В силу сохранения импульса аннигиляция электрона и по- зитрона в позитронии должна сопровождаться испусканием по крайней мере двух фотонов. Такой распад, однако, возможен (в основном состоянии) только для парапозитрония. В § 9 было по- казано, что полный момент системы двух фотонов не может быть равен 1. Поэтому ортопозитроний, находящийся в состоянии 3<Si, не может распасться на два фотона. Более того, поскольку в со- стоянии 3S\ позитроний представляет собой зарядово-нечетную систему (см. задачу к § 27), то в силу теоремы Фарри (см. § 79) невозможен его распад и вообще на любое четное число фотонов. Напротив, в состоянии 1Sq позитроний зарядово-четен, и пото- му запрещен распад парапозитрония на любое нечетное число фотонов. § 89 АННИГИЛЯЦИЯ ПОЗИТРОНИЯ 419 Основным процессом, определяющим время жизни позитро- ния, является, таким образом, двухфотонная аннигиляция в слу- чае парапозитрония и трехфотонная аннигиляция в случае ор- топозитрония (И. Я. Померанчук, 1948). Вероятность распада можно связать с сечением аннигиляции свободной пары. Импульсы электрона и позитрона в позитронии ~ те2/Н, т. е. малы по сравнению с тс. Поэтому при вычислении вероятности аннигиляции можно перейти к пределу двух частиц, покоящих- ся в начале координат. Пусть а27 — сечение двухфотонной анни- гиляции свободной пары, усредненное по направлениям спинов обеих частиц. В нерелятивистском пределе, согласно (88.11) , ^)Ч (89.1) тс2 J v где v — относительная скорость частиц. Мы получим вероятность аннигиляции г^; умножив сг27 на плотность потока, равную v\ip(O)|2. Здесь ф(г))—нормированная на 1 волновая функция основного состояния позитрония: ф(г) = -^=е-г'а, а = ^-2 (89.2) /3 те2 2 те2 (боровский радиус позитрония а в два раза больше радиуса ато- ма водорода из-за вдвое меньшей приведенной массы). Эта веро- ятность, однако, отвечает усредненному по спинам начальному состоянию. Между тем в позитронии из четырех возможных спи- новых состоянии системы двух частиц способно к двухфотонной аннигиляции лишь одно (с полным спином 0). Поэтому средняя вероятность распада гЙ27 связана с вероятностью распада пара- позитрония г^о соотношением W2j = wo/^- Таким образом, wo = 4\^(O)\2(va2^v^o. (89.3) Подставив значения величин из (89.1),(89.2), получим для про- должительности жизни парапозитрония т0 = —^— = 1, 23 • 10~10 с. (89.4) тс2а5 Обратим внимание на то, что ширина уровня Fq = H/tq мала по сравнению с его энергией 4 2 Ifr = = тс —. I 0СН1 4/г2 4 Именно это обстоятельство и позволяет рассматривать позитро- ний как квазистационарную систему. ) Формулы (89.1)—(89.7) написаны в обычных единицах. 14* 420 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Аналогичным образом найдем, что вероятность распада ор- топозитрония связана с усредненным по спинам сечением трех- фотонной аннигиляции свободной пары соотношением wi = ^з7 = !№@)|2(гкт37)„-ю (89.5) О О C/х— относительный статистический вес состояния со спином 1). Забегая вперед, укажем, что сг37 = ^-—-<*( —) • 89.6 3v \ тс2 / Поэтому продолжительность жизни ортопозитрония П = —— — = 1,4-ИГ7 с. (89.7) 2(тг2 - 9) mc2aQ ' V J Неравенство Гх <С \Е0Си\ в этом случае, разумеется, выполняется еще в большей степени, чем для парапозитрония. Вычислим сечение трехфотонной аннигиляции свободной па- ры (A. Ore, J. L. Powell, 1949). Согласно F4.18) сечение рассматриваемого процесса в систе- ме центра инерции выражается через квадрат амплитуды фор- мулой (89.? da^ = -——¦———dlki + K2 + k.3)dluji + 002 + ^3 — ^тп) х 4/ Bтт)92ол причем, согласно F4.16), / = 2m—v = m2v, где ^ — относитель- ная скорость позитрона и электрона (которую предполагаем ма- лой); кх, к2, кз и cl>x, 6^2, ^3 — волновые векторы и частоты возникающих фотонов; S-функции выражают законы сохранения энергии и импульса. В силу этих законов три частоты cji, 6^2, ^3 должны изображаться длинами сторон треугольника с перимет- ром 2т. Другими словами, величины импульсов кх, к2, кз и