Излучение фотона электроном в поле интенсивной электромагнитной волны
Применимость теории возмущений к процессам взаимодей- ствия электрона с полем излучения предполагает (помимо мало- сти константы взаимодействия а) также достаточную слабость этого поля. Если а —амплитуда классического 4-потенциала по- ля электромагнитной волны, то характерной величиной в этом смысле является безразмерное инвариантное отношение f = ел/l - а2/т. A01.1) В этом параграфе мы рассмотрим процессы излучения, воз- никающие при взаимодействии электрона с полем сильной элек- тромагнитной волны, для которой ? может иметь любое значе- ние. Применяемый метод основан на точном учете этого взаимо- действия; взаимодействие же электрона с новыми испускаемыми фотонами может по-прежнему рассматриваться как малое воз- мущение (Л. И. Никишов, В. И. Ритус, 1964). Рассмотрим монохроматическую плоскую волну, для опреде- ленности циркулярно поляризованную. Ее 4-потенциал напишем в виде А = а\ cos if + d2 sin^, ср = kx, A01.2) где k^ = (о;, k) —волновой 4-вектор (k2 = 0), а 4-амплитуды а\ и п2 одинаковы по величине и взаимно ортогональны: а\ = а\ = а2, а\п2 = 0. х) Числовая ошибка исправлена Л. Б. Окунем A953). 502 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Будем предполагать потенциал калиброванным условием Лорен- ца, так что а\к = с^А; = 0. Точная волновая функция для электрона в поле произволь- ной плоской электромагнитной волны была найдена в § 40 (см. формулы D0.7),D0.8)). Изменим, однако, ее нормировку: потребуем, чтобы фр отвечала равной единице средней простран- ственной плотности числа частиц, — подобно тому как мы нор- мируем волновые функции свободных частиц на одну частицу в единичном объеме. Поскольку для функции D0.7) средняя плот- ность равна j'q = qo/poi для получения требуемой нормировки надо умножить ее на д/ро/G(Ь т- е- заменить в D0.7) множитель 1/у/2ро на l/y/2qo. Для волны с 4-потенциалом A01.2) получим Фр = { ^y Г • (dip) • . • (а,2р) • 1 (лс\л о\ х ехр< — ге-—— simp + ге-—— cosip — iqx >, A01.3) I (kP) (kp) ) simp + ге (kP) (kp) где Согласно D0.14) 4-вектор q — средний кинетический 4-импульс электрона; будем называть его квазиимпульсом. Элемент ^-матрицы для перехода электрона из состояния фр в состояние *фрг с излучением фотона с 4-импульсом к^ = (о;7, к7) и 4-вектором поляризации е1: Sfi = -iej^p,{ie'*)i^p^dAx. A01.5) Подынтегральное выражение в A01.5) представляет собой ли- нейную комбинацию величин Г1' ехр(—га\ sin (р + iot2 cos ф) • < cos (p, где )^ a2 e( (кр) {kp'))' \{kp) {kp') Вместе со множ:ителем ещ>[г(кг-\-pf — р)х] эти величины выделяют всю зависимость подынтегрального выражения от х. § 101 ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ 503 Разложим их в ряды Фурье, обозначив коэффициенты раз- ложения соответственно Bs, B\s, i?2s> например: ехр(—ia\ sin cp + га2 cos ф) = оо
= expf — iJa\ + a?,sm((p — sin<pi) J Bse~tS(p. Эти коэффициенты выражаются через функции Бесселя соглас- но формулам: В8 = Ви = i[ B2s = l:[ где z = уfa\ + a|, cos^o = «2/^5 sin^o = «2/^- Функции ,BS, -Sis? ^2s связаны меж:ду собой соотношением = sBs, A01.8) которое является следствием известного соотношения для функ- ций Бесселя: Js_1(z) + Js+1(z)=2sJs(z)/z. В результате матричный элемент A01.5) приобретает вид Sfi = У M{f)B^)ii8(i\sk + q-q' -к'); A01.9) довольно громоздкие выражения для амплитуд MV мы не ста- нем здесь выписывать. Таким образом, Sfi представляет собой бесконечную сумму членов, каждому из которых соответствует закон сохранения sk + q = q' + kr. A01.10) Поскольку g2 = q'2 = m2(l + ^2) = ml A01.11) (ср. D0.15)), а к2 = к' =0, то равенство A01.10) возможно лишь для 5^1. 