Покажем на конкретных примерах, каким образом осуще- ствляется вычисление элементов матрицы рассеяния. Эти при- меры облегчат дальнейшую формулировку общих правил инва- риантной теории возмущений. Оператор тока j содержит произведение двух электронных ^-операторов. Поэтому в первом порядке теории возмущений могли бы возникнуть процессы, в которых участвуют всего (в начальном и конечном состояниях) три частицы — два электро- на (оператор j) и один фотон (оператор А). Легко, однако, ви- деть, что такие процессы между свободными частицами невоз- можны — они запрещены законом сохранения энергии и импуль- са. Если р\ и р2—4-импульсы электронов, а к— фотона, то со- хранение 4-импульса изображалось бы равенством к = Р2 ~ Pi или к = р2 -\-Pi- Но такие равенства невозможны, так как для фотона к2 = 0, а квадрат (р2 ± р\J заведомо отличен от ну- ля. Действительно, вычисляя значение инварианта (р2 =Ь р\J в системе покоя одного из электронов, получаем (р2 ±PiJ = 2(га2 ±pip2) = 2(m2 ± exe2 T P1P2) = 2ra(ra ± e2). ПОСКОЛЬКУ ?2 > ТП, ТО (P2+PiJ>0, (Р2-Р1J <0. G3.1) Таким образом, первые неисчезающие (недиагональные) эле- менты ^-матрицы могут появиться лишь во втором порядке тео- рии возмущений. Все относящиеся сюда процессы содержатся в операторе второго порядка, получающемся при разложении вы- ражения G2.12): Поскольку электронные и фотонные операторы коммутативны друг с другом, фигурирующее здесь Т-произведение можно 326 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VIII разбить на два Т-произведения: lx)Mx'))- G3.2) В качестве первого примера рассмотрим упругое рассеяние двух электронов: в начальном состоянии имеем два электрона с 4-импульсами р\ и ]92, а в конечном — два электрона с другими 4-импульсами р% ир^. Подразумевается также, что все электроны находятся в определенных спиновых состояниях; индексы спино- вых переменных для краткости везде опускаем. Поскольку в обоих состояниях фотоны вообще отсутствуют, нужный нам матричный элемент Т-произведения фотонных опе- раторов есть диагональный элемент @| ... |0), где символ |0) обо- значает состояние фотонного вакуума. Это среднее по вакууму значение Т-произведения представляет собой определенную (для каждой пары индексов /j,v) функцию координат двух точек х и х1. При этом в силу однородности 4-пространства координаты могут входить лишь в виде разности х — х1. Тензор D^(x - х1) = 1@\ТА»(х)А„(х')\0) G3.3) называют фотонной функцией распространения (или фотонным пропагатором). Явное выражение для нее будет получено в § 76. Для Т-произведения электронных операторов нам надо вычис- лить матричный элемент C4|T№)jV)|12>, G3.4) где символы |12), |34) обозначают состояния с парами электро- нов с соответствующими импульсами. Этот элемент тоже может быть представлен в виде среднего по вакууму с помощью оче- видного равенства {2\F\l) = {0\a2Fa+\0), где F — произвольный оператор, аа|и ^ — операторы соответ- ственно рождения первого и уничтожения второго электрона. Поэтому вместо G3.4) можно вычислять величину х)Г(х'))а+а+\0) G3.5) (индексы 1, 2, ... для краткости заменяют р\, р2, ... ). Каждый из двух операторов тока есть произведение j = а каждый из ^-операторов представляется суммой ф = ^2(арфр +?+^-р)> Ф = ^2(^Фр +%Ф-Р) G3-6) р р (вторые члены содержат позитронные операторы, которые в дан- ном случае «не работают»). Поэтому произведение j^{x)jy(x') § 73 ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ 327 представляется в виде суммы членов, каждый из которых содер- жит произведение двух операторов ар и двух йр. Эти операто- ры должны обеспечить уничтожение электронов 1, 2 и рождение электронов 3, 4. Другими словами, это должны быть операторы ai, a2, ajj", a^, которые, как говорят, свертываются с «внешни- ми» операторами а^, а^", аз, сц в G3.5) и сокращаются согласно равенствам @|apa+|0) = 1. G3.7) В зависимости от того, из которых ^-операторов берутся ai, a2, ajj", a^, в G3.5) возникают четыре члена G3.5) = а3 где ф = ^(ж)? ^' = Ф{х')-) а дугами соединены свертываемые опе- раторы, т. е. те, из которых берется пара операторов а, а+ для сокращения согласно G3.7). В каждом из этих членов последова- тельными перестановками операторов ai, Ъ>2, ... приводим сопря- женные операторы к попарному соседству (aia^ и т. п.), после чего среднее значение их произведения сводится к произведению средних значений G3.7). Учитывая, что все эти операторы анти- коммутативны A, 2, 3, 4 —различные состояния!) , найдем, что матричный элемент G3.4) равен G3.9) Отметим, что общий знак этой суммы условен и зависит от