Рассеяние фотона электронной системой (будем для опреде- ленности говорить об атоме) представляет собой поглощение на- чального фотона к с одновременным испусканием другого фото- на к7. При этом атом может остаться либо на начальном, либо на каком-то другом дискретном уровне энергии. В первом слу- чае частота фотона не меняется {рэлеевское, или несмещенное рассеяние), а во втором — меняется на величину ио' -ио = Ei - Е2, E9.1) где Ei, E2 —начальная и конечная энергии атома {комбинацион- ное, или смещенное рассеяние) х) . Если начальное состояние ато- ма является основным, то при комбинационном рассеянии Е2 > > Ei, так что ио' < ио — рассеяние происходит с уменьшением ча- стоты (так называемый стоксов случай). При рассеянии же на возбужденном атоме возможен как стоксов, так и антистоксов {ио' > ио) случай. Поскольку оператор электромагнитного возмущения не име- ет матричных элементов для переходов с одновременным изме- нением двух фотонных чисел заполнения, эффект рассеяния по- является лишь во втором приближении теории возмущений. Его надо рассматривать как происходящий через определенные про- межуточные состояния, которые могут быть двух типов: I. Фотон к поглощается, атом переходит в одно из своих воз- можных состояний Еп; при последующем переходе в конечное состояние испускается фотон к7. П. Испускается фотон к7, атом переходит в состояние Еп\ при переходе в конечное состояние поглощается фотон к. Роль матричного элемента для рассматриваемого процесса играет сумма (см. III, D3.7)) х) В этой главе величины, относящиеся к начальному и конечному состоя- ниям рассеивающей системы, отмечены индексами 1 и 2. § 59 ТЕНЗОР РАССЕЯНИЯ 255 где начальная энергия системы «атом+фотоны» ?\ = Е\ + о;, а энергии промежуточных состояний ?1п = Еп, 8% = Еп+ш + ш', V,, — матричные элементы поглощения фотона к, V' — матрич- ные элементы испускания фотона к7; начальное состояние из суммирования по п исключается (что отмечено штрихом у знака суммы). Сечение рассеяния \2i^, E9.3) где do' — элемент телесного угла для направлений к7. Энергия света dV', рассеянного (в 1 с) в телесный угол do1, выражается через интенсивность / (плотность потока энергии) падающего света формулой UJ Будем считать, что длины волн начального и конечного фото- нов велики по сравнению с размерами а рассеивающей системы. Соответственно этому рассматриваем все переходы в дипольном приближении. Если описывать состояния фотонов плоскими вол- нами, то этому приближению отвечает замена множителей e^kr единицей. Тогда волновые функции фотонов (в трехмерно попе- речной калибровке) AeuJ = В рассматриваемых условиях оператор электромагнитного взаимодействия может быть написан в виде V = -dE, E9.4) где Е = —А —оператор напряженности поля, d —оператор ди- польного момента атома (аналогично классическому выражению энергии системы малых размеров в электрическом поле —см. II, § 42). Его матричные элементы: Vni = -iVbrco (edni), V^n = iVbru? (е^2п). Подставив эти выражения в E9.2), E9.3), получим сечение рас- сеяния (пишем его в обычных единицах) : da = V^ / (d2ri< ^ I ujnl — uj — ie) гО + (d2n UJnl e)(d + UJ me'*)! -гО J 2ujujfS -do', E9.5) fkvni = En-Ei, си'- си = ий- :)Эта формула была впервые получена Крамерсом и Гейзенбергом (Н. A. Kramers, W. Heisenberg, 1925) еще до создания квантовой механики. 