Основную роль в аппарате точной (без разложений по степе- ням е2) теории играют понятия о точных пропагаторах . Точный фотонный пропагатор (который мы будем обозна- чать рукописной латинской буквой ТУ) определяется формулой V^(x - х') = i@\TA^(x)A^(x')\0), A03.1) где Ац{х) — гейзенберговские операторы, в отличие от определе- ния G6.1): D^(x - х') = i<0|T4nt(sLnV)|0>, (Ю3.2) в котором фигурировали операторы в представлении взаимо- действия. В отличие от точного пропагатора A03.1), функцию A03.2) можно назвать пропагатором свободных фотонов. Ввиду невозможности точного вычисления среднего значения A03.1) нельзя получить точное аналитическое выражение для V^v, хотя определение A03.1) и позволяет установить некоторые г) Эти понятия были введены Дайсоном (F. Dyson, 1949); им же в основном построен весь излагаемый в этой главе аппарат. 512 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI общие свойства этой функции. Этому будет посвящен § 111, a пока мы займемся вычислением Т)^ по теории возмущений с помощью диаграммной техники. Для этого надо выразить V^ через операторы в представлении взаимодействия. Пусть сначала t > t'. Используя связь между А(х) и A[ni(x) (ср. A02.14)), пишем Vfll/(x-xf)=i(O\Afl(x)A1/(xf)\O) = = i@|S(-oo, t)A™\x)S(t, -oo)S(-oo, t')A™\x')S{t', -oo)|0). Согласно A02.12) заменяем S(t, -ooM(-oo, t') = S(t, t') 5(-oo, t) = S(-oo, +oo)S(oo, t). Тогда ^ -oo)|0>, A03.3) где для краткости обозначено ?=?(+ос, -ос). A03.4) Поскольку по определению A02.11) 5(^2, ti) содержит только операторы в моменты времени между t\ и ?2, расположенные в хронологическом порядке, то очевидно, что вообще все опера- торные множители в квадратных скобках в A03.3) расположе- ны в порядке убывания времен слева направо. Поставив перед скобкой символ хронологизации Т, мы можем затем произвольно переставлять порядок множителей, так как оператор Т автома- тически устанавливает их в нужном порядке. Воспользовавшись этим, перепишем выражение в скобках в виде )A^(x')S(oo, t)S(t, t')S{t'} -00)] = Таким образом, V^x - х') = i@\S-1T[Ai^(x)Aft(x')S\\0). A03.5) Легко убедиться аналогичным образом, что эта формула верна и при t < t'. Покажем теперь, что множитель S-1 можно вынести из-под знака усреднения по вакууму в виде некоторого фазового множи- теля. Для этого вспомним, что гейзенберговская волновая функ- ция вакуума Ф совпадает со значением 6int(—оо) волновой функ- ции этого же состояния в представлении взаимодействия (см. A03.9)). Согласно же G2.8) имеем ^ ?, -оо)Ф^(-оо) = Фш^+оо). § 103 ТОЧНЫЙ ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР 513 Но вакуум представляет собой строго стационарное состояние; в нем невозможны никакие самопроизвольные процессы рожде- ния частиц. Другими словами, с течением времени вакуум оста- ется вакуумом; это означает, что <I>int(+oo) может отличаться от ^int(~°°) лишь некоторым фазовым множителем ега. Поэтому (-oo) = ешФ1п1(-оо) = <0|S|0^int(-oo). A03.6) Произведя комплексное сопряжение и учтя унитарность опера- тора S, получим Отсюда ясно, что выражение A03.5) может быть переписано в виде V (х ЖЛ_;4"ДУ Подставив сюда (в числитель и знаменатель) разложение G2.10) для S и произведя усреднение с помощью теоремы Вика (см. § 77), мы получим разложение V^ по степеням е2. В числителе A03.7) усредняемые выражения отличаются or матричных элементов типа G7.1), рассматривавшегося в § 77, лишь тем, что вместо «внешних» операторов рождения или уни- чтожения фотонов в них стоят операторы A1^t(x) и A1^t(xf). По- скольку все множители в усредняемых произведениях, стоят под знаком хронологизации, попарные свертки этих операторов с «внутренними» операторами Amt(xl), Aini(x2), ... будут давать фотонные пропагаторы D^v. Таким образом, результаты усред- нения выразятся совокупностями диаграмм с двумя внешними концами, составляемых по описанным в § 77 правилам, с той лишь разницей, что внешним (как и внутренним) фотонным ли- ниям диаграммы будут отвечать теперь пропагаторы D^ (вме- сто