по- рядка, в котором мы расположили «внешние» электронные опе- раторы в G3.5). Это обстоятельство соответствует тому, что об- щий знак матричного элемента для рассеяния тождественных фермионов вообще произволен. Относительный же знак различ- ных членов в G3.9) от принимаемого порядка расположения внешних операторов, конечно, не зависит. Два члена в первой и второй строках G3.9) отличаются друг от друга лишь одновременной перестановкой индексов /i, v и ар- гументов ж, х1. Такая перестановка не изменит, очевидно, и ма- х) Ввиду этой антикоммутативности операторы j(x) и j(xf) можно в дан- ном случае считать (при вычислении матричного элемента) коммутативны- ми и опустить знак Т-произведения. 328 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VIII тричный элемент G3.3) (в котором порядок множителей все рав- но устанавливается символом Т). Поэтому после перемножения G3.3) и G3.9) и интегрирования по dAxdAx' четыре члена в G3.9) дают попарно одинаковый результат, так что матричный элемент Sfi = ie2 JJdAx dV • D^(x - ж'){(^"^K^W'Vi) - ^?2)} G3.10) (обратим внимание на исчезновение множителя 1/2!). Электронные волновые функции — плоские волны F4.8), по- этому выражение в фигурных скобках где Х= (х + ж')/2, ^ = х — х'. Интегрирование по dAx dAx' заменя- ется интегрированием по d^^d^X. Интеграл по d^X дает E-функ- цию (в силу которой pi+p2 = Рз+Ра)- Перейдя затем от матрицы S к матрице М (см. § 64), получим окончательно для амплитуды рассеяния G3.11) Здесь введена фотонная функция распространения в импульс- ном представлении f ik4% G3.12) Каждый из двух членов амплитуды G3.11) может быть символи- чески представлен в виде так называемых диаграмм Фейнмана. Первый член представляется диаграммой е2(п47/1«2)?>АИ/(А)(пз7"«1) = У* G3.13) Каж:дой из точек пересечения линий (вершине диаграммы) сопо- ставляется множитель 7- «Входящие» сплошные линии, направ- § 73 ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ 329 ленные к вершине, отвечают начальным электронам; им сопоста- вляются множители и — биспинорные амплитуды соответствую- щих электронных состояний. «Выходящие» сплошные линии, на- правленные от вершин — конечные электроны, этим линиям со- поставляются множители п. При «прочтении» диаграммы ука- занные множители записываются слева направо в порядке, соот- ветствующем передвижению вдоль сплошных линий против на- правления стрелок. Обе вершины соединены штриховой линией, отвечающей виртуальному (промежуточному) фотону, «испус- каемому» в одной вершине и «поглощаемому» в другой; этой ли- нии сопоставляется множитель —iDfll/(k). 4-импульс виртуально- го фотона к определяется «сохранением 4-импульса в вершине»: равенством суммарных импульсов входящих и выходящих ли- ний; в данном случае к = Pi — Рз — Pa ~ V2- Помимо всех пере- численных множителей, диаграмме в целом приписывается еще общий множитель (—геJ (показатель степени — число вершин в диаграмме), и в таком виде она входит слагаемым в iMfi. Анало- гичным образом второй член в G3.11) представляется диаграм- мой Pi (надо иметь в виду, что к' = р\ — р± = рз — ръ). Безразлично, начинать ли прочтение диаграммы от конца рз или р^ получа- ющиеся при этом выражения совпадают друг с другом в силу симметричности тензора D^. Безразличен также выбор направ- ления линии виртуального фотона: изменение этого направления приведет лишь к изменению знака /с, несущественному в силу четности функций DiJjly(k) (см. § 76). Линии, отвечающие начальным и конечным частицам, назы- вают внешними линиями или свободными концами диаграммы. Диаграммы G3.13) и G3.14) отличаются друг от друга обменом двух свободных электронных концов (рз и р4)- Такая переста- новка двух фермионов меняет знак диаграммы; это правило со- ответствует тому, что в амплитуду G3.11) оба члена входят с разными знаками. Мы будем в дальнейшем всегда пользоваться диаграммами Фейнмана в описываемом, импульсном, представлении. Отметим, однако, что эти диаграммы могут быть приведены в соответствие с членами амплитуды рассеяния также и в их первоначальном — координатном — представлении (интегралы G3.10)). Роль элек- тронных амплитуд при этом играют соответствующие коорди- натные волновые функции, а пропагаторы берутся в координат- 330 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VIII ном представлении. Каждой вершине отвечает одна из перемен- ных интегрирования (х или х' в G3.10)); множители, приписыва- емые пересекающимся в одной вершине линиям, берутся в функ- ции этой переменной. Рассмотрим теперь взаимное рассеяние электрона и позитро- на; их