Тормозное излучение электрона на ядре. Нерелятивистский случай
Этот и несколько следующих параграфов посвящены важно- му явлению тормозного излучения, сопровождающего столкно- вения частиц. Начнем с нерелятивистского столкновения элек- трона с ядром. Будем считать, что ядро остается неподвижным, т. е. рассмотрим излучение при рассеянии электрона в кулоновом поле неподвижного центра (A. Sommerfeld, 1931). Исходим из формулы D5.5) для вероятности дипольного из- лучения dw = — \e*dfi\2dok. (92.1) В данном случае начальное и конечное состояния электрона от- носятся к непрерывному спектру, а частота фотона ^ = -^(р2-Р'2), (92.2) 2ш где р = mv ир' = mv7 — начальный и конечный импульсы элек- трона. Если начальная и конечная волновые функции электрона нормированы на одну частицу в объеме V = 1, то выражение § 92 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 437 (92.1), умноженное на d?p'/BтгK и деленное на плотность пада- ющего потока, v/V = v, даст сечение dakpf излучения фотона к в телесный угол dok с рассеянием электрона в интервал состояний d3pf. Заменив матричный элемент дипольного момента d = ег матричным элементом импульса согласно , 1 е dfi = Р/Ь гш т запишем выражение для сечения в виде 2 BттLтр где Р/г = / ф}pфid3x = -г / ф)Чфг<Рх. В качестве ^ и ^j надо воспользоваться точными волновыми функциями в кулоновом поле притяжения, причем теми функци- ями, которые асимптотически содержат в себе плоскую и сфери- ческую волны; в ф$ сферическая волна должна быть сходящейся, а в ф{—расходящейся (см. III, § 136). Эти функции имеют вид / л шг 7-1 /• -1 • / \ \ Zc ТП on • — /л . puirL hi I qi у о I пглгр — TIT* I I IJ — * p2 (92.4) ф* = Afeip'rF{-iv\ 1, -i{p'r + р'г)), и' = ^^ p' с нормировочными коэффициентами Ai = enu/2T(l - iu), Af = епи'/2ГA + iu'). (92.5) Заметив, что VF(iu, 1, i(pr - pr)) = « (pT- - p) F' = -p-(?f) , запишем V^z в виде v При умножении на ф% и интегрировании первый член обращает- ся в нуль ввиду ортогональности ф^ ъф$. Поэтому для матрич- ного элемента pfi имеем P/i = iAiAfp^-, (92.6) где j = I1 €^Lf{%v', 1, «(р'г + p'r))F(iv, 1, i(pr - рг))^3ж, (92.7) q = p' - p. В этом параграфе обозначаем р = |р|, // = |р7 . 438 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Мы вынесли д/др из-под знака интеграла, подразумевая, что при дифференцировании J величины v^ и1\ q должны рассма- триваться как независимые параметры и лишь после проведения дифференцирования следует выразить v и q через р. Интеграл вычисляется путем замены каждой из вырожден- ных гипергеометрических функций их выражениями в виде кон- турных интегралов. Мы приведем здесь лишь результат : J = BF(iv', iv, I, z), В = 4ne-™(-q2 - 2qp)-^(q2 - 2qp/)"il//(q z _ pq2^ + ppO - 2(qp)(qp/) Здесь F{ii>', iv^ 1, z)—полная гипергеометрическая функция. После дифференцирования в (92.6) можно положить q = р7 — — р; при этом ^^ q {pp){) (99) (р-рО2 (z < 0). Отметим такж:е, что -q2 - 2qp = q2 - 2qp7 = p2 - p/2 > 0. В результате находим для матричного элемента следующее окон- чательное выражение: x A - zY^^-^iupqFiz) + A - z)Ff(z)(pfp-pp% (92.10) где для краткости обозначено F(z) =F(ivf,iv, 1, z). (92.11) Сечение получается подстановкой (92.10) в (92.3), но общая формула очень громоздка и трудно обозрима. Поэтому мы сра- зу перейдем к вычислению спектрального распределения излу- чения, т. е. проинтегрируем сечение по направлениям фотона и конечного электрона. Интегрирование по do\z и суммирование по поляризациям фо- тона сводится к усреднению по всем направлениям е и умноже- нию на 2 • 4тг, т. е. к замене 8тг г- >> -—oik. о После этого сечение <*<V = ^—Pfi T^i = т-^Pfi dudopf. 