Применим полученные формулы к испусканию фотона реля- тивистским электроном в заданном внешнем поле. Ток перехода в этом случае есть матричный элемент оператора j = § 45 ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 193 в котором ^-операторы предполагаются разложенными по си- стеме волновых функций стационарных состояний электрона в данном поле (см. § 32). Переходу электрона из состояния г в со- стояние / отвечает матричный элемент (O^1j|j|1^Oj). Такое изме- нение чисел заполнения осуществляется оператором ata^, и для тока перехода получаем jfi = ^/W = (Ф}Фг,Ф}афг), D5.1) где фг и г/jf — волновые функции начального и конечного состо- яний электрона. Выберем волновую функцию фотона в трехмерно попереч- ной калибровке D-вектор поляризации е = @, е)). Тогда в D3.10) произведение jfie* = —j/^e*. Подставив Vfi в D4.4), получим сле- дующую формулу для вероятности излучения (в 1 с) в элемент телесного угла do фотона с поляризацией е: io, D5.2) Z7T где l3x. D5.3) Суммирование по поляризациям фотона осуществляется пу- тем усреднения по направлениям е (в плоскости, перпендику- лярной заданному направлению n = k/a;), после чего результат умножается на 2 соответственно двум независимым возможно- стям поперечной поляризации фотона х) . Таким образом, полу- чается формула dwn = e2^\[njfi(k)]\2do. D5.4) Очень важен случай, когда длина волны фотона А велика по сравнению с размерами излучающей системы а. Такая ситуация связана обычно с малостью скоростей частиц по сравнению со скоростью света. В первом приближении по а/А (соответствую- щем дипольному излучению —ср. II, § 67) в токе перехода D5.3) можно заменить единицей множитель е~ , мало меняющийся в 1) Для усреднения используется формула е;е? = -(Sik — щпк) D5.4а) (ае)(Ье*) = -{ab - (an)(bn)} = -[an][bn], D5.46) где а, Ь — постоянные векторы. 7 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY 194 ИЗЛУЧЕНИЕ ГЛ. V области, где ф{ или ф$ заметно отличны от нуля. Такая замена означает, другими словами, пренебрежение импульсом фотона по сравнению с импульсами частиц в системе. В том же приближении интеграл j/i@) может быть заменен его нерелятивистским выражением, т. е. просто матричным эле- ментом Vfi скорости электрона по отношению к шредингеров- ским волновым функциям. В свою очередь этот элемент v^ = = —iuoYfi, a evfi = d^ где d —дипольный момент электрона (в его орбитальном движении). Таким образом, находим следую- щую формулу для вероятности дипольного излучения: dwen = — |e*d^|2do D5.5) (направление п фигурирует здесь в неявном виде: вектор е долж- ен быть перпендикулярен п). Просуммировав по поляризациям, получим dwn = — |[nd/i]|2rfo. D5.6) Ввиду нерелятивистского (по отношению к электрону) харак- тера этих формул их обобщение на любые электронные системы очевидно: под d^ надо понимать матричный элемент полного дипольного момента системы. Проинтегрировав формулу D5.6) по всем направлениям, най- дем полную вероятность излучения: w = *f\dfi\2, D5.7) О или в обычных единицах: ig/,|2- D5.7а) Интенсивность / излучения получается умножением вероят- ности на fvuj: 1=^№- D5.8) Эта формула обнаруживает непосредственную аналогию с классической формулой (см. II, F7.11)) для интенсивности ди- польного излучения системой периодически движущихся частиц: интенсивность излучения частоты uos = suo (где ио — частота дви- жения частиц, s — целое число) равна h = f||ds|2, D5.9) § 46 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 195 где ds—компоненты Фурье дипольного момента, т. е. коэффи- циенты разложения d(t)= J2 dse~isu}t. D5.10) Квантовая формула D5.8) получается из D5.9) заменой этих компонент Фурье матричными элементами соответствующих пе- реходов. Это правило (выражающее собой принцип соответ- ствия Бора) является частным случаем общего соответствия между компонентами Фурье классических величин и квантовы- ми матричными элементами в квазиклассическом случае (см. III, § 48). Излучение квазиклассично для переходов между состоя- ниями с большими квантовыми числами; при этом частота пере- хода Нио = Е{ — Ef мала по сравнению с энергиями излучателя Е{ и Ef. Это обстоятельство, однако, не привело бы к каким-либо изменениям в виде формулы D5.8), справедливой для любых пе- реходов. Этим объясняется тот (в известном смысле случайный) факт, что принцип соответствия для интенсивности излучения оказывается справедливым не только в квазиклассическом, но и в общем квантовом случае.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Дипольное излучение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