256 РАССЕЯНИЕ СВЕТА Суммирование производится по всем возможным состояниям атома, включая состояния непрерывного спектра (при этом со- стояния 1 и 2 автоматически выпадают из суммирования, по- скольку диагональные матричные элементы dn = d22 = 0). Бесконечно малые мнимые добавки в знаменателях соответству- ют обычному правилу обхода полюса в теории возмущений (см. III, § 43): к энергиям промежуточных состояний Еп, по которым происходит суммирование, добавляется бесконечно малая отри- цательная мнимая часть. Правило обхода существенно, когда по- люсы выражения E9.5) по переменной Еп попадают в область непрерывного спектра (так, если состояние 1 — основное состоя- ние атома, то для этого Нш должно превышать порог ионизации атома) :). Введем обозначение (обычные единицы) 2) / \ _ 1 [ЧкJ1 -т п \ (djJn(dk)ni , (dkJn(dj)ni I — i ; ; — \-UJni — cj — гО ujni + uj — гО J (г, к = x,y,z — трехмерные векторные индексы). С его помощью формула E9.5) перепишется в виде 7 UJ(UJ + CJ12) I/ \ /* |2 7 / /ГГЛ ГЛ da = -ь —^|(с^J1е^ ек\Чо . E9.7) с4 Обозначение E9.6) оправдано тем, что эту сумму действи- тельно можно представить как матричный элемент некоторого тензора. В этом проще всего убедиться, введя векторную вели- чину Ь, оператор которой удовлетворяет уравнению гЪ + o;b = d. Ее матричные элементы ь _ dni , _ d2n UJ — UJn\ UJ + UJn2 так что {cik) 2i — {bkdi — dibkJi- E9.8) Матричные элементы (c^Ji будем называть тензором рассея- ния света. Из сказанного следует, что правила отбора для рассеяния совпадают с правилами отбора для матричных элементов про- извольного тензора второго ранга. Сразу же отметим, что ес- ли система имеет центр симметрии (так что ее состояния могут ) Для молекулы роль порога ионизации в данном аспекте играет порог диссоциации на атомы. ) Большинство результатов, излагаемых в § 59-61, принадлежит Плачеку (G. Placzek, 1931-1933). § 59 ТЕНЗОР РАССЕЯНИЯ 257 классифицироваться по четности), то переходы возможны лишь между состояниями одинаковой четности (в том числе без из- менения состояния). Это правило противоположно правилу от- бора по четности при излучении (электрически-дипольном), так что имеет место альтернативный запрет: переходы, разрешенные в излучении, запрещены в рассеянии, а разрешенные в рассея- нии—запрещены в излучении. Разложим тензор С{к на неприводимые части: ^ = сЧ, + 4 + 4, E9.9) где С° = -<4i, 4к = ~(Сгк + Cki) ~ C°Sik, tfh = ~(cik ~ Cki) E9.10) о Z Z — соответственно скаляр, симметричный тензор (с равным нулю следом) и антисимметричный тензор. Их матричные элементы: (со)м = I ? "Ш+"., {dihn{di)nl} E9.11) E9.12) 2CJ + LU12 V^4 {diJn{dk)nl — {dkJn{di)nl /rO 1Q\ У ; ^7 -—: {ЪУЛб) z—' (cJrii — uj)(ujn2 + и) (знаки обхода полюсов для краткости опускаем). Рассмотрим некоторые свойства тензора рассеяния в предель- ных случаях малых и больших частот фотона г) . Для несмещенного рассеяния (coi2 = 0) антисимметричная часть тензора при ио —>> 0 обращается в нуль (из-за множителя ио перед суммой в E9.13)). Скалярная же и симметричная части тензора рассеяния стремятся при w^Ok конечным пределам. Соответственно сечение при малых ио пропорционально а;4. В обратном случае, когда частота ио велика по сравнению со всеми существенными в E9.6) частотами o;ni, иоП2 (но, конечно, по-прежнему длина волны ^> а), мы должны вернуться к фор- мулам классической теории. Первый член разложения тензора рассеяния по степеням 1/ио равен _ — (diJn(dk)ni] = ~(dkdi — didkJi uj *) Случай резонанса (когда и близко к одной из частот uni или U2n) будет рассмотрен в § 63. 