92.12 Зтр BтгK 6тг3р ^Вычисления см. Nordsieck A.//Phys. Rev. — 1954. — V. 93.—P. 785. § 92 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 439 Квадрат |р/г|2 вычисляем, используя (92.9)—(92.11) и учитывая, что Г A-ги J = Получаем . (92.13) Для интегрирования сечения (92.12) dopr = 2тг sini?rfi? перей- дем от переменной $ (угол рассеяния) к переменной 2РР /-, Q\ 7 7Г(Р — Р'J 7 (Р — Р'J РР' Чтобы взять интеграл по dz, преобразуем выражение в фигур- ных скобках в (92.13). Согласно дифференциальному уравнению гипергеометрических функций (см. III, (е. 2)) имеем 2A - z)F" + [1 - A + iv + iv')z\F' + vvF = О, 2A - z)F"* + [l-(l-iu- iu')z]Fr* + uu'F* = 0. Умножив эти два уравнения соответственно на F* и^и сложив их, получим A _ z) \*-z(F'F* + F7*F) - 2z\Ff\2 + Vdz + %\У ~г ^ )Z / 771/* 771 1 771/ 77'*\ 1 ?VV 771 2 r\ 1-z V У 1-^ J Отсюда видно, что выражение в фигурных скобках в (92.13) рав- но 1 , {---} = ^(^^+^^) (92Л4) и интегрируется непосредственно. Собрав полученные формулы, найдем окончательное выраже- ние для сечения тормозного излучения в интервале частот duo x) 7 64тг2 у2 2 т2с2 р 1 ( d \тр(с\\2\ duj 3 е (р — р'J р A — e~27TU')(e27TU — 1) у с/^ у cj (92.15) где Zamc Ze2 , Ze2 , ^= = —, v=-—, Р = ) Формулы (92.15)—(92.25) пишем в обычных единицах. 440 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Рассмотрим предельный случай, когда обе скорости v и vf на- столько велики, что v <С 1, ь>' <С 1 (но, разумеется, по-прежнему v < 1, так что Za < i/ < 1; это возможно лишь для малого Z). Для вычисления в этом случае производной Ff(^)) воспользуемся формулой ±F(a, /?, 7, z) = ^F(a + 1, /3 + 1, 7 + 1, *), az 7 которую легко получить простым дифференцированием гипер- геометрического ряда. Имеем F'@ = iv ¦ ii/F(l, 1, 2,0 = y HI ~ 0 (последнее равенство очевидно из прямого сравнения соответ- ствующих рядов). Для самой же функции F(?) имеем просто F@ « ^@, О, 1, О = 1- В результате из (92.15) находим л 16 г?2 2 с2 л v + v' duo Ze2 .. л Ze1 .. л /по л п\ йош = —Zzari— In -—, -— < 1, — < 1. (92.16) 3 v^ v — v' uj nv nv' Малость v и v1 есть как раз условие применимости борнов- ского приближения в случае кулонова взаимодействия. Поэтому саму по себе формулу (92.16) проще получить непосредственно с помощью теории возмущений (см. задачу 1). Пусть теперь быстрый (г/< 1) электрон теряет на излучение значительную долю своей энергии, так что v' ^C v и z/ может быть не малым. Тогда -С и 4р'/р = 4z//z/ « 1, F@ « ^(^', 0, 1, О = 1, (92.17) f«i, |4i- При uf ^ 1 эта формула дает такое ж:е предельное выражение , 32V2 2c2v'dw 3 vs uj как и формула (92.16) при vf ^C ^.Поэтому формулы (92.16), (92.17) вместе перекрывают (при v ^C 1) весь диапазон значе- ний v1. У, 1, 2, и сечение § 92 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 441 При ио —>> ujq (где Hujq = mv2/2) скорость г/ —>> 0 и z/ —>> оо. В этом пределе (92.17) дает dGu = ™lZ3a2r2e ('У **?