Система из электрона и позитро- на требует особого рассмотрения. Амплитуда рассеяния в этом случае складывается из двух членов: Mfi = -e2[u(p'_)ru(p-)]D^(p. -р'_)[п(-р+)^и(-р'+)} + + e2[u(-P+Wu(p-)]Dlu,(p- +p+)[u(p'_hl/u(-pl+)} (83.18) (первый отвечает рассеивательной, а второй — аннигиляционной диаграмме). Поскольку волновая функция системы «электрон + ) Волновое уравнение с гамильтонианом (83.17) было впервые установлено Брейтом (G. Breit, 1929), а его последовательный квантовомеханический вывод дан Л. Д. Ландау A932). 2) Это взаимодействие упоминалось в т. III, § 72 в связи с тонкой структу- рой атомных уровней, а спин-спиновое взаимодействие электронов с ядром рассматривалось в т. III, § 121 в связи со сверхтонкой структурой уровней. В частности, формула A21.9) (см. III) соответствует ^-функционному члену в операторе спин-спинового взаимодействия. § 83 УРАВНЕНИЕ БРЕЙТА 387 позитрон» не должна быть антисимметричной, оба члена дают независимые вклады в оператор взаимодействия. Первый член (структура которого совпадает со структурой амплитуды (83.1)) приводит, естественно, к оператору, отличаю- щемуся от (83.17) лишь общим знаком. Займемся преобразова- нием второго члена. Воспользуемся здесь фотонным пропагатором в обычной ка- либровке: п 4тг 4тг В данном случае к = р+ +р_, и поскольку частицы «почти нере- лятивистские», то 4 = ^^ « 4mV » (Р+ + р_J ее к2. (83.19) С2 С2 Поэтому для фотонного пропагатора достаточно написать Здесь уже содержится множитель l/с2. Поэтому амплитуды и(р) достаточно брать в нулевом приближении: где w_\ w^ фигурирующие в B3.12) 3-спиноры (ниже индексы @) у них опустим). С этими амплитудами п(-р+)^и(р-) = и*(-р+)и{р-) = 0, п(— р+)*уи(р-) = и* (—p+)oLu(j)-) = 2m(w*crw-). После подстановки этих выражений «аннигиляционная» часть амплитуды рассеяния принимает вид м(анн) = _e*_!!_BmJ(w*aw-)(wt*_vwt). (83.20) j т2с2 Отсюда, однако, еще нельзя прямо сделать заключений о виде оператора взаимодействия. Во-первых, спиноры w, через кото- рые выражаются амплитуды и(—р+), еще не являются в бук- вальном смысле позитронными. Позитронные амплитуды полу- чаются из и(—р+) преобразованием зарядового сопряжения; со- гласно B6.6) соответствующие им спиноры (обозначим их через w+) связаны с w соотношением w+ = oyw*, откуда w* = cryw+ = —w+Gy, w = — <jyW+. (83.21) 13* 388 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ. IX Во-первых, амплитуда рассеяния должна быть приведена к виду, в котором сворачиваются друг с другом электронные (w- и w'_) и позитронные (w+ и w+) спиноры. Эта цель достигается с помощью формулы [w aw-)(w _aw ) = -{w _W-)(w w ) — -{w _aw-)(w aw ), (83.22) которая сама следует из B8.16). Наконец, выразив w и wf через w+ и и^, согласно (83.21), найдем, как легко проверить, (w*wr) = (n/+w+), (w*awr) = -(w'\ctw+). (83.23) Подставив (83.23) в (83.22) и затем в (83.20), получим оконча- тельное выражение для аннигиляциоиной части амплитуды рас- сеяния М Гм; = - Г /* /* < w _w + (матрицы а- и сг+ действуют соответственно на W- и гу+). Выра- жение в квадратных скобках представляет собой оператор взаи- модействия в импульсном представлении. Соответствующий ко- ординатный оператор ?() g ),5®, r = r_-r+ (83.24) (Pirenne, 1947; В. Б. Берестецкий и Л. Д. Ландау, 1949). Полный оператор взаимодействия электрона и позитрона есть с U из (83.17).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Электрон и позитрон» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