начальные импульсы обозначим соответственно р- и р_|_, а конечные р'_ и р'_^. Операторы рождения и уничтожения позитронов входят в ^-операторы G3.6) вместе соответственно с операторами унич- тожения и рождения электронов. В то время, как в предыду- щем случае уничтожение обеих начальных частиц обеспечива- лось оператором ф, а рождение обеих конечных — оператором ф, здесь роль этих операторов противоположна по отношению к электронам и позитронам. Поэтому сопряженной функцией ф(—р+) будет описываться теперь начальный позитрон, а конеч- ный позитрон — функцией ф(—р+) (причем обе —от 4-импульса с обратным знаком). С учетом этого различия получим в резуль- тате амплитуду рассеяния х) Mfi = -е2(«(р'_O"«(Р 2 (pl_)Yu(-p'+)). G3.15) Первый и второй члены в этом выражении представляются следующими диаграммами: G3.16) Правила составления диаграмм меняются лишь в части, касаю- щейся позитронов. По-прежнему входящим сплошным линиям сопоставляется множитель и, а выходящим п. Но теперь входя- щие линии отвечают конечным, а выходящие — начальным пози- 1) Для рассеяния нетождественных частиц общий знак амплитуды одно- значен. Он определяется тем, что в G3.5) «внешние» операторы должны быть расположены таким образом, чтобы оба электронных оператора стоя- ли по краям: {0\а'Ъ' ...Ъ+а+\0) (или же оба в середине); этим условием обеспечивается «одинаковый знак» начального и конечного состояний вакуума. Общий знак амплитуды можно проверить и по нерелятивистскому пределу: мы увидим далее (см. § 81), что в этом пределе второй член в G3.15) стремится к нулю, а первый — к борновской амплитуде резерфордовского рассеяния. § 73 ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ 331 тронам, причем импульсы всех позитронов берутся с обратным знаком. Обратим внимание на различный характер двух диаграмм G3.16). В первой диаграмме в одной из вершин пересекаются линии начального и конечного электрона, в другой вершине — то же самое для позитрона. Во второй же диаграмме в каждой из вершин пересекаются линии электронов и позитронов — на- чальных и конечных; в верхней как бы происходит аннигиляция пары с испусканием виртуального фотона, а в нижней — рожде- ние пары из фотона. Это различие отражается и в свойствах виртуальных фото- нов в обеих диаграммах. В первой диаграмме (диаграмма «рассе- ивательного» типа) 4-импульс виртуального фотона равен раз- ности 4-импульсов двух электронов (или позитронов); поэтому к2 < 0 (ср. G3.1)). Во второй же диаграмме («аннигиляцион- ной») к' = р- +р+, и потому к'2 > 0. Отметим в этой связи, что для виртуального фотона всегда к2 ф 0, в отличие от реального фотона, для которого к2 = 0. Если сталкивающиеся частицы не тождественны и не явля- ются частицей и античастицей (скажем, электрон и мюон), то амплитуда рассеяния изобразится всего одной диаграммой: G3.17) Диаграмма же аннигиляционного или обменного типа в этом слу- чае невозможна. Мы получим этот результат аналитически, на- писав оператор тока как сумму электронного и мюонного токов J =?(е)+?Ы = (Ф и взяв в произведении jfJj(x)jiy(x/) матричные элементы от чле- нов, производящих требуемые уничтожения и рождения частиц. Вернемся к процессам первого порядка, запрещенным, как было указано в начале параграфа, законом сохранения 4-импуль- са. Матричные элементы оператора = -ге h (x)A(x) dAx G3.18) для таких переходов отвечают рождению или уничтожению «в одной и той же точке х» трех реальных частиц: двух электронов и одного фотона. Они возникают в результате свертывания опе- раторов ф(х) и ф(х) в одной точке х и определяются (например, 332 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ для испускания фотона) интегралами вида Sfi = -ге 1ф2{х)ф1{х){1А*{х)) d4x, обращающимися в нуль благодаря наличию в подынтегральном выражении множителя ехр[—г{р\ — р2~ к)х] с отличным от нуля показателем. На языке диаграмм это значит, что равны нулю диаграммы с тремя свободными концами G3.19) По этой же причине невозможны процессы второго порядка, в которых участвовали бы (в начальном и конечном состояниях) шесть частиц. В матричном элементе Sfi соответствующих пе- реходов интеграл по dAx dAx' распался бы на произведение двух обращающихся в нуль интегралов по d^x и d^x1 от произведений трех волновых функций, взятых в одной и той же точке. Други- ми словами, соответствующие диаграммы распались бы на две независимые диаграммы вида G3.19).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Диаграммы Фейнмана для рассеяния электронов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
, найдем, что 