-. (92.18) 3 \v/ mv2 Таким образом, da^/dco стремится при ш-Уцк конечному пре- делу. Это обстоятельство можно обосновать в общем виде со- ображениями, аналогичными изложенным в т. III, § 147. Физи- чески оно связано с тем, что частота со = ljq является границей лишь непрерывного тормозного спектра. Электрон может излу- чить также и частоту uj > ljq, перейдя в связанное состояние. Но сильно возбужденные связанные состояния в кулоновом по- ле по своим свойствам мало отличаются от близких к их границе свободных состояний. Поэтому граница, отделяющая непрерыв- ный спектр от дискретного, по существу не является физически выделенной точкой. Перейдем к случаю, когда оба параметра z/, z/ ^> 1. В этом случае движение как начального, так и конечного электронов квазиклассично. Мы будем считать, что р2/Bт) ~ fvuj\ тогда нам понадобится асимптотическое выражение для функции t _ q ^ _ 1 F(?) при v, v1 —)> оо и ^ ~ 1 (более точное б ф (?) р , ^ ( условие будет сформулировано ниже, см. Рис. 17 (92.24)). Для получения этого выражения исходим из интегрального представления гипергеометрической функции (е. 3) (см. III), ко- торое запишем в виде F(ir,i/, ii/, I, 0 = t^ с (92.19) где введено обозначение г) = z//z/, 0 < г/ < 1, так что ^ = -77^- (92'2°) (lT/J В качестве же контура интегрирования выбираем показанный на рис. 17 путь, проходящий вдоль отрезка вещественной оси и обходящий точки ? = 0и?=1 :). ) Для гипергеометрической функции F(a, /3, 7? О контур должен быть выбран так, чтобы при его обходе функция V{t) = etta-1+\t-lf-a возвращалась к исходному значению. При целом j (в данном случае 7 = 1) указанный контур этому условию удовлетворяет. 442 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X При v^ z/ ^> 1 значение подынтегрального выражения на нижней части этого контура мало и им можно пренебречь: при обходе точки t = 0 сверху вниз подынтегральное выражение умножается на малый множитель ехр(—2тгг/^/), а при обходе точ- ки t = 1 снизу вверх оно умножается на ехрBтг7/г/). Интеграл гЫ *- (92.21) 2тгг вычисляем методом перевала. Перевальная точка to определя- ется условием /'(to) = 0, откуда to = A — TJ)/2. В этой точке, однако, обращается в нуль также и производная /"(to), так что надо писать где г/, \ о I -/1 I \ 1 1 — 77 1 /•/// /i \ 16Г7 /(to) = Z7T?7 + гA + г?) In -, a=—f (to) = —. 1 + ц 2г A — т/2J Предэкспоненциальный же множитель l/t в подынтегральном выраж:ении пишем в виде t to t0 (ограничиться членом I/to здесь нельзя, так как это привело бы к обращению в нуль фигурирующей в (92.15) производной с/|.Р(?)|2/d?). Таким образом, находим, после очевидной подста- новки в интегралах, х - / е^ '"dx+ , , \_,„ I xeixS/ _ —сю —ос Интегралы здесь равны соответственно сю сю 2 о о (92.22) сю сю [CO8^dx = ———, 2 [xsm — ^ = J з з2/згB/з) уз Аналогичным образом вычисляется производная F'(?), согласно (92.19) она дается интегралом, отличающимся от (92.21) лишь § 92 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 443 заменой предэкспоненциального множителя I/it на v1 /{I — ??). После этого простое вычисление приводит к результату Наконец, подставив это выражение в формулу (92.15), най- дем, с требуемой точностью, следующий простой результат: 16тг Условие применимости этой формулы, т. е. условие применимо- сти асимптотического выражения (92.23), состоит в требовании малости в последнем второго члена по сравнению с