется так же, как в § 105: — гЛ4 есть сумма всех компактных собственно-энер- гетических блоков. Он является теперь функцией энергии е и импульсов pi и р2 на тех концах внешних линий, которыми они соответственно входят и выходят из блока: A09.13) ? Р2 2' Pi e 540 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI Поступая в точности так, как при выводе A05.6), получим урав- нение д(е, Р2, Pi) — G^e'(e, p2, <%, Р2, р")М(е, р", p')G(e, p', Pl)pLp!L. A09.14) Более естественный вид этому уравнению можно придать, ес- ли вернуться к координатному представлению по пространствен- ным переменным, введя функцию д(е, г, г') = JJg(e, p2, Pl)e*<i»'-PiO?g?*, (Ю9.15) -// (б —число, р = — гV — оператор дифференцирования по коорди- натам г). При этом надо учесть, что согласно A09.6) b°?--fp-ejA^(x)]G^(e, r, r7) = 5(r-r'). A09.16) В результате получим следующее уравнение: и аналогично для других величии. Произведя в A09.14) обратное преобразование Фурье, получим G(e, г, r')-G(e)(e, г, г7) = (б, г, г2)Л^(б, г2, ri)^(e, ri, г7)^ Применим теперь к обеим сторонам равенства оператор = 6(r-rf). A09.17) Особая ценность функции Q(e, r, г7) состоит в том, что ее полюсы определяют уровни энергии электрона во внешнем поле. Покажем это сначала для приближенной функции G^e\e, г, г7). Подставив операторы A09.2) в определение пропа- гатора A09.4), получим (в точности аналогично формулам G5.12) для пропагатора свободных частиц) § 109 ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 541 и после перехода к компонентам Фурье по времени sLiLll A09.19) -гО J v ; Мы видим, что G^e\e, г, г7) как аналитическая функция е имеет на положительной вещественной полуоси полюсы, совпадающие с уровнями энергии электрона, а полюсы на отрицательной полу- оси совпадают с уровнями энергии позитрона. Значения еп > гп образуют непрерывный спектр , и соответствующие полюсы сливаются в два разреза плоскости е: от —оо до — т и от т до +оо. На отрезке \е\ < т лежат полюсы, определяющие дискрет- ные уровни энергии. Для точного пропагатора Q{e, r, г7) можно получить анало- гичное разложение, выразив его через матричные элементы шре- дингеровских операторов, с которыми матричные элементы гей- зенберговских ^-операторов связаны равенствами (m\ih(t r)\n\ — lmUh(v\\n\ рхпГ—i(K —К \f\ (Л 0Q 90^1 Здесь Еп — точные (т. е. со всеми радиационными поправками) уровни энергии системы во внешнем поле. Оператор ф увеличи- вает, а оператор ф уменьшает на 1 (т. е. на +|е|) заряд системы. Это значит, что в матричных элементах (п|^|0) и @|^|п) состо- яния \п) должны соответствовать равному +1 заряду системы, т. е. могут содержать, помимо одного позитрона, лишь некоторое число электрон-позитронных пар и фотонов; энергии этих состо- яний обозначим через Еп . Аналогичным образом в матричных элементах @\ф\п) и (п|^|0) состояния \п) содержат один элек- трон и некоторое число пар и фотонов (энергия Еп ). Вместо A09.18) получим теперь gik(t-t',r,r') = -t% t<t', A09.21) и отсюда да _ г г-') -У ) Wi®|n)(n|^(r' , г, г) - 2_^ S - (+) п К ? ~ ^п + w in — гУ) A09.22) ) Предполагается, что внешнее поле исчезает на бесконечности. 542 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI Пусть е близко к какому-либо из дискретных уровней энергии Еп (или к одному из —Е4 )• Тогда из всей суммы в A09.22) можно оставить лишь один соответствующий полюсный член. Подставив его затем в A09.17), мы увидим, что множители, за- висящие от второго аргумента г' (при г ф г7), из уравнения вы- падают. В результате мы получим однородное интегродиффе- ренциальное уравнение для функции @\ф(г)\п) (или (n|^®|0), которую мы обозначим для краткости через Фп(г) г) . Опуская индекс п, имеем ^ I lk{e, r, n)*,(ri)^i = 0 A09.23) (</. Schwinger, 1951). Дискретные уровни энергии Еп выступа- ют теперь как собственные значения этого уравнения. Тем са- мым уравнение A09.23) становится основой регулярной проце- дуры для определения этих уровней. Выразим, например, из A09.23) поправку первого порядка по Л4 к дискретному уровню энергии электрона ?п, полученному в результате решения уравнения Дирака = 0; A09.24) волновая функция фп(г) пусть нормирована условием ф*пфп?>х = 1. A09.25) Собственную функцию уравнения A09.23) запишем в виде , A09.26) где фп ' — поправка к фп. Подставив A09.26) в уравнение A09.23), умножив его слева на фп{т) и проинтегрировав по d?x 2) , полу- чим искомое выражение Еп — Ег, J'^ni{v)Mik{en, r, r^nkin^xcPx!. A09.27)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Электронный пропагатор во внешнем поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
, и соответствующие полюсы 