Частица со спином 3/2 описывается в своей системе покоя сим- метричным 3-спинором третьего ранга (с 2s + 1 = 4 независимы- ми компонентами). Соответственно в произвольной системе от- счета в ее описании могут участвовать 4-спиноры ?а^5 туа/з7 и Са^7 ? Хав'' кажДыи из которых симметричен по всем одинако- вым (пунктирным или непунктирным) индексам; при инверсии спиноры в первой и во второй паре переходят друг в друга. Для того чтобы в системе покоя 4-спиноры ?а^7 и %/з7 пере- ходили в 3-спиноры, симметричные по всем трем индексам, они должны удовлетворять условиям Действительно, в системе покоя Р*0 -+ Ро€ = m8i (как это видно из B0.1)). Поэтому условия C1.1) приводят к равенствам бкГь = о, *&"Vr = о, где буквы со штрихом обозначают соответствующие 3-спиноры; другими словами, эти спиноры дают нуль при упрощении по ин- § 31 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 3/2 141 дексам а/3, а это и означает, что они симметричны по этим ин- дексам, а потому и по всем трем индексам. Дифференциальная связь между спинорами (иг/ устанавли- вается соотношениями Р6Чб = т&, РР,& = тт?б- C1-2) Симметричность левых сторон этих уравнений (по индексам /3, 7 или а, 6) обеспечивается условиями C1.1), в силу которых они обращаются в нуль при упрощении по всем индексам. В систе- ме покоя 3-спиноры (' и г/' в силу уравнений C1.2) совпадают. Исключив из уравнений C1.2) т\ или ?, найдем, что каждая из компонент спиноров (иг/ удовлетворяет уравнению второго по- рядка = 0. C1.3) Совокупность уравнений C1.1), C1.2) составляет полную си- стему волновых уравнений для частицы со спином 3/2 *) . До- бавление спиноров С, х не привело бы ни к чему новому. Они строятся согласно Уравнения частиц со спином 3/2 могут быть сформулированы также и в ином виде, в котором используются векторные аспекты свойств спиноров {W. Rarita, J. Schwinger, 1941; А. С. Давыдов, И. Е. Тамм, 1942). Паре спинорных индексов а/3 сопоставляется один четырехмерный векторный индекс \i. Поэтому компонен- там спинора третьего ранга (°^ можно привести в соответствие компоненты «смешанных» величин ф^ с одним векторным и од- ним спинорным индексом. Аналогично, спинору тра^ ставятся в соответствие величины ф^ а совокупности обоих спиноров — «векторный» биспинор ф^ (биспинорный индекс не выписыва- ем). Волновое уравнение запишется тогда в виде «уравнения Ди- рака» для каждой из векторных компонент ф^: Aр-т)ф^ = 0 C1.4) с дополнительным условием 7^ = 0. C1.5) Используя выражения для матриц 7^ в спинорном представле- нии и формулы связи между компонентами спинора и вектора :)О лагранжевой формулировке этих уравнений см. указанную на с. 76 статью Фирца и Паули. 142 фермионы A8.6), A8.7), легко убедиться в том, что уравнения C1.2) содер- жатся в C1.4), а условие C1.5) эквивалентно условию симмет- ричности спиноров ?а^ и т]а^ по индексам /3j или /3j. Умножив уравнение C1.4) на 7^, получим ввиду C1.5) или, воспользовавшись правилами коммутации матриц 7^, W%i/>» - -f%i4* = о- (З1.6) Второй член снова обращается в нуль в силу C1.5), а первый дает FVV = 0. C1.7) Легко видеть, что это условие, автоматически следующее из C1.4), C1.5), эквивалентно условиям C1.1). Наконец, еще один способ формулировки волнового уравне- ния состоит во введении величин фц^\ (г, /с, / = 1, 2, 3, 4) с тремя биспинорными индексами, по которым фц^\ симметричны (V. Bargmann, E. P. Wigner, 1948). Совокупность этих величин эквивалентна совокупности компонент всех четырех спиноров ?, г/, С, х- Волновое уравнение записывается в виде системы «урав- нений Дирака» C1.8) Легко видеть, что эти уравнения уже приводят к нужному чис- лу (четыре) независимых компонент фц^и и постановка дополни- тельных условий не требуется. Действительно, в системе покоя C1.8) сводятся к равенствам lim^mkl = ФгкЬ в силу которых обращаются в нуль (в стандартном представле- нии) все компоненты сг,А;,/ = 3,4, т. е. ф^\ сводятся к компо- нентам 3-спинора третьего ранга. Изложенные результаты очевидным образом обобщаются для частиц с любым полуцелым спином s. При описании уравнени- ями вида C1.4), C1.5) волновая функция будет симметричным 4-тензором ранга Bs — l)/2 с одним биспинорным индексом. При описании же уравнениями вида C1.8) волновая функция будет иметь 2s биспинорных индексов, по которым она симметрична.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Волновое уравнение для частицы со спином 3/2» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
