Произведенное в § 73, 74 для некоторых простых случаев вычисление элементов матрицы рассеяния содержит в себе все принципиальные моменты общего метода. Не представляет осо- бого труда установить путем соответствующих обобщений пра- вила вычисления матричных элементов в любом порядке теории возмущений. Как уже указывалось, матричный элемент оператора рассея- ния S для перехода между любыми начальными и конечными состояниями совпадает со средним по вакууму от оператора, по- лучающегося умножением S справа на операторы рождения всех начальных частиц и слева — на операторы уничтожения всех ко- нечных частиц. В результате такого приведения элемент ^-матрицы в п-м порядке теории возмущений принимает вид {f\S^\i) = ±@\...b2fblf...alf...clfx х / d4xi...d4xnT{('(l;1(-iejAi)ipi)...(ipn(-iejAn)'(l;n)} x хс+...о+...Ь+...|0> G7.1) (индексы Н, 2г, ... нумеруют начальные частицы (отдельно по- зитроны, электроны, фотоны), индексы 1/, 2/, ... —конечные частицы; индексы 1, 2, ... у операторов ф и А означают: ф\ = = ф(х\), ... ). Входящие сюда операторы ф, А представляют 346 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VIII собой линейные комбинации операторов рождения и уничтоже- ния соответствующих частиц в различных состояниях. Таким образом, получаем для матричных элементов выражения в ви- де средних по вакууму от произведений операторов рождения и уничтожения частиц и их линейных комбинаций. Вычисле- ние таких средних осуществляется с помощью следующих утвер- ждений, составляющих содержание теоремы Вика (G. С. Wick, 1950). 1. Среднее по вакууму от произведения любого числа бозон- ных операторов с^, сГ равно сумме произведений всех возможных попарных средних (сверток) этих операторов. При этом в каж- дой паре множители должны стоять в той же последовательно- сти, что и в первоначальном произведении. 2. Для фермионных операторов а+, а, 6+, b (одних и тех же или различных частиц) правило меняется лишь в том, что каж- дый член входит в сумму со знаком плюс или минус в зависимо- сти от четности или нечетности числа перестановок фермионных операторов, необходимых для того, чтобы поставить рядом все попарно усредняемые операторы. Ясно, что среднее значение может быть отлично от нуля, лишь если наряду с каждым множителем а, 6, д в произведе- нии имеется также по множителю а+, 6+, с4". При этом сверты- вать следует только пары операторов (а,а+), ... , относящихся к одинаковым состояниям, причем лишь такие, в которых а+, ... стоят справа от а, ... : частица сначала рождается, а затем уничтожается (средние же значения @|а+а|0) = 0, ... ). Если каждая пара (а,а+), ... входит в произведение всего по одному разу, то теорема Вика очевидна (среднее значение сводится при этом к одному произведению попарных средних). Она очевидна также и в случае, когда все операторы уничтоже- ния стоят в произведении справа от операторов рождения (та- кое произведение называют нормальным); среднее значение при этом равно нулю. Отсюда легко путем полной индукции дока- зать теорему Вика для общего случая, когда одна и та же пара операторов входит в произведение несколько (к) раз. Рассмотрим среднее значение @| . .сс+.. |0), в котором пара бозонных операторов входит к раз (для фермионных операторов дальнейшие рассуждения вполне аналогичны). Переставив мно- жители с, с^~ в некоторой паре, получим на основании правил коммутации @|..сс+..|0) = @|..с+с..|0) + @|..1..|0). G7.2) Среднее значение @| .. 1.. |0) содержит к — 1 пару, и для него теорема Вика предполагается справедливой. С другой стороны, § 77 ОБЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ 347 если раскрывать среднее значение @| .. сс+.. |0) по теореме Вика, то оно будет отличаться от среднего значения @| .. с+с.. |0) как раз членом (при раскрытии @| .. с+с.. |0) аналогичный член @| .. 1.. |0) х х @|с+с|0) = 0). Поэтому из G7.2) следует, что если теорема Вика справедлива для матричного элемента @| .. с+с.. |0), то она остается справедливой и после перестановки с' и с^~. Поскольку для одного определенного (нормального) порядка множителей теорема Вика заведомо справедлива, то она тем самым верна в любом случае. Будучи верна для произведений операторов а, 6, ... , теорема Вика верна и для любых произведений, содержащих наряду с са- мими а, 6, ... также их линейные комбинации ф,ф, А. Применив эту теорему к матричному элементу G7.1), мы представим его в виде суммы членов, каждый из которых будет произведени- ем некоторых попарных средних. Среди последних будут встре- чаться свертки операторов ф, ф, А с «внешними» операторами — операторами рождения начальных или уничтожения конечных частиц. Эти свертки выражаются через волновые функции на- чальных и конечных частиц согласно формулам: |0)=Лр, @\срА\0) = А*р, @\фа+\0) = фр, @\арф\0) = ф*р, G7.3) (О\Ьрф\О)=ф.