5-й член суммы описывает излучение фотона к' за счет поглощения из волны s фотонов с 4-импульсами к. Из вида равенства A01.10) очевидно, что все кинематические соотноше- ния, имевшие место для эффекта Комптона, будут относиться к рассматриваемым процессам, если заменить импульсы электрона квазиимпульсами д, а импульс падающего фотона — 4-вектором 504 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X sk. В частности, для частоты излучаемого фотона в системе от- счета, где электрон в среднем покоится (q = 0, qo = ^*), имеем и = , A01.12) l + (su;/m*)(l-cos0) где в — угол между кик7 (ср. (86.8)). Можно сказать, что ча- стоты ио' являются гармониками частоты ио. В принятых нами обозначениях (§ 64) амплитуда процесса излучения s-й гармони- ки совпадает с M[V, а выражение dWs = \M\f\2 ^^ BтгL^4)E?; + q - q' - к') A01.13) дает соответствующую дифференциальную вероятность (отне- сенную к единице времени) . Структура амплитуд М$ подобна структуре амплитуд рас- сеяния с плоскими волнами: п(р') ... и(р). Поэтому и операции суммирования по поляризациям частиц производятся обычным образом. После суммирования по поляризациям конечных элек- трона и фотона и усреднения по поляризациям начального элек- трона получается ¦,Jjr e2m2 dskfdsqf rD) / 7 . / i/\ dWs = —5{)(sk + q — q — к ) " \ A01.14) Для интегрирования этого выраж:ения замечаем, что ввиду аксиальной симметрии поля циркулярно поляризованной волны дифференциальная вероятность не зависит от общего азимуталь- ного угла (р вокруг направления к. Вместе с наличием 8-фуик- ции это обстоятельство дает возможность произвести интегри- рование по всем переменным, кроме одной; в качестве последней выберем инвариантную величину и = (kkf)/(kpf). Тогда после интегрирования по d3k d(pd(qf0 + ио') имеем г(ал / 7 i / 1 i\d q d к 5У }(sk + q — q — к) —^ q'ow' (l + uJ ) Обратим внимание на то, что нормировка функций фр на единич- ную плотность отвечает нормировке на ^-функцию «по шкале q/B7r)» (ср. D0.17), где множитель qo/po в правой части равенства будет теперь отсутствовать). Именно поэтому число конечных состояния электрона дол- жно измеряться элементом d q /Bтг) . § 101 ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ 505 Действительно, в системе центра инерции (система, в которой sk + q = q7 + k7 = 0) указанное интегрирование дает 27r|q/|dcos#/i?s, где Es = suo + go = ш' + qfOl а в — угол между k и q7 (ср. преобразование F4.12)). С другой стороны, в этой же системе Es л л п Esdu и = - - 1, асоъв = — —. qf0-\4'\cos6 Интервалу — 1 ^ cos в ^ 1 соответствует интервал mi mj (при преобразованиях следует помнить, что (кр) = (kq)). Таким образом, полная вероятность излучения в единицу вре- мени s=l Us е2т2 A01.15) где {кр')' тУ A01.16) При ? ^С 1 (условие применимости теории возмущений) подын- тегральные выражения в A01.15) могут быть разложены по сте- пеням ?. Так, для первого члена разложения в W\ получается 2 А Г2 + _^_ _ 4JL Л _ Ml du 0 = ?W 2 А Г2 + _^_ _ 4JL Л _ 4 У L 1+ V гл _ ± _ A ^ ± A) lnA + ttl) +1 + А _, 4р0 S LV mi «f/ V U 2 mi 2A + miJJ' A01.17) ) Для вычисления z надо заметить предварительно, что ~ (kq) (kq')' В этом легко убедиться, выбрав систему отсчета, в которой (ai)o = («2H = = 0, а векторы ai, a2, k направлены по осям ж1, ж2, ж3, и заметив, что в силу kQ = 0 будет Qo = Q3- 506 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X причем и\ ~ 2(кр)/т?. Как и должно быть, этот результат сов- падает с формулой Клейна— Нишины для рассеяния фотона на электроне: положив в A01.17) —а2 = 4тг/о;, ?2 = 4тге2/(т2ио) и разделив на плотность падающего потока F4.14), мы вернемся к (86.16) (интегральное