Изучение свойств движения в наиболее важном случае куло- нова поля начнем с исследования поведения волновых функций на малых расстояниях. Будем говорить для определенности о поле притяжения: U = —Za/r x) . При малых г в уравнениях C5.5) можно опустить члены с е ± гп] тогда (fr) + -fr - —gr = О, г г Ы/ УС . ZOL г ^ - -gr + —fr = 0. Функции fr и gr входят в каждое из этих уравнений равноправ- ным образом. Поэтому обе ищем в виде одинаковых степеней г: fr = ar1', gr = br1'. Подстановка в уравнения дает аG + к)- bZa = 0, aZa + 6G - ус) = 0, откуда 72 = ^2 - (ZaJ. C6.1) Пусть (ZaJ < х2. Тогда 7 вещественно, причем из двух зна- чений должно быть выбрано положительное: соответствующее решение либо не расходится при г = 0, либо расходится менее быстро, чем другое. Такой выбор можно обосновать путем рас- смотрения потенциала, обрезанного (как было объяснено в пре- дыдущем параграфе) на некотором малом го, с дальнейшим пе- реходом к пределу го —>> 0 (ср. аналогичные рассуждения в т. III, § 35). Таким образом, С ZOL . / = g = const -r , 7 + x C6.2) / 7 = л/х2 Хотя волновая функция и может обратиться при г = 0 в бес- конечность (если 7 < 1), интеграл от \ф\2 остается, разумеется, ) В обычных единицах U = — Ze /r. При переходе к релятивистским еди- ницам е заменяется безразмерным а. 160 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ ГЛ. IV сходящимся. Если (ZaJ > х2, то оба значения 7 из C6.2) —мни- мые. Соответствующие решения при г —>• 0 осциллируют (как r~l cos(|/y| lnr)), что снова отвечает, как уже было объяснено вы- ше, недопустимой в релятивистской теории ситуации «падения» на центр. Так как ж1 ^ 1, это значит, что чисто кулоново поле можно рассматривать в теории Дирака лишь при Za < 1, т. е. Z < 137. Остановимся на качественном описании ситуации, возникаю- щей при Z > 137. Снова, чтобы избежать неопределенности в граничном условии при г = 0, следует рассматривать потенци- ал, обрезанный на некотором расстоянии г о (И. Я. Померанчук, Я. А. Смородинский, 1945). Это имеет не только формальный, но и прямой физический смысл. Заряд Z > 137 фактически мо- жет быть сосредоточен только в некотором «сверхтяжелом» ядре конечного радиуса. Рассмотрим поэтому, как меняется располо- жение уровней с увеличением Z при заданном tq. В «необрезанном» кулоновом поле энергия е\ нижнего уров- ня обращается при Za = 1 в нуль и кривая зависимости ?i(Z) обрывается — при Za > 1 уровень е\ становится мнимым (см. C6.10)). В «обрезанном» же поле, при заданном г о ф 0, уро- вень е\ проходит через нуль лишь при некотором Za > 1. Но значение е\ = 0 никак не выделено физически, а при tq ф 0 оно ничем не выделено и формально — кривая зависимости E\(Z) здесь не обрывается. При дальнейшем увеличении Z уровни про- должают понижаться, и при некотором «критическом» значении Z = Zc(ro) энергия е\ достигает границы (—га) нижнего конти- нуума уровней. Как было объяснено в предыдущем параграфе, это означает обращение в нуль энергии, требуемой для рожде- ния свободного позитрона. Поэтому критическое значение Zc — это максимальный заряд, которым может обладать «голое» ядро при заданном tq. При Z > Zc уровень е\ < —т и становится энергетически вы- годным рождение двух электрон-позитронных пар. Позитроны уходят на бесконечность, унося кинетическую энергию 2(|?]_| — — га), а два электрона заполняют уровень е\. В результате обра- зуется «ион» с заполненной К-оболочкой и зарядом Z3<^ = Z — 2 (С. С. Герштейн^Я. Б. Зельдович, 1969). Эта система устойчива при Z > Zc, вплоть до значений Z, когда границы —т достигнет следующий уровень *) . х) Так, если заряд ядра равномерно распределен в сфере радиуса го = = 1,2 • 10~12 см, критическое значение Zc = 170, а следующий уровень до- стигает границы — т при Z = 185 (В. С. Попов, 1970). Подробное изложение количественной теории — см. обзорную статью Я. Б. Зельдовича и В. С. По- пова (УФН.— 1971. — Т. 105. — С. 403). § 36 ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ 161 Наконец отметим, что даже в случае точечного заряда ход потенциала на малых расстояниях искажается за счет радиаци- онных поправок. Их учет приводит, однако, лишь к поправкам ~ а к значению Zca. Обратимся теперь к точному решению волнового уравнения (G. Darwin, 1928; W. Gordon, 1928).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Движение в кулоновом поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
