Образование электрон-позитронной пары при столкновении фотона с ядром (Z + j —>> Z + е~ + е+) и тормозное излучение Напомним, что длина пробега определяется транспортным сечением сгТр = /A — cosx)cfcr(x). Для рассеяния ультрарелятивистских электронов на кулоновом центре сечение da(x) дается формулой (80.10). 460 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X при столкновении электрона с ядром (Z + е~ —>• Z + е+7) —Два перекрестных канала одной и той же реакции. В § 91 были уже сформулированы правила, по которым преобразуются формулы при переходе от второго из этих случаев к первому. В данном случае, применив эти правила к формуле (93.8), получим следу- ющее выражение для дифференциального сечения образования пары неполяризованным фотоном, усредненное по поляризаци- ям компонент пары : 7 ZOirt mp+P-dS • л 7Л ' Л 7Л 7 da = —?±? sin0+d0+ smв-d6-dip x 2тг usq4 х DDе2_ - q2) sin2 в+ + v\{\e\ - q2) sin2 в. - B4 + 26^ - g2) sin0+ sin0_ cos yp}, (94.1) ус± = е± — р± cos 0±, q2 = (р+ + р_ — кJ, ?+ + ?_ = о; (Я. Л. ?ейе; Ж. Яей/ег; 1934). Таким же преобразованием получим из (93.9) распределение компонент пары по энергиям: da?+ = Z2c р+р_ ?-- p% т*и (j е+е- -р\ , у g+g_ -p^ fc+ „я "^ fc- „я )]}. — р± Поскольку полученные формулы основаны на борновском при- ближении, они справедливы при условиях Ze2/v± <^ 1. Отме- тим, что симметричность формул (94.1),(94.2) по отношению к электрону и позитрону является следствием именно борновского приближения; она исчезла бы в более высоких приближениях. :)О поляризационных эффектах в образовании пар фотоном см. ту же литературу, которая была указана в § 93 для тормозного излучения. § 94 ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ФОТОНОМ В ПОЛЕ ЯДРА 461 В ультрарелятивистском случае (е± ^> га) электрон и пози- трон вылетают под углами в± ~ т/е± к направлению падающего фотона. Угловое распределение дается формулой, аналогичной (93.13): 51 _ + ^ 51±51 + ! 2s+s_ A + <Я_)A + 6_) fe ^)(irt^fe}-<*+<"-^ (94-3) причем 2 (l±i l±ii) i- = 8l + 82_- 28+8. cos <^ + m2 (l±i± + l±ii) . (94.4) Распределение по энергиям в этом случае: (94.5) Интегрирование этого выраж:ения по ?+ (в пределах от га до о;) дает полное сечение образования пар фотоном заданной энер- а = —а 2cj 109\ ^ /П/|м --— J, о;» га. (94.6) Как и для тормозного излучения, логарифмический член в сечении в ультрарелятивистском случае происходит от области значений q ~ m /е. Этому соответствуют теперь углы, для ко- торых (вместо if < т/е в (93.15)). Таким образом, в логарифмическом приближении направления электрона и позитрона образуют об- ратно пропорциональные энергиям частиц малые углы с направ- лением фотона и лежат почти в одной плоскости с последним, но по разные стороны от него. Вблизи порога реакции (ио —>> 2т) борновское приближение неприменимо. Вывод количественной формулы в этом случае требовал бы точного учета кулонова взаимодействия трех заря- женных частиц, имеющихся в конечном состоянии (ядро и па- ра). Симметрия по отношению к электрону (притягивающемуся 1) Ввиду сходимости интеграла у обоих пределов неприменимость форму- лы (94.5) при малых е± — т несущественна. 462 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X к ядру) и к позитрону (отталкивающемуся от ядра) при этом, конечно, исчезает. Если (94.7) то борновское приближение еще применимо. При нерелятивист- ских энергиях пары со ~ 2га ^> р±, поэтому q ~ со. В (94.1) можно положить везде е± = н± = га, со = 2га, после чего эта формула сводится к выражению о о sin2 6+ + р2_ sin2 6_)do+do-d,?+. (94.8) da = ^г1е±Е^^ 64тг2 m5 После интегрирования по углам da = 1-Z2 2Z2ar2P , (ш - 2m)J(?+ - т)(е- - m)d?+. (94.9) 3m3 Наконец, интегрируя по ?+ (в пределах от га до со — га), по- лучаем полное сечение Если относительная скорость г>о компонент рождающейся пары мала, то необходимо учесть их кулоново взаимодействие друг с другом (А. Д. Сахаров, 1948). Оно становится существенным, когда г>о порядка (или меньше) скорости частицы в связанном состоянии электрона и позитрона (позитроний): ^о < а. (94.11) Рассмотрим процесс в системе центра инерции пары. На диа- граммах, изображающих процесс в этой системе, существенны виртуальные импульсы ~ га. Другими словами, существенны расстояния между электроном и позитроном ~ 1/га. Между тем волновая функция их относительного движения ф(г) существен- но меняется лишь на расстояниях г ~ 1/(гаг>о) ~ 1/(гаа), т. е. больших по сравнению с 1/га. Поэтому учет взаимодействия ча- стиц сведется к появлению в матричном элементе перехода мно- жителя ф* @). Соответственно дифференциальное сечение умно- жится на |^*@)|2, т. е. на 27ra/vo (94.12) 1 _ е-2тга/у0 Ч J § 95 ТЕОРИЯ РОЖДЕНИЯ ПАР. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 463 (см. III, A36.11)). Относительная скорость двух частиц есть ско- рость одной из них в системе покоя другой. Сравнив значения инварианта р+^р^ в этой системе и в лабораторной системе (си- стеме покоя ядра), получим =?+?_ -Р+Р-, откуда можно найти vq. Если р+ и р_ близки к друг к другу по абсолютному значению и направлению, то для vq получается приближенная формула применимая при vq <^i 1; р = (р+ + р_)/2, е = (б+ + ?-)/2, # — угол между р+ и р_. Поправка в сечении, определяемая формулами (94.12), (94.13), приводит к появлению аномалии в корреляции между импульсами рождаемых электрона и позитрона: узкому макси- муму при р+ « р_.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Образование пар фотоном в поле ядра» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Напомним, что длина пробега определяется транспортным сечением 