До сих пор при изучении испускания и рассеяния света мы рассматривали все уровни системы (скажем, атома) как стро- го дискретные. Между тем возбужденные уровни, имея веро- ятность высветиться, обладают конечным временем жизни. Со- гласно общим принципам квантовой механики это приводит к тому, что уровни становятся квазидискретными, приобретая ко- нечную (малую) ширину (см. III, § 134); они записываются в виде Е — гТ/2, где Г(= Т/Н) —полная вероятность (в 1 с) всех возмож- ных процессов «распада» данного состояния. Рассмотрим вопрос о том, каким образом это обстоятельство сказывается на процессе излучения (V. Weisskopf, E. Wigner, 1930). Заранее ясно, что ввиду конечности ширины уровня ис- пущенный свет окажется не строго монохроматическим: часто- ты будут разбросаны в интервале Да; ~ Г(= Т/Н). При этом в силу конечности времени жизни начального состояния излуча- ющей системы более естественной является постановка задачи о нахождении полной вероятности испускания фотона данной ча- стоты, а не о вероятности в единицу времени. Вычислим эту ве- роятность прежде всего для случая перехода атома с некоторого возбужденного уровня х) Свойства симметрии колебательных волновых функций, разумеется, не зависят от конкретного вида колебательной потенциальной энергии; они не зависят, в частности, от сделанного в т. III, § 101 предположения о гармо- ничности колебаний. § 62 ЕСТЕСТВЕННАЯ ШИРИНА СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ 277 на основной уровень E2i обладающий бесконечным временем жизни и потому строго дискретный. Пусть Ф — волновая функция атома и фотонного поля, Н = = Н(°) + V — гамильтониан этой системы, причем V — оператор взаимодействия атома и фотонного поля. Будем искать решение уравнения Шредингера г^ = (#@)+У)Ф F2.1) в виде разложения по волновым функциям невозмущенных со- стояний системы Ф = 2>„(*)Ф(,°) =J2^(t)e-t?v?j>)- F2.2) Для коэффициентов ay{t) получим систему уравнений ^ Sv - Sl)t}. F2.3) Пусть \v) —состояние с энергией 8V = Е2 +cj, в котором атом находится на основном уровне E2i и имеется один квант с опре- деленной частотой uj\ обозначим это состояние символом \ио2). В начальный момент времени система находится в состоянии |1), в котором атом возбужден на уровне Е\, а фотоны отсутствуют. Другими словами, при t = 0 должно быть аг = 1, а„/ = 0 для |z/) ф |1). F2.4) Найденное с этим начальным условием решение уравнения F2.3) даст (при надлежащей нормировке волновых функций) вероят- ность к моменту t перехода атома 1 —>> 2 с испусканием фотона в интервале частот duo\ Нас будет интересовать вероятность при t —>• 00: dw = \au2{oo)\2duo. F2.5) Для лучшего понимания постановки вопроса напомним, что при нахождении обычной вероятности излучения (в 1 с) с пере- ходом 1 —)> 2 (без учета ширины уровня) уравнение F2.3) надо решать, заменив в первом приближении в его правой стороне все auf(t) значениями F2.4). Полученное решение рассматривается затем при больших t (ср. III, § 42). Мы можем теперь уточнить смысл этой процедуры: она относится ко временам, малым по 278 РАССЕЯНИЕ СВЕТА сравнению с продолжительностью жизни возбужденного уров- ня; большие t означают при этом времена, большие по сравне- нию с периодом 1/{Е\ — ?^M н0 все же малые по сравнению с 1/Гь В нашем же случае, когда рассматриваются времена, сравни- мые с 1/Г]_, функция a\(t) убывает со временем по закону F2.6) Функции же ayi(t) для состояний |z/), которые могут возникнуть при высвечивании атома, со временем возрастают. Если высве- чивание с данного уровня Е\ возможно на различные (помимо Е2) уровни атома, то будет много возрастающих функций auf(t)] каждая из них отвечает состоянию, в котором атом находится на одном из своих уровней и имеется один фотон соответствую- щей энергии. Тем не менее в правой стороне уравнения F2.3) по- прежнему останется всего один член —для |z/) = |1). Действи- тельно, поскольку матричные элементы могут быть отличны от нуля лишь для переходов с изменением на 1 числа фотонов ка- кой-либо одной энергии, они заведомо равны нулю для переходов между состояниями, содержащими по одному фотону различных энергий. Таким образом, имеем для a^it) уравнение dt = <о;2|У|1> exp |i(o; - w12)t - yt} , F2.7) где uo\2 = Ei — E2. Интегрируя с условием аШ2@) = 0, находим F2.8) ш -ол2 +гГ:/2 Отсюда вероятность dw F2.5): dw = \(u2\V\l)\2— d0J Поскольку ширина Гх ^С ио\2-> в множителе |(о;2|1/|1)|2 можно положить ио = ио\2- Тогда величина 2тг|(о;2|1/|1)|2 есть обычная вероятность излучения (в 1 с) фотона, обладающего частотой U012-) а также другими (кроме частоты) характеристиками (на- правление движения, поляризация), от существования которых мы до сих пор для упрощения отвлекались. Отметим, что зави- симость вероятности от этих характеристик полностью опреде- ляется множителем |(о;2|1/|1)|2. Другими словами, учет ширины уровня не меняет поляризационных свойств и углового распре- деления излучения. 