Атом водорода представляет единственный случай, в котором вычисление матричных элементов перехода может быть произ- ведено до конца в аналитическом виде (W. Gordon, 1929). Четность состояния атома водорода равна (—1) , т. е. одно- значно определяется орбитальным моментом электрона (напом- ним, что число / как определяющее четность состояния сохра- няет свой смысл и для точных релятивистских волновых функ- ций, т. е. при учете спин-орбитального взаимодействия). Поэтому правило отбора по четности строго запрещает электрически-ди- польные переходы без изменения /; возможны лишь переходы с / —>• / ± 1. Изменения же главного квантового числа п не ограни- чены. Дипольный момент атома водорода сводится к радиус-векто- ру электрона: d = ег. Поскольку волновая функция электрона в атоме водорода представляет собой произведение угловой части и радиальной функции Rni, приведенные матричные элементы радиус-вектора тоже представляются в виде произведения оо (п',1 - l\\r\\nl) = A- 1\\и\\1) Г где (/ — 11|v||/) —приведенные матричные элементы единичного вектора v в направлении г. Последние равны (см. III, B9.14)). Таким образом, оо /rif 1 1 ll/rHnA— (nlWrWri1 / 1\—i\f] I 7? / i -л 7? ir^rlr f^O 1} \ , II II / \ II II , / J n,l nl К I 0 224 ИЗЛУЧЕНИЕ ГЛ. V Нерелятивистские радиальные функции дискретного спектра атома водорода даются формулой C6.13) (см. III) п(+2 B/ х F(-n +1 + 1,21+ 2, —). E2.2) П Интеграл E2.1) с произведением двух вырожденных гипергео- метрических функций вычисляется с помощью формул, приве- денных в т. III, § i 2) . Вычисление приводит к результату (n',l-l\\r\\nl) = - 1)! 4B/ - 1)! у (n - / - l)!(n' - 1I (n + n')n+n' x \F(-n + I + 1, -n' + /, 2/, - {n-n'Y ) E2.3) где F(a, f3,j,z) —гипергеометрические функции. Поскольку па- раметры а, /3 в данном случае равны отрицательным целым чи- слам (или нулю), эти функции сводятся к полиномам 3) . Приведем для справок выражения, получающиеся из E2.3) в некоторых частных случаях (значение / указываем спектроско- пическим символом «s, р, с/, ... ): 2 28п7(п-1Jп-5 (<п-\-2Jп+6 ,/о и и \|2 215п9(п-2Jп-6 \Bp\\r\\ns}\ = . 1\ ^И И /I 3(п + 2J^+6 :)В этом параграфе пользуемся атомными единицами. В обычных еди- ницах написанные ниже выражения для матричных элементов координаты должны быть умножены на К2/(те2) (если же речь идет о водородоподобном ионе с номером Z, то на h2/(mZe2)). ) Во введенных там обозначениях речь идет о вычислении интеграла ^2Z2+2(~n+^+l> —n'+l). Оно осуществляется с помощью формул (f. 12)—(f. 16). 3) Численные таблицы матричных элементов и вероятностей переходов для водорода можно найти в книге: Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. — М.: ИЛ, 1960. § 52 ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ. АТОМ ВОДОРОДА 225 Формула E2.3) непригодна для переходов без изменения глав- ного квантового числа п (переходы между компонентами тонкой структуры уровня). В этом случае (п = п') для осуществления интегрирования исходим из представления радиальных функций через обобщенные полиномы Лагерра: 2 1(п-1-1)\ г,п BЛ 21+1 /2г В интеграле a заменяем один из полиномов его выражением через производя- щую функцию (см. Ill, § d): После (п — I — 1)-кратного интегрирования по частям получим интеграл вида 00 00 Ie~ppn+l{?) о —/—1 в котором заменяем полином Лагерра его явным выражением согласно формуле п—т П После проведения дифференцирования в сумме остается всего три члена, после чего интегрирование элементарно. Вычисление приводит к простому результату: (n,l-l\\r\\nl) =глД- -пл/п2-/2. E2.6) Интеграл оо оо Г о Г / Rniji_iRnlr*dr= I Xn1 ,i-\\TXni)dr о о (где Xnl = rRnl) представляет собой коэффициент разложения функции г Xnl п0 системе ортогональных функций Хп',1-\{п' — 1? 8 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY 226 ИЗЛУЧЕНИЕ ГЛ. V 2, ... ). Сумма квадратов модулей этих коэффициентов равна интегралу от квадрата разлагаемой функции х) . Поэтому ОО [r2X2nldr. E2.7) Воспользовавшись известным выражением для среднего квадра- та г2 в состоянии nl (см. III, C6.16)), найдем следующее правило сумм: V |(п'/ - 1||г||п/)|2 = / V |(п',/ - 1||г||п/)|2 = / —[5п2 + 1 - 3/(/ + 1)]. E2.8) При заданных значениях п, / и больших значениях п' матрич- ный элемент перехода nl —>> nl' убывает по закону |(п'Г||г|Н|2ос JL, E2.9) в чем можно убедиться как из частных выражений E2.4), так и из общей формулы E2.3). Этот результат вполне естествен: куло- новы уровни энергии Е' = — 1/2п/2 при больших п' расположены квазинепрерывно, и вероятность перехода на какой-либо уровень в интервале dE' пропорциональна плотности расположения этих уровней, которая сама ос п'~3. Эффект Штарка в водороде имеет, как известно, специфи- ческий характер (см. III, § 77)—расщепление пропорционально первой степени электрического поля. При этом поле предпола- гается хотя и не сильным (условие применимости теории возму- щений), но в то же время таким, чтобы расщепление уровней было велико по сравнению с их тонкой структурой. В этих усло- виях величина момента вообще не сохраняется и уровни должны классифицироваться по параболическим квантовым числам ni, П2, т. Последнее из них — магнитное квантовое число т — по- прежнему определяет проекцию орбитального момента на ось z (направление поля), которая в данных условиях (пренебрежение спин-орбитальным взаимодействием) сохраняется. Поэтому для него имеет место обычное правило отбора m/-m = 0,±l. E2.10) Ограничений же для изменения чисел ni, П2 не имеется. Матричные элементы дипольного момента в параболических координатах тоже могут быть вычислены аналитически. Полу- 1) Суммирование производится по состояниям как дискретного, так и непрерывного спектров. § 52 ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ. АТОМ ВОДОРОДА 227 чающиеся формулы, однако, очень громоздки, и мы не станем приводить их здесь г) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Излучение атомов. Атом водорода» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
