Выведенные в § 46 и 47 формулы относились к испусканию фотона с определенными значениями момента j и его проекции т. Соответственно предполагалось, что и излучающая система (скажем, ядро) до и после испускания обладает не только опре- деленными значениями момента J, но и определенными поляри- зациями, т. е. значениями М. § 48 УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 203 Рассмотрим теперь более общий случай излучения частично поляризованным ядром (размеры которого по-прежнему пред- полагаются малыми по сравнению с длиной волны). Испускае- мый фотон по-прежнему обладает определенным моментом j, но может быть частично поляризован. Найдем вероятность ис- пускания как функцию направления п фотона. Она должна быть выражена через матрицы плотности, описывающие поляризаци- онные состояния ядра и фотона. Для этого предварительно напишем вероятность испускания как функцию направления п и спиральности А фотона (А = =Ы) для случая, когда начальное и конечное ядра обладают опреде- ленными значениями: 3{М{ и JfMf. Матричный элемент испускания фотона с определенными jm пропорционален матричному элементу 2-7-польного (электриче- ского или магнитного) момента ядра: (JfMfJmlVlJiMi) <х (-l)m(J/M/|Qi,_m|JiMi). D8.1) Волновая функция испущенного фотона (в импульсном пред- ставлении) пропорциональна Y^(n) или Y^(n). Волновая же функция фотона с импульсом в направлении п и спиральностью А пропорциональна вектору поляризации е' К Матричный эле- мент испускания фотона пА получится перемножением D8.1) с проекцией волновой функции состояния \jm) на волновую функ- цию состояния |пА): Согласно A6.23) для фотонов обоих типов e(A)*Yjm(n)<x^(n). D8.2) Матричный же элемент мультипольного момента выражаем обычным образом через приведенный элемент. В результате по- лучаем амплитуду вероятности перехода в виде (J/M/;nA|F|JlM,)a(-l)^-^+-(_^/ Jm Д) QD<&(n), D8.3) где Q обозначает (Jf\\Q\\Ji). Теперь мы можем перейти к общему случаю смешанных по- ляризационных состояний. Согласно общим правилам квантовой механики вероятность перехода будет пропорциональна 204 ИЗЛУЧЕНИЕ ГЛ. V выражению г) (го) х (М^рЩмЩМ'^ЩЦХЧр^Х), D8.4) где pW, p(f', p^) — матрицы плотности начального ядра, конеч- ного ядра и испущенного фотона; символ (га) под знаком суммы означает, что суммирование производится по всем дважды по- вторяющимся га-индексам (MiM^MfM^W). В D8.4) надо под- ставить D8.3). Обозначим вероятность испускания фотона в телесный угол do через w(n)do. Полная вероятность испускания по всем направ- лениям и со всеми поляризациями фотона и вторичного ядра не зависит, очевидно, от начального поляризационного состояния ядра. Она дается уже известными нам формулами и нас здесь не интересует. Поэтому условимся нормировать вероятность w(n) на 1. Для нее получается 2) w(n) = (m) -4 Д) (-M'f -т> M 1) Если начальное и конечное состояния системы описываются суперпози- циями n m то матричный элемент а его квадрат nn mm Переход к случаю смешанных состояний осуществляется заменой ппппг —г Pnni 1 ^т'^т —' Рт'т так что К/1^Ю|2 "> Yl y^y^'n'Pni'Pm'm- nn' mm' 2)При преобразованиях знакового множителя можно пользоваться тем, что числа 2Ji, 2J/, 2Mj, 2M/ одинаковой четности. Напомним также, что числа j, m целые, а Л = ±1. § 48 УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 205 (в правильности нормировки мы убедимся ниже). Преобразу- ем эту формулу, разложив произведение двух D-функций в ряд A10.2) (см. III) \\'+т' n(j) n(j) _ ) VXmU_x,_m, - ( з \( -A' -Aj[m -mf - (индексы Л = А — A7, /j = m — m'] L — целые числа, L ^ 2j). Таким образом, получаем окончательно L (го) C 3 L\(j j L\f Jf j Ji\ \\ -A' -A) ym -m' -n) {-Mf -m MJ M -M'f -m> х(М;|р(Л|М/)(Л'|рG)|А). D8.5) Как и выше, X}(m) означает суммирование по всем (дважды по- вторяющимся) m-индексам. При этом надо помнить об отличии индексов А, А7 от остальных m-индексов: суммирование по ним производится не по всем 2j +1 возможным (при данном j-индек- се) значениям, а лишь по двум значениям: А, А7 = =Ы, отвечаю- щим двум поляризациям фотона. Формула D8.5) содержит в себе всю необходимую информа- цию об угловом распределении испускаемых фотонов и их поля- ризации, а также о поляризации вторичных (т. е. испустивших фотон) ядер. При этом подразумевается, что начальная матрица плотности задана.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Угловое распределение и поляризация излучения» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