сечение рассеяния не зависит от начальной поляризации фотона) г) . Приведем также выражение для вероятности испускания вто- рой гармоники (первый член разложения W2 при ? <С 1): «2 PO J (l+uJU2\ U2 U2 0 u\ Л4Л Вообще, основной член в Vl^ (при не слишком больших s) про- порционален ?2s. Остановимся теперь на противоположном случае: ? ^> 1. Па- раметр ? можно сделать большим, например, путем уменьшения частоты оо при фиксированной напряженности поля (очевидно, что ? = eF/(muiI где i7" — амплитуда напряженности поля). По- этому ясно, что случай ? ^> 1 по существу сводится к процессам в постоянном однородном поле, напряженности Е и Н которого взаимно перпендикулярны и равны по величине (назовем услов- но такое поле скрещенным). Вероятность излучения в этом поле можно получить предельным переходом ? —>• оо, но проще произ- вести вычисления сразу для постоянного поля, взяв 4-потенциал в виде А^ = a^ip, <p = kx, ak = 0 A01.19) (так что F^y = к^ау — куа^ = const). Точная волновая функ- ция электрона в этом поле получается подстановкой A01.19) в D0.7),D0.8): / \л i G^)Gа) 1 и(р) г • (аР) 2 , • 2 о2 L 2(кр) J V2po 2(кр) 6(кр) A01.20) Получающийся с помощью этой функции результат является точным для излучения электрона в скрещенном поле при любой энергии электрона. Но в ультрарелятивистском случае этот ре- зультат (при надлежащей форме его представления —см. ниже) Указанное значение а2 отвечает нормировке 4-потенциала на один фо- тон в единичном объеме. Для его определения надо приравнять и энергии классического поля с (вещественным) 4-потенциалом A01.2). § 101 ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ 507 относится к излучению электрона не только в скрещенном, но и во всяком постоянном однородном электромагнитном поле, в том числе в постоянном магнитном поле (которое было рассмотрено в § 90). Для формулировки этого утверждения заметим, что состоя- ние частицы в произвольном постоянном однородном поле опре- деляется столькими же квантовыми числами, что и состояние свободной частицы, и эти квантовые числа всегда можно вы- брать так, чтобы при выключении поля они переходили в кван- товые числа свободной частицы, т. е. в ее 4-импульс р^(р2 = т2). Таким образом, состояние частицы в постоянном поле будет опи- сываться постоянным 4-вектором р. Полная интенсивность излучения, будучи инвариантной ве- личиной, зависит лишь от инвариантов, которые можно соста- вить из постоянных 4-тензора F^v и 4-вектора^. Учитывая так- же, что F^y должен входить в интенсивность только вместе с зарядом е, получаем три безразмерных инварианта: х2 = -4(VJ = -4«2(м2, / = !%?, 2 т т A01.21) д = ±-ex,vpF^F^. т4 В скрещенном поле / = д = 0, в то время как в общем слу- чае отличны от нуля все три инварианта. Но если электрон — ультрарелятивистский (ро <С т), а вектор р составляет с по- лями Е, Н углы в ^> га/_ро, to х2 ^ /? 9 (другими словами, для ультрарелятивистской частицы почти для всех направлений р любое постоянное поле выглядит как скрещенное). Если, кро- ме того, напряженности поля |Е|, |Н| <С т2 /е (= m2c3/(e/i), то |/|, \д\ <^1Х) . В этих условиях интенсивность, вычисленная для скрещенного поля и выраженная через инвариант %, будет отно- ситься также к излучению во всяком постоянном поле. Инвариант х выражается через напряженности Е, Н соглас- но 2 Для постоянного магнитного поля х совпадает с введенной в § 90 величиной (90.3), так что изложенные здесь соображения дают другой способ получения результатов § 90 2) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Излучение фотона электроном в поле интенсивной электромагнитной волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 