первым: A — — r\)v ^> 1, или после выражения параметров гипергеометриче- ской функции через физические величины: о;» JLTOtL. (92.24) Ze1 2 Условие (92.24) совпадает с условием, определяющим «высо- кочастотный предел» при классическом излучении в кулоновом поле притяжения, а величина Huda^ с dau из (92.23) совпадает с выражением G0.22) (см. II) для «эффективного торможения» в этом пределе. Этот результат нуждается в некотором обсу- ждении. Может показаться, что для применимости классической формулы излучения требуется, кроме квазиклассичности движе- ния, также и малость энергии кванта по сравнению с энергией электрона, т. е. условие Ни <С тг>2/2, что не предполагалось при выводе (92.23). В действительности, однако, значение Ни должно быть мало не но сравнению с энергией электрона на бесконечно- сти, а по сравнению с его кинетической энергией на том участке траектории, где в основном происходит излучение. Эта энергия гораздо больше начальной из-за ускорения электрона в поле ио- на. Действительно, излучение высоких частот происходит в ос- новном на малых расстояниях от иона, где v®/r ~ и. (92.25) (Мы обозначили через v® скорость электрона на расстоянии г от иона, в отличие от скорости v на бесконечности.) Учитывая, что при этом Ze2/r ~ mv2®, находим, что кинетическая энер- гия на участке, где происходит излучение: mv2® ^ т fuZ?\ 2/3 _ rnv^ fujZe^\ 2/3 mv^ 2 ~ 2 V га ) ~ 2 V mv3 ) 2 Поэтому излучение даже кванта с энергией порядка mv2/2 не меняет существенно движения на участке излучения и дополни- тельного условия малости Ни не требуется. 444 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Отметим также, что движение на участке (92.25) при задан- ным моменте импульса Ш не зависит от начальной энергии. Со- ответственно и энергия, излучаемая при пролете по траектории (обозначаемая в II, § 70 как d?UJI зависит только от /. Сечение ddu можно получить, умножая вероятность излучения d?UJ/fiuo на 2npdp (р — прицельное расстояние) и интегрируя по всем р. Поскольку в квазиклассическом случае pdp = H2ldl/(m2v2), это приводит к зависимости dau = l/^2, соответствующей (92.23). Приведенное рассуждение объясняет, почему в эту фор- мулу входит именно начальная (а не конечная) скорость элек- трона. Для того чтобы перейти к классическим формулам во всей области A — 7/)z/ ~ I, z/ 3> 1, надо было бы найти асимптотику, гипергеометрической функции в условиях близости перевальной точки к особой точке t = 0; мы не будем останавливаться здесь на этом ввиду очевидности окончательного результата. Все написанные формулы относятся к кулонову полю притя- жения. Сечение излучения в поле отталкивания получается из (92.15) заменой: v —>> —v, z/ —>> — z/. При этом, в частности, пре- дельная борновская формула (92.16) вообще не меняется. В пре- деле же: ^< 1, z/ —>• оо получим вместо (92.18) <1аш = 1-^Lz3a2r2e f^'exp (_^Щ^Л ^ (92.26) 3 \v/ \ ^h{ujQ—u)J mv2 т. е. дифференциальное сечение стремится при ио —>> ujq к нулю по экспоненциальному закону. Этот результат снова естествен; в поле отталкивания связанные состояния отсутствуют и частота ио = ooq является истинной границей спектра излучения.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Тормозное излучение электрона на ядре. Нерелятивистский случай» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
