Подобно фотонному, точный электронный пропагатор опре- деляется формулой gik(x - х1) = -г@\Тф^х)фк(х')\0) A05.1) (г, к — биспинорные индексы), отличающейся от определения G5.1) пропагатора свободных частиц Gik(x - х') = -г@\Тф^(х)^кп\х')\0) A05.2) заменой ^-операторов в представлении взаимодействия гейзен- берговскими. Те же рассуждения, что и при выводе A03.7), позволяют пре- образовать Ож к виду д.к{х - х>) = _гЮШШ1)Ж. (Ю5.3) 1кУ } @|5|0> V У Разложение этого выражения по степеням е2 приводит к пред- ставлению (/-функции в виде совокупности диаграмм с двумя внешними электронными линиями и различным числом вершин. При этом роль знаменателя в A05.3) снова сводится к необхо- димости учитывать лишь диаграммы без изолированных «ваку- умных петель». Так, с точностью до членов ~ е4 графическое § 105 ТОЧНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР 523 представление пропагатора д (жирная сплошная линия) имеет вид х) Жирной сплошной линии сопоставляется (в импульсном пред- ставлении) функция iQ(pI а всем сплошным и штриховым лини- ям в диаграммах правой стороны равенства — пропагаторы свободных частиц соответственно iG и —iD. Блок, заключенный между двумя электронными линиями, называют электронной собственно-энергетической частью. Как и в фотонном случае, такую часть называют компактной, если она не может быть разделена дальше на две другие собственно- энергетические части путем рассечения по одной электронной линии. Сумму всех возможных компактных частей обозначим через —iMik-) функцию —iMik{p) называют массовым операто- ром. Так, с точностью до членов ~ е4 имеем A05.5) Путем суммирования, в точности аналогичного выводу A03.13), получим д{р) = G(P) + G(p)M(p)g(P) A05.6) (биспинорные индексы опускаем) или для обратных матриц д-\р) = G~l{p) - M(p) =1Р-т- М(р). A05.7) В § 102 уже было отмечено, что гейзенберговские ^-операто- ры (в противоположность ^-операторам в представлении взаи- модействия) меняются в результате калибровочного преобразо- вания электромагнитных потенциалов. Вместе с ними оказывает- ся калибровочно-неинвариантным также и точный электронный пропагатор д. Выясним закон его калибровочного преобразова- ния (Л". Д. Ландау, И. М. Халатников, 1952). х) Как уже было объяснено в § 103, не надо учитывать также и диаграм- мы с «замкнутыми на себя» линиями, которые появились бы здесь уже во втором порядке: 524 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI Заранее ясно, что изменение Q при калибровочном преобра- зовании должно выражаться через ту же величину D^l\ которая добавляется при этом преобразовании к фотонному пропагато- ру. Это станет очевидным, если заметить, что при вычислении Q по диаграммам теории возмущений каждый член ряда выра- жается через функции D и никаких других электромагнитных величин в них не входит. Этим обстоятельством можно восполь- зоваться для упрощения выводов: можно делать любые частные предположения о свойствах произвольного оператора х в преоб- разовании A02.8), лишь бы ответ был выражен через D^. В результате преобразования A02.8) пропагаторы V A03.1) и Q A05.1) переходят в - дХ(х)][А(х') - д'х(х')}\0) Будем считать теперь, что операторы %, усредняются независи- мо от всех остальных операторных множителей в Т-произведе- нии; это предположение вполне естественно, поскольку в силу калибровочной инвариантности «поле» %, не принимает никако- го участия во взаимодействии. Положим также, что обращается в нуль среднее по вакууму от самого оператора х '• @|х|0) = 0- Тогда в A05.8) члены, содержащие %, отделяются и получается ZV -»¦ ?V + *@|Т[^ - д^х(х) ¦ д1х(х')}\0), (Ю5.9) Gik -»¦ Qik@\Teie^e-ie^x^\0). A05.10) Дальнейший вывод произведем для бесконечно малого пре- образования; чтобы подчеркнуть эту малость, будем писать дх вместо х Преобразование A05.9) можно (независимо от малости записать в виде - х1), A05.11) - х) = i@\TSx(x)Sx(x')\0). A05.12) Отсюда видно, что функция S^ определяет изменение при кали- бровочном преобразовании продольной части фотонного пропа- гатора Т>A\ Предположение о зависимости этой функции только *) Переход от A05.9) к A05.11) возможен, если функция d^ и ее произ- водная по t непрерывны при t = t'. В противном случае правые части этих выражений отличались бы ^-функционными членами (ср. вывод формулы G5.2)). В импульсном представлении это условие эквивалентно предполо- жению о том, что dSl\q) убывает при |g21 —>> схэ быстрее, чем 1/q2. § 105 ТОЧНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР 525 от разности х — х' означает, конечно, определенное ограничение на свойства оператора ?%; в общем случае вполне произвольно- го калибровочного преобразования пространственно-временная однородность пропагатора может нарушиться. В преобразовании же A05.11) разлагаем экспоненциальные множители по степеням 5\ с точностью до квадратичных членов: С учетом определения A05.12) находим, таким образом, следу- ющий закон преобразования электронного пропагатора: G -+ О + 50, 80 = ie2G(x - х')[Ж1\0) - S-l\x - x% A05.13) В импульсном представлении 1) q)]-0?. A05.14) При этом функция d^ (q) связана с изменением функции Т>^ (q) 8V^{q)=q2d{-l){q). A05.15) Для электронного пропагатора можно было бы получить ин- тегральное представление, аналогичное формуле A04.11). Его вывод основан на выражениях Фпт(х) = Фпт@)е-1(Р™-Рп)х A05.16) для матричных элементов ^-оператора, подобных использован- ным в § 104 выражениям A04.6) для матричных элементов тока. В противоположность току, однако, сами ^-операторы калибро- вочно-неинвариантны. Поэтому и координатная зависимость ви- да A05.16) не имеет общего характера, а относится лишь к неко- торой определенной калибровке. Тем самым относится лишь к Если функция /(ж) = fi(x)f2(x), то ее компоненты Фурье = Jf(x)eipxd4x = При переходе от A05.13) к A05.14) учтено также, что 526 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI определенной калибровке и основанное на A05.16) интегральное представление пропагатора. Более глубокая физическая причина этой ситуации состоит в том, что равенство нулю массы фото- на приводит к инфракрасной катастрофе (см. § 98). Вследствие этого электрон в процессе взаимодействия испускает бесконеч- ное число мягких квантов, что в значительной степени лишает прямого смысла «одночастичный» пропагатор A05.1).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Точный электронный пропагатор» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