амплитуд е реальных фотонов). В нулевом приближении при S = 1 числитель выражения A03.7) совпадает просто с DAy{x—x'). Следующие отличные от нуля члены будут ~ е2. Они изобразятся совокупностью диаграмм, содержащих два внешних конца и две вершины: -о- A03.? Вторая из этих диаграмм состоит из двух не связанных меж- ду собой частей: штриховой линии (которой отвечает — iD^) и 17 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY 514 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI замкнутой петли. Такое распадение диаграммы означает распа- дение соответствующего ему аналитического выражения на два независимых множителя. Прибавив к диаграммам A03.8) диа- грамму (штриховую линию) нулевого приближения и «вынеся ее за скобку», найдем в результате, что с точностью до членов второго порядка числитель в A03.7) равен —о- Выражение же @|*S|0) в знаменателе A03.7) представляет собой амплитуду «перехода» из вакуума в вакуум. Его разложение со- держит поэтому лишь диаграммы без внешних концов. В нуле- вом приближении @|<l?|0) = 1, а с точностью до членов второго порядка получим Разделив с той же точностью числитель на знаменатель, найдем, что фигурная скобка сокращается и остается -О- Таким образом, диаграмма с отсоединенной петлей выпадает из ответа. Этот результат имеет общий характер. Вдумавшись в способ построения диаграмм, отвечающих числителю и знаме- нателю в A03.7), нетрудно понять, что роль знаменателя @|5|0) сводится к тому, что в любом порядке теории возмущений точ- ный пропагатор V^ будет изображаться лишь диаграммами, не содержащими отделенных друг от друга частей. Заметим, что диаграммы без внешних концов (замкнутые петли) вообще не имеют физического смысла и их не следует учитывать даже независимо от того, что они выпадают при об- разовании пропагатора V. Действительно такие петли предста- вляют собой радиационные поправки к диагональному элементу 5-матрицы для перехода вакуум —вакуум. Но согласно A03.6) сумма всех этих петель (вместе с единицей нулевого приближе- ния) дает лишь несущественный фазовый множитель, который не может отразиться ни на каких физических результатах. Переход от координатного к импульсному представлению происходит обычным образом. Так, во втором приближении те- ории возмущений пропагатор —iD^if(k) (который мы будем изо- бражать жирной штриховой линией) дается суммой § 103 ТОЧНЫЙ ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР 515 где все диаграммы вычисляются по обычным правилам (перечис- ленным в § 77), с той лишь разницей, что внешним фотонным линиям, как и внутренним, тоже сопоставляются множители — -iDlliy(k). Аналитическая запись этой формулы дает поэтому х) A03.10) (биспинорные индексы у матриц j и G, как обычно, не выписы- ваем). Члены следующих приближений строятся аналогичным об- разом; они изображаются совокупностями диаграмм с двумя вне- шними фотонными концами и нужным числом вершин. Так, чле- нам ~ е4 отвечают следующие диаграммы с четырьмя вершина- ми: A03.11) --О-О-- Четырьмя вершинами обладает также и диаграмма верхнюю часть которой составляет петля, образованная одной «замкнутой на себя» электронной линией. Такая петля отвечает свертке ф(х)^ф(х), т. е. просто среднему по вакууму значению тока: @\j(x)\0). Но уже по самому определению вакуума эта ве- личина должна тождественно обращаться в нуль, и это тожде- ство не может, разумеется, быть изменено никакими дальнейши- ми радиационными поправками к такой петле 2) . Поэтому вооб- ще никакие диаграммы «с замкнутыми на себя» электронными линиями не должны учитываться ни в каком приближении. Часть диаграммы («блок»), заключенную между двумя фо- тонными линиями (внешними или внутренними), называют вооб- ) При определении знаков не забыть о множителе — 1, привносимом за- мкнутой электронной петлей! ) Хотя прямое вычисление по диаграммам и привело бы к расходящимся интегралам. 