Нет необходимости заново решать волновое уравнение для состояний непрерывного спек- тра. Волновые функции этого случая получаются из функций дискретного спектра заменой у/т — е —)> — гл/е — т, А —)> — ф, — пг —)> 7 — г—— C6.12) Р (о выборе знака при аналитическом продолжении корня ^/m — e см. т. III, § 128). Заново, однако, должна быть произведена нор- мировка функций. х) Ниже в этом параграфе р обозначает |р| = 164 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ ГЛ. IV Проделав в C6.11) указанную замену, представим функции / и g в виде Я _ ra х [e^FG - гг/, 27 + 1, -2фг) т e где А7 — новая нормировочная постоянная и введены обозначе- ния и , е C6. р х — ivm/s (величина ? вещественна, поскольку 72 + (Zae/pJ = х2 /j)) Согласно известной формуле (см. Ill, (d. 10)) имеем F(j + 1 - iz/, 27 + 1, -2фг) = ei:prFG + iv, 27 + 1, 2фг) = = e-2^rF*G - ii/, 27 + 1, -2ipr), поэтому C6.14) Нормировочный коэффициент А' определяется сравнением асимптотического выражения для этой функции с общей фор- мулой C5.7) для нормированной сферической волны. Выпишем сразу получающееся таким образом выражение для волновых функций непрерывного спектра (и затем проверим его) х) : C6.15) Асимптотическое выражение для этой функции находится с помощью формулы III, (d, 14), в которой в данном случае су- ществен только первый член (второй убывает с более высокой степенью 1/г): f\ л/2 /szbmsin/ тг/ . о- т о тг/\ /or -\г\ 1) Волновые функции в поле отталкивания получаются отсюда изменением знака перед Za, т. е. изменением знака v. § 36 ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ 165 где <*„ = ?- argГG + 1 + iv) - ^ + у, C6.17) или e2i6* _ х - ivm/e ГG + 1 - iv) ^(l-^) /gg щ 7 — iv 7 + 1 + zi/ Отметим для будущих ссылок выражение фаз в ультрареляти- вистском случае (е ^> га, v ~ Za) е2г5« = * ГG + 1-^а)е^-7)> C6.19) 7 - г^а ГG + 1 + iZa) Выражение C6.16) отличается от C5.8) лишь логарифмиче- ским членом в аргументе тригонометрической функции. Как и в случае уравнения Шредингера, медленность убывания куло- нова потенциала приводит к искажению фазы волны, которая становится медленно меняющейся функцией г. При аналитическом продолжении в область е < т выражение C6.18) принимает вид е2ъ5„ _ * ~ Zam/X ГG + 1 - Zae/X) ^{l-^) /gg 20) Оно имеет полюсы в точках, где 7 + 1 — Zae/X = 1 — nr, nr = = 1,2,... (полюсы Г-функции в числителе), а также в точке 7 — Zae/X = —nr = 0 (если при этом ж < 0); как и следовало ожидать, эти точки совпадают с дискретными уровнями энергии. Вблизи какого-либо из полюсов с пг ф 0 имеем Вид Г-функции вблизи ее полюса находится с помощью извест- ной формулы Г(^)ГA — z) = п/s'mnz: Sin 7Г 7 + 1 — « 7Г COS 7ГПГ — (? — ?о ) = V А / ds \ X / A)(eeo) — уровень энергии). Таким образом , 2^ ^+^L?L±]_. C6.21) Легко убедиться в том, что эта формула остается справедливой и при пг = 0. 166 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ ГЛ. IV В конце предыдущего параграфа была получена формула C5.11), связывающая вычет функции е2г5* в ее полюсе с ко- эффициентом в асимптотическом выражении волновой функции соответствующего связанного состояния. В случае кулонова по- ля, однако, эта формула должна быть несколько видоизменена в связи с тем, что вместо постоянного фазового сдвига 5^ (как это было в C5.7)) в C6.16) стоит сумма 5^ + v\nBpr). В левой стороне C5.11) надо поэтому писать не е2г^, а ехр[2ъ5„ + 2iulnBpr)] -+ e2^BiArJ(r^+7). Используя C6.21) и определяя из C5.11) коэффициент Aq (кото- рый будет теперь степенной функцией г), находим асимптотиче- ский вид нормированной волновой функции дискретного спек- тра: J Эта формула была уже использована для определения коэффи- циента в C6.11).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Непрерывный спектр (е > m)» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