углы между ними полностью определяются заданием двух ча- стот. Трехфотонной аннигиляции отвечают диаграмма ^^ Р- -Р+ и еще пять диаграмм, получающихся перестановкой фотонов &Ъ ^2 ^ ^з- Соответствующую амплитуду запишем в виде Mfi = ^)^ef*e^*e^*u{-p+)Qx^u{p.), (89.9) § 89 АННИГИЛЯЦИЯ ПОЗИТРОНИЯ 421 где q\iw = ^JXG(k3 -p+WG{p- - W, (89.10) пер причем сумма берется по всем перестановкам номеров фотонов 1, 2, 3 вместе с одновременными такими же перестановками соот- ветствующих тензорных индексов \/j,v. Квадрат модуля ампли- туды, усредненный по поляризациям электрона и позитрона и просуммированный по поляризациям фотонов: i J2 \Mft\2 = DтгK Sp {p+Q^p.Q^} , (89.11) поляр где 1 P=~(lP- Матрицы Q отличаются от матриц Q^v обращением порядка множителей в каждом члене суммы. В интересующем нас пре- дельном случае малых скоростей электрона и позитрона можно положить их 3-импульсы р_ и р+ равными нулю, т. е. положить р_ = р+ = (га, 0). Тогда электронные функции Грина G(p_ _ kl) = и т. п., а матрицы плотности сводятся к т / о i 1 \ Р± = уG ±1)- При перемножении в (89.11) возникает большое количество чле- нов. Однако число подлежащих вычислению членов можно силь- но уменьшить, если воспользоваться в полной мере симметрией по отношению к перестановкам фотонов. Так, достаточно пере- множить шесть членов в QXfJjl/ (89.10) лишь с одним каким-либо членом в Q F. В оставшихся, таким образом, шести следах то- же можно выделить некоторые части, переходящие друг в друга при различных перестановках фотонов. Возникающие при рас- крытии следов произведения 4-векторов р, fci, &2, &з выража- ются через частоты o;i5 о^? ^з- Поскольку р = (га, 0), то рк\ = = rao;i, ... Произведения же к\к2, ••• определяются из урав- нения сохранения 4-импульса: 2р = к\ + k<i + к%] так, переписав это равенство в виде 2р — к% = к\ + k<i и возведя его в квадрат, получим кгк2 = 2га(га - о;3), ... (89.12) В результате все же довольно длинного вычисления получа- ется 4 поляр 422 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Подставив это выражение в (89.8), найдем дифференциальное сечение трехфотонной аннигиляции: 7rzmz CJ1CJ2 -2га)- -. (89.13) dasj = Здесь надо еще исключить E-функции. Первая из них устра- няется интегрированием по с/3/сз, после чего заменяем остальные дифференциалы: d3kid3k2 —>> где #12— угол между ki и к^; подразумевается, что уже произ- ведено интегрирование по направлениям ki и азимуту к2 отно- сительно ki. Дифференцируя равенство = у < COS #12, находим rf cos #12 = UJ2, CJ1CJ2 Интегрированием по ио% устраняем вторую E-функцию. В резуль- тате получим сечение для аннигиляции с образованием фотонов с заданными энергиями в виде 1 8е6 Г (т-иоЛ2 , {т - и2\2 , {т-иЛ2\ , , ,QO i7lx , = -—-^ I +l +( >dwiduJ (89.14) 6 vmz к \ uj\UJ2 / V CJ1CJ3 / V CJ2CJ3 / 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 ) CJ1CJ2 / V CJ1CJ3 (имея в виду дальнейшее интегрирование по частотам, мы вве- ли сюда множитель 1/q1 учитывающий тождественность фотонов F (ср. примеч. на с. 286)). Каждая из частот o;i5 6^2, ^3 мо- жет пробегать значения между 0 и т (значение т достигается двумя ча- стотами, когда третья равна нулю). При заданном ио\ частота ио2 меняется между m—uoi и т. Интегрируя (89.14) по U02 в этих пределах, получаем спек- тральное распределение фотонов рас- У у уУ У 1 / О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 пада: Рис. 14 су ч \2т(т-ш\) Зг>т3 2т(т — Bm — In m — Bm — Функция ^(c^i) монотонно возрастает от нуля при ио\ = 0 до 1 при ио\ = т; на рис. 14 изображен ее график. § 90 МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 423 Полное сечение аннигиляции получается интегрированием (89.14) по обеим частотам: т т I ' (oJi+oJ2-m) О т- Стоящий здесь двойной интеграл равен (тг2—9)/3, и мы приходим к приведенной выше формуле (89.6).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Аннигиляция позитрония» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
, 