17* 516 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI ще фотонной собственно-энергетической частью. В общем слу- чае такой блок еще сам может быть разделен на части, соеди- ненные попарно одной фотонной линией, т. е. имеет структуру вида O-F-O-F- ...-Г-О где кружки обозначают блоки, которые уже нельзя разделить дальше таким способом; эти части называют компактными (на- пример, из четырех собственно-энергетических частей четверто- го порядка A03.11) компактны первые три). Обозначим символом гТ^/^тг) сумму всех (бесконечного множества) компактных собственно-энергетических частей; фун- кцию Тц1у(к) называют поляризационным оператором. Класси- фицируя диаграммы по числу содержащихся в них компактных частей, можно представить точный пропагатор V^ в виде ряда где каждому заштрихованному кружку сопоставляется Аналитически этот ряд запишется в виде V = D + D—D + D—D—D + ... = 4тг 4тг 4тг (тензорные индексы для краткости опущены). Но ряд в квадрат- ных скобках вновь совпадает с рядом для Т). Поэтому имеем l^pv{k). A03.13) 4тг Умножив это равенство слева на обратный тензор (D~1)T^i и снрава на {7)~1)иа (и изменив обозначения индексов), получим его в эквивалентном виде: ^ = Drf - ^-. A03.14) Подчеркнем, что представление V в виде A03.12) подразуме- вает, что из диаграмм можно выделить более простые блоки, ко- торые вычисляются по общим правилам диаграммной техники. Комбинируя такие блоки друг с другом, мы получим правильные выражения для диаграмм в целом. Допустимость такого разде- ления составляет важную и отнюдь не тривиальную) особенность § 103 ТОЧНЫЙ ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР 517 диаграммной техники. Она связана с тем, что общий числовой коэффициент в диаграмме не зависит от ее порядка. Это же свойство позволяет использовать функцию D (если она известна) для упрощения вычислений радиационных попра- вок к амплитудам различных процессов рассеяния: вместо того, чтобы рассматривать каждый раз заново диаграммы с различ- ными поправками к внутренним фотонным линиям, мы можем просто заменить эти линии жирными, т. е. сопоставить им про- пагаторы D (вместо D), взяв их в требуемом приближении. Если фотонная линия отвечает реальному (а не виртуально- му) фотону, т. е. если она является внешним концом диаграммы в целом, то после введения в нее всех собственно-энергетических поправок мы получим, как говорят, эффективную внешнюю ли- нию. Ей отвечает выражение, отличающееся от A03.13) заменой множителя D поляризационной амплитудой реального фотона: ^ A03.15) Если же речь идет о линии внешнего поля, то вместо е^ здесь надо писать А^ . Все сказанное в § 76 относительно тензорной структуры и ка- либровочной неоднозначности приближенного пропагатора D^ относится и к точной функции V^y. Оставаясь в рамках реляти- вистски инвариантных представлений этой функции, напишем ее общий вид в форме ^ *^) \^; A03.16) первый член отвечает калибровке Ландау, а во втором члене Т>^ — калибровочно-произвольная функция. Аналогичное пред- ставление приближенного пропагатора : ^k-^. A03.17) Заметим теперь, что продольная часть пропагатора связана с не имеющей физического смысла продольной частью 4-потенци- ала и не участвует во взаимодействии. Поэтому взаимодействие не меняет ее, так что должно быть V®(k2) = D®(k2). A03.18) Обратные тензоры, по определению, удовлетворяют равен- ствам X>~lVXy — 5х D~lDXy — 5х Определение D^ в этой формуле не совпадает с определением в G6.3). 518 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI Для прямых тензоров A03.16) и A03.17) обратные тензоры с учетом A03.18) имеют вид Т)—]-(ь.\ 1 (а- к^ку \ 1 к^ку Л Л A03-19) Из этих формул следует, что поляризационный оператор пред- ставляет собой поперечный тензор: V»u = V{k2) (g^ - ^), A03.20) причем V = к2 — Атг/V или V(k2) = — . A03.21) v } k2[l-V(k2)/k2] v J Таким образом, поляризационный оператор является (в отличие от самого фотонного пропагатора) калибровочно-инвариантной величиной.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Точный фотонный пропагатор» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 