В § 49-52 мы рассматривали радиационные переходы (испус- кание или поглощение фотона) между атомными уровнями дис- кретного спектра. Фотоэффект отличается от такого процесса Для матричных элементов 2г-польных моментов в подынтегральные вы- ражения войдут произведения вида Интеграл по углам будет отличен от нуля при q = — 2Q, между тем как q пробегает значения лишь от — / до /; поэтому должно быть 20, ^ I. 2) Фактически этот член дает существенную поправку лишь при Q = :/2, когда связь между вращением и внутренним состоянием ядра особенно ве- лика (см. об этом III, § 119). § 56 ФОТОЭФФЕКТ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 241 поглощения фотона лишь тем, что конечное состояние относит- ся к непрерывному спектру. Сечение фотоэффекта может быть вычислено до конца в ана- литическом виде для атома водорода или для водородоподобного иона (с зарядом ядра Z <С 137). В начальном состоянии имеем электрон на дискретном уровне Е{ = —/ (/ — потенциал ионизации атома) и фотон с определен- ным импульсом к. В конечном состоянии электрон имеет им- пульс р (и энергию Sf = е). Поскольку р пробегает непрерывный ряд значений, сечение фотоэффекта дается формулой da = 2n\Vfl\26(-I + ш-е)^-з E6.1) (ср. D4.3)), причем волновая функция конечного состояния элек- трона предполагается нормированной на одну частицу в объеме V = 1. Таким же образом по-прежнему нормирована волновая функция фотона; для перехода к сечению da вероятность dw должна быть при этом разделена на плотность потока фотонов (равную с/V = с), но в релятивистских единицах это не отража- ется на виде формулы E6.1). Выберем, как и в D5.2), трехмерно поперечную калибровку фотона. Тогда Vfi = -eAjfi = - где обозначено Mfi = f^*(ae)eikr^x E6.2) (ф = ф^ и ф' = фf — начальная и конечная волновые функции электрона). Заменив в E6.1) d3p —>> p2d\p\do = s\\>\dsdo и проин- тегрировав E-функцию по cfe, перепишем эту формулу в виде da = e2^-\Mfi2do. E6.3) 2ttcj Мы произведем вычисления в двух случаях, различающихся значением энергии фотона: для w>/h для ио 4с га. Поскольку / ~ meAZ2 <^ 777,, эти две области частично перекрываются (при / <^ ио <^ 777), так что исследование этих случаев дает по существу полное описание фотоэффекта. Начнем со случая ио < га. E6.4) При этом скорость электрона мала как в начальном, так и в конечном состояний, так что по отношению к электрону зада- ча— целиком нерелятивистская. Соответственно этому заменим в E6.2) а нерелятивистским оператором скорости v = —iSJ/m 242 ИЗЛУЧЕНИЕ ГЛ. V (ср. § 45). Кроме того, можно перейти к дипольному приближе- нию—положить егкг « 1, т. е. пренебречь импульсом фотона по сравнению с импульсом электрона. Тогда 2ttcj « = -^ [ф'*\7ф ¦ d3x. E6.5) Будем рассматривать фотоэффект с основного уровня атома водорода (или водородоподобного иона). Тогда ф = &е*т)*'2 e /к (в обычных единицах те2 —>> 1/ао, где ^о = Н2/те2 — боровский радиус). В качестве же ф' надо взять волновую функцию, асимптоти- ческая форма которой содержит плоскую волну (егрг) и наряду с ней сходящуюся сферическую (см. III, § 136, где такая функция обозначалась через фр ). В силу правила отбора по / переход из 5-состояния возможен лишь в ^-состояние (дипольный случай). Поэтому в разложении х) E6.7) (n = p/_p, ni = г/г) достаточно оставить лишь член с / = 1. Опустив несущественные фазовые множители, получим ф' = А(пщ)Др,(г). E6.8) С функциями ф и ф' из E6.6), E6.8) имеем 3(Ze2mM/2 [[, w ч -Ze2mrr> ( \л 2л = -^——-1— / / (nni)(nie)e Rpi®doi • г dr = 2^/тгтр JJ pm 0 Согласно формулам C6.18) и C6.24) (см. III) радиальная функ- ция (в принятых здесь единицах) о \/8irZe2m Rpl = где обозначено: ZSjn(ZS\ Eб.9) Ниже в этом параграфе р обозначает |р|. 56 ФОТОЭФФЕКТ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 243 Нужный нам интеграл вычисляется с помощью формулы Xzz1~lF(a т kz)dz — rDUa~7(A — к)~а (см. Ill, (f. 3)). Заметив также, что Г Jo получим 3(ne) e-21/arcctg»/ Энергия ионизации с основного уровня атома водорода (или водородоподобного иона) / = Z2e4m/2. Поэтому w = jl + J=?(l + i/2). E6.10) 2m 2m Учитывая это соотношение, пишем окончательное выражение для сечения фотоэффекта с испусканием электрона в элемент телесного угла do: da = 27тгаа2 (—) ^^(nefdo, E6.11) где а = Н2/(mZe2) = clq/Z (здесь и ниже — обычные единицы). Отметим, что угловое распределение фотоэлектронов определя- ется множителем (пеJ. Он максимален в направлениях, парал- лельных направлению поляризации падающих фотонов, и обра- щается в нуль в перпендикулярных вектору е направлениях, в том числе в направлении падения. Для неполяризованных фото- нов формула E6.11) должна быть усреднена по направлениям е, что сводится к замене (пеJ -> 1[п0п]2, где п0 = к/к (см. D5.46)). Интегрирование же формулы E6.11) по углам дает полное сечение фотоэффекта: а = аа 3 (М. Stobbe, 1930). Предельное значение а при Ни —>> / (т. е. v —)> оо): П9^ = 0,2з4 E6.13) — =— E6.12) \huoJ 1-е-2™ У J aa 0,23 Зе4 Зе4 Z2 ' Z2 244 ИЗЛУЧЕНИЕ ГЛ. V (в знаменателе е = 2,71... !). Как и должно быть для реакции с образованием заряженных частиц (см. III, § 147), сечение фото- эффекта вблизи его порога стремится к постоянному пределу. Случай же Ни ^> / (причем по-прежнему Ни <С тс2) отвечает борновскому приближению [у = Ze2/(Hv) <С 1). Формула E6.12) принимает вид (/о = e4m/B/i2) —энергия ионизации атома водорода). Процессом, обратным фотоэффекту, является радиационная рекомбинация электрона с неподвижным ионом. Сечение этого процесса (<трек) можно найти по сечению фотоэффекта (<Тф) с помощью принципа детального равновесия (III, § 144). Соглас- но этому принципу сечения процессов г—»/и/—»г(с двумя частицами в каждом из состояний г и /) связаны соотношением P где pi, Pf — импульсы относительного движения частиц, a gj, gf — спиновые статистические веса состояний г и /. Учитывая также, что для фотона g = 2 (два направления поляризации), а статистический вес свободного электрона и иона равен стати- стическому весу основного состояния атома водорода, получаем для этого состояния 0"рек = О"ф — E6.15) (р = mv — импульс падающего электрона, к — импульс испуска- емого фотона).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Фотоэффект. Нерелятивистский случай» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Для матричных элементов 2г-польных моментов в подынтегральные вы- 