9 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY 258 РАССЕЯНИЕ СВЕТА и обращается в нуль в силу коммутативности rf^, dk. Следующий член разложения ( \ 1 (Q/cJ21 = — и2 п _ _1_ Используя определение d = ^ ег (сумма по всем электронам в атоме) и правила коммутации между импульсами и координата- ми, получаем (сгк)п = ~—Jik, (сгкJ1 = О, E9.14) где Z — общее число электронов в системе, га — масса электрона. Таким образом, в пределе больших частот в тензоре рассеяния остается лишь скалярная часть, причем рассеяние происходит без изменения состояния системы (т. е. рассеяние целиком коге- рентно— см. ниже). Сечение рассеяния в этом случае da = r2eZ2\e'*e\2dof, E9.15) где ге = е2/га. После суммирования по поляризациям конечного фотона получим формулу da = r2eZ2{\ - (eriJ}dof = T2eZ2 sin2 в • do', E9.16) действительно совпадающую с классической формулой Томсона (см. II, (80.7); в — угол между направлением рассеяния и векто- ром поляризации падающего фотона). Рассмотрим рассеяние света совокупностью N одинаковых атомов, расположенных в объеме, размеры которого малы по сравнению с длиной волны. Тензор рассеяния такой совокупно- стью будет равен сумме тензоров рассеяния каждым из атомов. При этом, однако, надо учесть, что волновые функции (с по- мощью которых вычисляются матричные элементы дипольного момента) для нескольких одинаковых атомов, рассматриваемых одновременно, нельзя считать просто одинаковыми. Волновые функции по самому своему существу определены лишь с точно- стью до произвольного фазового множителя, и эти множители у каждого атома свои. Сечение рассеяния должно быть усреднено по фазовым множителям каждого атома независимо. Тензор рассеяния (cikJi каждого атома содержит множитель ег((р1-(р2) ^ Где ^ь ^2 — фазы волновых функций начального и ко- нечного состояний. Для смещенного рассеяния состояния 1 и 2 различны, и этот множитель отличен от единицы. В квадрате модуля § 59 ТЕНЗОР РАССЕЯНИЯ 259 (сумма — по всем N атомам) произведения членов суммы, отно- сящихся к различным атомам, будут содержать фазовые мно- жители, которые обратятся в нуль при независимом усреднении по фазам атомов; останутся лишь квадраты модулей каждого из членов. Это значит, что полное сечение рассеяния N атомами получится умножением на N сечения рассеяния на одном атоме (рассеяние некогерентно). Если же начальное и конечное состояния атома совпадают, то множители el<^{pi~{p'2^ = 1. Множителем N будет отличаться в этом случае амплитуда рассеяния совокупностью атомов от амплитуды рассеяния на одном атоме, сечение же рассеяния — соответственно множителем N2 (рассеяние когерентно) г) . Ес- ли уровень энергии атома не вырожден, то несмещенное рассея- ние будет, таким образом, полностью когерентным. Если же уро- вень энергии вырожден, то будет иметься также некогерентное несмещенное рассеяние, происходящее от переходов атома меж- ду различными взаимно вырожденными состояниями. Отметим, что последнее представляет собой чисто квантовый эффект: в классической теории рассеяние без изменения частоты всегда ко- герентно. Тензор когерентного рассеяния дается диагональным матрич- ным элементом (с^)ц; обозначим его через а^ (опустив для упрощения обозначений индекс, который должен был бы ука- зывать состояние атома). Согласно E9.6) ее (сгк)п = ? \Ш^и + WinWnii . E9Л7) z—' lujni — cj — гО ujni + uj — гОJ ujni + uj — n Это выражение можно представить также в виде E9.18) где выделено предельное выражение E9.14). Здесь р —суммар- ный импульс электронов атома; в эквивалентности этих формул легко убедиться, заметив, что матричные элементы импульса и дипольного момента связаны друг с другом соотношениями epin/ra = и учтя соотношения, использованные при выводе E9.14). Если сумма или разность Е\ ± ио не совпадают ни с одним из уровней энергии атома Еп (в том числе в области непрерывного х) Заметим, что множитель Z2 в формулах E9.15), E9.16) имеет ту же природу: сечение когерентного рассеяния на Z электронах одного атома в Z раз больше сечения рассеяния на одном электроне. 