Для дальнейшего исследования аналитических свойств фо- тонного пропагатора будет полезно ввести, наряду с поляризаци- онным оператором, еще одну вспомогательную функцию П^(А;), которую называют собственно-энергетической функцией фото- на. Именно, Ш^/(А7г) определяется как сумма всех вообще (а не только компактных) собственно-энергетических фотонных ча- стей. Изобразив эту сумму квадратиком на диаграмме, предста- вим точный пропагатор суммой т. е. Выразив отсюда П^ в виде и подставив в это равенство A03.16), A03.19) и затем A03.21), получим 2(^) ^ A04.2) § 104 СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ФОТОНА 519 Мы видим, что П^ (как и Vfjiv)—калибровочно-инвариантный тензор. Полезность величины П^ связана с ее выражением в коорди- натном представлении. Его легко найти, заметив, что равенство с учетом следующей из A03.18) поперечности тензора Vxp — в координатном представления можно написать в виде и^(х - х') = Для осуществления дифференцирования сюда надо подставить Vxp{x-x')-Dxp{x-x') = = i{\TAx(x)A<>(x') - TAUx)ApQt(x')\0). A04.3) Мы видели в § 75, что дифференцирование Т-произведения тре- бует, вообще говоря, осторожности ввиду его разрывного харак- тера. Но усредняемая в A04.3) разность непрерывна вместе со своими первыми производными, так как правила коммутации для компонент операторов Ах(х) и Axni(x) (взятых в один и тот же момент времени) одинаковы и соответствующие скачки сокращаются (ср. § 75). Поэтому дифференцирование разности A04.3) можно производить под знаком Т. Согласно A02.6) (и та- кому же уравнению без правой части для операторов свободного электромагнитного поля A^ni(x)) получим в результате выраже- ние U^(x - х') = 4me2@\Tj^x)jv(x')\0). A04.4) Оно в явном виде выявляет калибровочную инвариантность П^, поскольку таковы операторы тока. Из A04.4) можно получить важное интегральное представле- ние этой функции. Ввиду A04.2) достаточно рассмотреть скалярную функцию П = П^/3. В координатном представлении Щх - х1) = ^г t<t, A045) 520 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI где символ п нумерует состояния системы «электромагнитное + + электрон-позитронное поля» . Так как оператор тока j(x) зависит от х^ = (?, г), зависят от х также и его матричные элементы. Эту зависимость можно установить в явном виде, если выбрать в качестве состояний \п) состояния с определенными значениями полного 4-импульса. Зависимость матричных элементов тока от времени, как и для всякого гейзенберговского оператора, дается выражением {n\f(t, т)\т) = {п\^(г)\т)е-«Е™-Е^, где Еп, Ет — энергии состояний \п) и |га), j® — шредингеров- ский оператор. Для определения координатной зависимости матричных эле- ментов рассматриваем оператор j® как результат преобразова- ния оператора j@) путем параллельного переноса на расстоя- ние г. Оператор такого переноса есть ехр(ггР), где Р — оператор полного импульса системы (см. III, A5.13)). Имея в виду общее правило преобразования матричных элементов (см. III, A2.7)), находим поэтому, что Вместе с предыдущей формулой это дает окончательно (n\f(t, r)\m) = (n\f@)\m)e-^™-^x. A04.6) Отметим также, что матрица (n|j^@)|m) эрмитова (как и ма- трица A04.6) оператора j^(t, r) в целом), а в силу уравнения непрерывности A02.7) она удовлетворяет условию поперечности ). A04.7) Вернемся к вычислению функции П(х — х'). Подставив A04.6) в A04.5), получим П(е) = ^@|^@)|п)(п|^@)|0)е^р^, т^0, A04.8) где х — х' = ? = (т, ?). Обозначим )*5\k - Рп). A04.9) *) Оператор тока сохраняет заряд, поэтому состояния \п) в A04.5) могут содержать лишь одинаковые числа электронов и позитронов. § 104 СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ФОТОНА 521 Суммирование производится по всем системам реальных элек- тронных пар и фотонов, которые могут быть рождены виртуаль- ным фотоном с 4-импульсом к = (о;, к) (А > 0), а для каждой из таких систем — еще и по ее внутренним переменным (поляриза- ции и импульсы частиц в системе центра инерции) х) . В резуль- тате такого суммирования функция р может зависеть только от /с, а ввиду ее скалярности — только от к2. В частности, р не за- висит от направления к. Имея в виду эти свойства функции /э, переписываем A04.8) в виде П@ = -г Переход к импульсному представлению осуществляется подста- новкой сюда формулы оо е-гш\г\ = 2iu; Г e-ikor 1 dko_ A04.10) J к2 - и2 + гО 2тт V J (использованной уже в § 76) и дает оо оо П(А;2) = f d(fi2) Гd{u о о или окончательно 2) оо n(fc2) = /• p(pW) (шл1) J к2 - и2 + г0 0 Такое определение состояний |п), очевидно, тождественно с определе- нием их как состояний, для которых отличны от нуля матричные элементы @|j|n) зарядово-нечетного оператора. ) Формальные вычисления, аналогичные произведенным выше, требуют осторожности ввиду наличия упоминавшихся уже расходимостей. Это при- водит, в частности, к появлению в правой части A04.11) дополнительных расходящихся членов, не имеющих явно релятивистски инвариантного вида (так называемые швингеровские члены). Мы не выписываем их, поскольку они все равно исчезают при перенормировке (см. § 110) и не сказываются на дальнейших результатах. 522 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI Коэффициент р в этом интегральном представлении называют спектральной плотностью функции П(к2). Он обладает свой- ствами: <0, р(к2) > 0 при к2 > 0. Действительно, 4-импульс к виртуального фотона, который может родить систему реальных частиц, непременно временипо- добен (к2 совпадает с квадратом полной энергии частиц в систе- ме их центра инерции). В силу же условия поперечности A04.7) имеем Но 4-вектор @|j|n), ортогональный времениподобному 4-вектору (Рп), пространственноподобен, т. е. а потому, согласно определению A04.9), р > 0.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Собственно-энергетическая функция фотона» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Так как оператор тока j(x) 