р, @\Щ\0)=ф_р, где Ар, фр — фотонные и электронные волновые функции с им- пульсами р (поляризационные индексы, как и в § 73, 74, для краткости не выписываем). Будут также встречаться свертки «внутренних» операторов, стоящих под знаком Т-произведений. Поскольку при применении теоремы Вика последовательность множителей в каждой свертываемой паре сохраняется, в этих свертках сохранится хронологическая последовательность опе- раторов, так что они заменяются соответствующими пропагато- рами х) . х) По поводу последнего утверждения надо сделать следующее замечание. При доказательстве теоремы Вика мы использовали правила коммутации операторов с, с^~, которые имеют смысл лишь для реальных («поперечных») фотонов. «Внешние» операторы с^~, с/ отвечают, разумеется, именно таким (начальным и конечным) фотонам. Операторы же А (входящие под знаком Т-произведения) описывают, как было указано в § 76, не только поперечные 348 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VIII Каждый из членов суммы, на которую разбивается матрич- ный элемент в результате его раскрытия по теореме Вика, изо- бражается определенной диаграммой Фейнмана. В диаграмме n-го приближения содержится п вершин, каждой из которых ставится в соответствие одна из переменных интегрирования — один из 4-векторов жх, #2? ••• В каждой вершине сходится три луча — два сплошных (электронных) и один штриховой (фотон- ный), которым соответствуют электронные (ф и ф) и фотонный (А) операторы как функции одной и той же переменной х. При этом оператору ф соответствует приходящая в вершину, а ф — выходящая из нее линия. Для иллюстрации приведем несколько примеров соответствия между членами матричного элемента третьего приближения и диаграммами. Опустив знак интеграла, знаки операторов и знак Т, а также множители — iej и не выписав аргументов у операто- ров, напишем эти члены символически в виде а (ф Аф)(фАф)(фАф) = б (фА ф) (ф Аф) (фА ф) = -е-1—«-г* -+- ^_l^ G7.4) с! С!С1 г (ф Аф) (фА ф) (ф Аф) = Для наглядности электронные и фотонные свертки изображены, как и на диаграмме, соответственно сплошными и штриховыми дугами. Направление стрелок на электронных свертках (от ф к ф) соответствует их направлению на диаграммах. Для внутрен- них фотонных сверток направление безразлично (что проявля- ется и в четности фотонного пропагатора как функции х — х1). Среди получаемых таким образом членов есть эквивалент- ные, различающиеся лишь перестановкой номеров вершин — со- ответствием между вершинами и номерами переменных х\1Х2-)- •., т. е. попросту обозначением переменных интегрирования. Чис- ло таких перестановок равно п\. Оно сокращает множитель 1/п! фотоны. Ситуация здесь такая же, как и при вычислении D^u в § 76. В силу релятивистской и калибровочной инвариантности достаточно доказать теорему для тех произведений (т. е. компонент тензора @|TAMA^ ... |0)), которые определяются поперечными частями потенциалов. Тем самым она будет доказана и для любых произведений. § 77 ОБЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ 349 в G7.1), после чего учитывать диаграммы с перестановкой вер- шин уже не надо. С этим обстоятельством мы уже сталкивались в § 73, 74. Так, эквивалентны две диаграммы второго приближе- ния: (фАф)(фАф) = (\ / 1 >^Ч G7-5) (фАф)(фАф) = {/ X В G7.4) и G7.5) изображены только внутренние свертки, ко- торым соответствуют внутренние линии диаграмм (виртуальные электроны и фотоны). Оставшиеся свободными операторы свер- тываются с теми или иными внешними операторами, в резуль- тате чего устанавливается соответствие между свободными кон- цами диаграмм и теми или иными начальными и конечными ча- стицами. При этом ф (свертываясь с операторами aj или bf) дает линию конечного электрона или начального позитрона, а ф (свертываясь с а^~ или bf) — начального электрона или конечного позитрона. Свободный оператор А (свертываясь с с^~ или с/) мо- жет соответствовать как начальному, так и конечному фотонам. Таким образом, получается по нескольку