260 РАССЕЯНИЕ СВЕТА спектра), можно опустить члены гО в знаменателях. Заметив, что Pin = Pnii найдем тогда, что тензор а^ эрмитов х) : Oik = 4r E9-19) Это означает, что его скалярная и симметричная части веще- ственны, а антисимметричная — мнима. Отметим, что антисим- метричная часть заведомо обращается в нуль, если атом нахо- дится в невырожденном состоянии; волновая функция такого со- стояния вещественна, а тем самым вещественны и диагональные матричные элементы. Тензор otik связан с поляризуемостью атома во внешнем элек- трическом поле. Чтобы установить эту связь, вычислим поправ- ку к среднему значению дипольного момента системы, если си- стема помещена во внешнее электрическое поле -(Ее-^ + Е*е^). E9.20) Это можно сделать, воспользовавшись известной формулой тео- рии возмущений (см. III, § 40): если на систему действует возму- щение V = Fe~iujt + F+eiuj\ то поправка первого порядка к диагональным матричным эле- ментам некоторой величины / равна - и - гО Г f (°) 7?* f (°)/?* 1 • .1 Jin *ln _^_ Jnl Гп\ elUJt I l-CJnl + CJ — гО CJrii — CJ + ZOJ J (возмущение V должно рассматриваться как бесконечно медлен- но включающееся от t = — оо, так что в первом члене ио должно пониматься как ио + гО, а во втором — как ио — гО; в соответствии с этим и написаны мнимые добавки в знаменателях). В данном случае F = —dE/2 и поправка к диагональному матричному элементу дипольного момента оказывается равной djy = -(de-iut + d*eiart), E9.21) где d — вектор с компонентами di = c$Ek, E9.22) Этот результат связан с пренебрежением естественной шириной линии, а тем самым и с возможностью поглощения падающего света (см. § 62). § 59 ТЕНЗОР РАССЕЯНИЯ 261 (п)/ \ причем выражение для тензора aik (со) отличается от выражения E9.17) для otik обратным знаком мнимой добавки в знаменате- ле второго члена. По определению, а^ (со) есть тензор поляри- зуемости атома в поле с частотой со. Для частот, при которых мнимые добавки в знаменателях могут быть опущены и тензор (п) ctik эрмитов, тензоры а^ и а^. просто совпадают друг с другом. В частности, при со = 0 формула E9.22) переходит в форму- лу G6.4) (см. III), причем выражение для тензора статической поляризуемости G6.5) (см. III) совпадает с а^@) из E9.17). От- метим также, что если состояние 1 —основное , то все соп\ > О и правило обхода в первом члене в E9.17) существенно только при со > 0, а во втором —при со < 0. В таком случае aik(u,)=a$(\u,\). E9.23) По смыслу формул теории рассеяния в них подразумевается, что со > 0; тогда тензор а^ совпадает с тензором поляризуемости. В дальнейшем нам понадобится наряду с сечением еще и ам- плитуда рассеяния фотона /. Как обычно в теории возмущений, она совпадает, с точностью до нормировочного множителя, со взятым с обратным знаком матричным элементом E9.2). Подо- брав этот множитель так, чтобы представить сечение E9.7) в виде da = \f\2dof, найдем для амплитуды упругого рассеяния / = со2агке**ек. E9.24) Согласно оптической теореме (см. ниже формулу G1.10)) мнимая часть амплитуды рассеяния вперед (т. е. без изменения импульса и поляризации) определяет полное сечение at всех воз- можных упругих и неупругих процессов для данного начального