62 ЕСТЕСТВЕННАЯ ШИРИНА СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ 279 Сумма ^2 F2.9) взятая по поляризациям и направлениям движения фотона, есть полная обычная вероятность излучения. Это есть в то же вре- мя та часть ширины уровня Е\ (парциальная ширина), которая связана с переходом 1 —>• 2, в отличие от полной ширины Г]_, со- ставленной из вкладов от всех возможных способов «распада» данного квазистационарного состояния х) . Произведя такое же суммирование вероятности dw, получим следующую окончательную формулу для частотного распреде- ления испускаемого света: dw = WtEl ^ F2.10) где wt = Fi^/Fi —полная относительная вероятность перехода 1 —>• 2. Это — распределение дисперсионного вида. Форма спек- тральной линии, описываемая формулой F2.10), свойственна изолированному неподвижному атому; ее называют естествен- ной 2) . Пусть теперь уровень Е2 атома — тоже возбужденный, с ко- нечной шириной Г2- Для простоты будем предполагать, что эта ширина связана с переходом атома в основное состояние Eq с испусканием одного фотона (окончательный ответ — формула F2.12) — от этого предположения не зависит). Тогда процесс рас- пада состояния 1 можно рассматривать как процесс излучения двух фотонов, изучавшийся в § 59. Матричный элемент этого процесса — пока без учета конечности времени жизни состояния 2 — дается формулой (в формуле E9.2) изменено обозначение состояния 2 —>> 0, а в сумме по п оставлен лишь тот из членов, отвечающих нахожде- нию атома в состоянии 2, который резонансно велик при значе- нии а/, близком к Еэ — Eq). Если теперь учесть конечное время Формулы F2.6), F2.9) можно, разумеется, получить и решая аналогич- ное F2.7) уравнение для a\{t). Отметим, что переходы в состояния непрерывного спектра, обусловли- вающие конечную ширину уровня, не обязательно связаны с испусканием фотонов. Сильно возбужденные (рентгеновские) уровни могут распасться с испусканием электрона и образованием положительного иона в основном состоянии (эффект Оже). 2) В отличие от уширения, связанного со взаимодействием атома с другими атомами (уширение столкновениями) или с наличием в источнике атомов, движущихся с различными скоростями (доплеровское уширение). 280 РАССЕЯНИЕ СВЕТА жизни состояния 2, то это приведет в F2.11) только к замене Е2 -> Е2 — гГ2/2, так что EQ-E2+uo' +гГ2/2 Подставив это значение матричного элемента в уравнение для aujuj'2{t) (отличающееся лишь обозначениями от F2.7)), получим после вывода, вполне аналогичного выводу F2.8): •„\ _ (uu'b\V\u2)(u2\V\l) а'0{°°) V ' (ио' - U020 + iT2/2)(uo +uo' - ио1О + гГх/2) Вероятность испускания фотонов ио л ио' равна dw = |gwo(°°)| duoduo = Ti-^2 Гг-^о duoduo' /^o n оч = . F2.12) о о Г/ / \9 i t~i9 /лГ/ i / \o . t-\O /^i \ / 2tt 2tt [(cj7 — CJ20) + Г2/4][(а; + ио' — иою) г+ Г^/4J Как и должно было быть, это выражение имеет резкие максиму- мы при ио' ~ uo2q и ио ~ ио\2. Искомая форма спектральной линии, отвечающей переходу 1 —)> 2, получится интегрированием F2.12) по duo' (которое может быть распространено на всю область от —оо до +оо). Интеграл вычисляется проще всего путем замыкания пути интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоско- сти комплексной переменной ио' и определяется суммой вычетов подынтегрального выражения в полюсах ио = uo2q + iV2/2 и ио = иою — ио + гГх/2. В результате получим 7 Fi + Г2 duo /п~ Л о\ dw = w+ , 62.13 Z7T [иО где wt = Fi-^^-^/^i^)—полная вероятность двойного пере- хода 1 ->> 2 -^ 0 :). Форма линии F2.13) отличается от F2.10) лишь заменой Гх на Гх + Т2 — ширина линии равна сумме ширин начального и конечного состояний. Отметим, что ширина линии оказывается, вообще говоря, не равной вероятности Гх^2 самого перехода 1 —>> 2, т. е. не про- порциональной интенсивности линии (как это было бы в класси- ческой теории). Поскольку Гх + Г2 > Гх^2, линия может иметь большую ширину при сравнительно малой интенсивности.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Естественная ширина спектральных линий» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Формулы F2.6), F2.9) можно, разумеется, получить и решая аналогич- 