топологически одина- ковых (т. е. состоящих из одинакового числа одинаково располо- женных линий) диаграмм, отличающихся лишь перестановками начальных и конечных частиц по входящим и выходящим сво- бодным концам. Каждая такая перестановка эквивалентна, очевидно, опреде- ленной перестановке внешних операторов а, 6, ... в G7.1). Яс- но поэтому, что если среди начальных или среди конечных ча- стиц имеются тождественные фермионы, то относительные зна- ки диаграмм, различающихся нечетным числом перестановок свободных концов, должны быть противоположны. Непрерывающаяся последовательность сплошных линий на диаграммах составляет электронную линию, вдоль которой стрелки сохраняют непрерывное направление. Такая линия мо- жет либо иметь два свободных конца, либо образовывать замкну- тую петлю. Так, диаграмма имеет петлю с двумя вершинами. Сохранение направления вдоль электронной линии является графическим выражением сохране- ния заряда: «входящий» в каждую вершину заряд равен «выхо- дящему» из нее заряду. Расположение биспинорных индексов вдоль непрерывной электронной линии соответствует записи матриц слева напра- 350 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VIII во при движении против стрелок. Биспинорные индексы раз- ных электронных линий никогда не перепутываются. Вдоль неза- мкнутой линии последовательность индексов заканчивается у свободных концов на электронных (или позитронных) волновых функциях. На замкнутой же петле последовательность индексов тоже замыкается, т. е. петле соответствует след произведения расположенных вдоль нее матриц. Легко видеть, что этот след должен быть взят со знаком минус. Действительно, петле с к вершинами отвечает совокупность к сверток (фАф)(фАф)...(фАф) (или другая эквивалентная, отличающаяся перестановкой вер- шин). В (к — 1)-й свертке операторы фиф уже стоят рядом в том порядке (ф справа от ф), в котором они должны стоять в электронном пропагаторе. Операторы же, стоящие по краям, приводятся в соседство с помощью четного числа перестановок с другими ^-операторами и после этого оказываются расположен- ными в порядке фф. Поскольку @\Тф'ф\0) = -@|Т^'|0) (ср. примеч. на с. 334), то замена этой свертки соответствующим пропагатором связана с изменением общего знака всего выраже- ния. Переход к импульсному представлению в общем случае про- изводится вполне аналогично тому, как это было сделано в § 73, 74. Наряду с общим законом сохранения 4-импульса должны со- блюдаться также «законы сохранения» в каждой вершине. Од- нако всех этих законов может оказаться недостаточно для од- нозначного определения импульсов всех внутренних линий диа- граммы. В таких случаях по всем оставшимся неопределенными внутренним импульсам остаются интегрирования (по с/4]9/BтгL), производящиеся по всему ^-пространству (в том числе и по ро от —оо до +оо). В изложенных рассуждениях подразумевалось, что роль воз- мущения играет взаимодействие между самими частицами, «ак- тивно» участвующими в реакции (т. е. между частицами, состоя- ние которых в результате процесса меняется). Аналогичным об- разом рассматривается также случай, когда в задаче фигурирует внешнее электромагнитное поле, т. е. поле, создаваемое «пассив- ными» частицами, состояние которых при данном процессе не меняется. Пусть А^е\х) — 4-потенциал внешнего поля. Он входит в лаг- ранжиан взаимодействия вместе с фотонным оператором А в § 77 ОБЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ 351 виде суммы А + А^ (которая и перемножается с оператором тока j). Поскольку А^ не содержит никаких операторов, он не может образовывать сверток с другими операторами. Иначе го- воря, внешнему полю будут соответствовать в диаграммах Фейн- мана лишь внешние линии. Представим А^ в виде интеграла Фурье: \ G7.6) A^\q) = / A^(x)eiqxd4x. В выражениях для матричных элементов в импульсном пред- ставлении 4-вектор q будет фигурировать наряду с 4-импуль- сами других внешних линий, отвечающих реальным частицам. Каждой такой линии внешнего поля сопоставляется множитель A^e\qI причем линию надо рассматривать как «входящую» —в соответствии со знаком показателя в множителе e~iqx, с кото- рым A^e\q) входит в интеграл Фурье («выходящей» же линии надо было бы сопоставить множитель A^e^(q)). Если при этом окажется, что закон сохранения 4-импульса не фиксирует (при заданных 4-импульсах всех реальных частиц) однозначным об- разом 4-импульсы