состояния фотона: at = — lm(u2aike*ek) = 4ттЛ* ~а*ые*ек. E9.25) Таким образом, полное сечение определяется антиэрмитовой ча- стью тензора рассеяния. Формула E9.25) имеет простой классический смысл. Элек- трическое поле Е производит в единицу времени над системой зарядов работу, равную ^ evE = Ed. Представив поле в виде E9.20), а дипольный момент в виде E9.21), E9.22) и усреднив эту работу по времени,получим 1 * -и\ I e^k - 1) Только такой случай (который мы и будем иметь в виду в последую- щих рассуждениях) допускает вполне строгое рассмотрение из-за конечно- сти времени жизни возбужденных состояний (см. § 62). 262 РАССЕЯНИЕ СВЕТА (Е = еЕ). С другой стороны, если Е —поле падающего света, то средняя плотность потока энергии в нем равна |?7|2/(8тг), а поглощаемая атомом энергия равна Приравняв друг другу полученные выражения, получим форму- лу E9.25). Если момент J основного состояния атома равен нулю, то в силу сферической симметрии а^ = с^г/с- Тогда at = 4тгсЛт<х E9.26) Для системы с моментом такое же соотношение верно для вели- чин, усредненных по его направлениям в пространстве (см. § 60). Для энергий фотона выше порога ионизации атома главный вклад в полное сечение at вносит процесс ионизации — поглоще- ние фотона при фотоэффекте. Сечение же рассеяния является величиной более высокого порядка по е2 (ср., например, E6.13) с E9.16)). Если же энергия фотона лежит ниже порога ионизации (но не близко к резонансу, т. е. к какой-либо из дискретных частот возбуждения атома), то сечение, сводящееся в этом случае к се- чению рассеяния, а вместе с ним и мнимая часть амплитуды, ока- зывается более высокого порядка малости, чем ее вещественная часть. Пренебрегая мнимой частью, мы снова получаем E9.19). Положение дел меняется вблизи резонанса, где сечение возраста- ет; эта ситуация будет рассмотрена в § 63. Наряду с рассеянием, к двухфотонным процессам, появляю- щимся во втором порядке теории возмущений, относится также и двойное испускание — одновременное испускание атомом двух квантов. Выражение для вероятности этого процесса отличается от формулы E9.5) только заменой ио —>> —ио, е —>> е* (испускание фотона ио вместо поглощения) и лишним множителем dsk ш2 duo do Bтг)з Bтг)з — числом квантовых состояний испускаемого фотона в заданных интервалах частоты ио и направлений к; частота же второго фо- тона определяется по ио равенством ио-\-ио' = ио\2. Таким образом, вероятность излучения (в единицу времени) х) dw = |(Ы21е-*4|2^^—dodo duo, E9.27) ) Здесь и ниже в этом параграфе — обычные единицы. § 59 ТЕНЗОР РАССЕЯНИЯ 263 где п \ _ V^ Г (djJn(dk)ni , (dkJn(dj)ni 1 { гкJ1 Z^ LcJm+cj-гО шп1 + ш'- Ш отличается от (cik) 21 E9.6) лишь знаком перед ио. Просуммировав это выражение по поляризациям фотонов и проинтегрировав по направлениям их вылета х) , получим ^fe\(blkJ1\2doo. E9.28) 6 Вероятность испускания двух фотонов ио и ио' обычно очень мала по сравнению с вероятностью испускания одного фотона с частотой ио + ио'. Исключение составляют случаи, когда прави- ла отбора, запрещая второй процесс, допускают первый. Тако- вы, например, переходы между двумя состояниями с J = 0, для которых всякие процессы излучения одного фотона запрещены строго. Другим примером является переход из первого возбу- жденного состояния атома водорода Bs 1/2) B основное состояние A^1/2M запрещенный как для Е1-, так и для М1-излучения (см. задачу 2, § 52) 2).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Тензор рассеяния» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
: 