всех линий внешнего поля, то по остающим- ся «свободными» q производится интегрирование (по с/4д/BтгL), как и по всем другим не фиксированным 4-импульсам линий диаграммы. Если внешнее поле не зависит от времени, то (A), G7.7) где А^е; (q) —трехмерная компонента Фурье: A^{q)= f A^®e~icird3x. G7.8) В этом случае внешней линии сопоставляется множитель А^ (q) и ей приписывается 4-импульс q^ = @, q); энергии электронных линий, пересекающихся (вместе с линией поля) в вершине, при этом одинаковы в силу закона сохранения. По всем остающимся нефиксированными трехмерным импульсам р внутренних линий должно производиться интегрирование по сРр/Bтг)^. Вычислен- ная таким образом амплитуда Mfi определяет, например, сече- ние рассеяния F4.25). Дадим сводку окончательных правил диаграммной техники, по которым составляется выражение для амплитуды рассеяния (точнее — выражение для iMfj) в импульсном представлении. 352 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VIII 1. Приближению п-го порядка теории возмущений отвечают диаграммы с п вершинами, в каждой из которых сходятся од- на входящая и одна выходящая электронные (сплошные) и одна фотонная (штриховая) линии. В амплитуду процесса рассеяния входят все диаграммы, имеющие свободные концы (внешние ли- нии) в числе, равном числу начальных, и конечных частиц. 2. Каждой внешней входящей сплошной линии сопоставляет- ся амплитуда начального электрона и(р) или конечного позитро- на и(—р) (р — 4-импульс частицы). Каждой выходящей сплош- ной линии сопоставляется амплитуда конечного электрона п(р) или начального позитрона п(—р). 3. Каждой вершине сопоставляется 4-вектор —iej^. 4. Каждой внешней входящей штриховой линии сопоставля- ется амплитуда начального фотона уАке^, а выходящей линии — амплитуда л/4тге* конечного фотона (е —4-вектор поляризации). Векторный индекс \i совпадает с индексом матрицы 7^ в соответ- ствующей вершине (так что возникает скалярное произведение 7е или 7е*)- 5. Каждой внутренней сплошной линии сопоставляется мно- житель iG(p), а внутренней штриховой линия — множитель — —iDfjLy{p). Тензорные индексы /j,v совпадают с индексами матриц 7^, 7^ в вершинах, соединяемых штриховой линией. 6. Вдоль каждой непрерывной последовательности электрон- ных линии стрелки имеют неизменное направление, а расположе- ние биспинорных индексов вдоль них соответствует записи ма- триц слева направо при движении против стрелок. Замкнутой электронной петле отвечает след произведения расположенных вдоль нее матриц. 7. В каждой вершине 4-импульсы пересекающихся в ней ли- ний удовлетворяют закону сохранения, т. е. сумма импульсов входящих линий равна сумме импульсов выходящих линий. Им- пульсы свободных концов — заданные (с соблюдением общего за- кона сохранения) величины, причем позитронной линии припи- сывается импульс —р. По импульсам внутренних линий, оста- ющимся нефиксированными после учета законов сохранения во всех вершинах, производится интегрирование (по с/4]9/BтгL). 8. Входящему свободному концу, отвечающему внешнему по- лю, сопоставляется множитель A^(q); 4-вектор q связан с 4-им- пульсами других линий законом сохранения в вершине. Если поле не зависит от времени, свободному концу сопоставляется множитель A(e)(q), а по остающимся нефиксированными трех- мерным импульсам внутренних линий производится интегриро- вание по сРр/BтгK. § 78 ПЕРЕКРЕСТНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ 353 9. Дополнительный множитель — 1 привносится в выражение для iMfi каждой замкнутой электронной петлей в диаграмме и каждой парой позитронных внешних концов, если эти концы — начало и конец одной последовательности сплошных линий. Если среди начальных или среди конечных частиц имеется несколько электронов или позитронов, то относительный знак диаграмм, различающихся нечетным числом перестановок пар тождествен- ных частиц (т. е. соответствующих им внешних концов), должен быть противоположным. Для уточнения последнего правила добавим, что одинако- выми знаками должны во всяком случае обладать диаграммы с одинаковыми сплошными линиями, т. е. диаграммы, которые оказались бы тождественными после снятия с них всех фотон- ных линий. Напомним также, что при наличии тождественных фермионов общий знак амплитуды условен.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Общие правила диаграммной техники» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
