Мы видели в § 20, что необходимость описания частицы со спином !/2 двумя спинорами (? и г/) связана с массой частицы. Эта причина отпадает, если масса равна нулю. Волновое урав- нение, описывающее такую частицу, может быть составлено с помощью всего одного, скажем пунктирного, спинора г/: Р°\ = 0, C0.1) или, что то же, (ро + р<т)г/ = 0. C0.2) В § 20 было также отмечено, что волновое уравнение, содер- жащее массу га, автоматически оказывается симметричным по отношению к инверсии (преобразование B0.4)). При описании же частицы одним спинором эта симметрия теряется. В ней, од- нако, нет необходимости, поскольку симметрия по отношению к инверсии не является универсальным свойством природы. Энергия и импульс частицы с т = 0 связаны соотношением е = |р|. Поэтому для плоской волны (rjp ос е~грх) уравнение C0.2) дает (па)г]р = -rip, C0.3) где п — орт вектора р. Такое же уравнение (ncr)r/_p = -rj-p C0.4) § 30 ДВУХКОМПОНЕНТНЫЕ ФЕРМИОНЫ 137 имеет место и для волны с «отрицательной частотой» (т]-р ос ос егрх). Вторично квантованный ^-оператор: Ч ВД +<А)- C0-5) Отсюда, как обычно, следует, что rf_p — волновые функции ан- тичастицы. Из определения операторов р®^ B0.1) видно, что р°^* = — —рыр. Поэтому комплексно-сопряженный спинор г/* удовле- творяет уравнению р^^г]*- = 0, или, что то же, P«prf* = 0. Обозначим 7/^* = ?^, выразив этим тот факт, что комплексное сопряжение превращает пунктирный спинор в непунктирный. Таким образом, волновые функции античастицы удовлетворяют уравнению = 0, C0.6) или (Ро - Р«т)е = 0. C0.7) Для плоской волны имеем отсюда (шт)?р = ?Р. C0.8) Но !/2 (пег) есть оператор проекции спина на направление дви- жения. Поэтому уравнения C0.3) и C0.8) означают, что состоя- ния частицы с определенным импульсом автоматически оказы- ваются спиральными — проекция спина вдоль направления дви- жения имеет в них определенное значение. При этом, если спин частицы противоположен импульсу (спиральность —1/2I то спин античастицы направлен вдоль импульса (спиральность +У2). Частицами с такими свойствами являются, возможно, суще- ствующие в природе нейтрино. При этом частицу со спираль- ностью —1/2 условно принято называть нейтрино, а частицу со спиральностью +1/2 — антинейтрино х) . 1) Существование нейтрино было предсказано теоретически Паули для объяснения свойств /3-распада A931). Уравнение C0.1) впервые рассматри- валось Вейлем (Н. Weyl, 1929). Основанную на этих уравнениях теорию нейтрино сформулировали Л. Д. Ландау; Лщ Янг и Салам (Т. D. Lee, С. N. Yang, A. Salam) в 1957 г. Экспериментально вопрос о равенстве нулю массы нейтрино до настояще- го времени не выяснен окончательно. В дальнейшем мы будем употреблять термин «нейтрино» условно для обозначения частицы, описываемой урав- нением C0.3). 138 ФЕРМИОНЫ В связи с невырожденностью состояний нейтрино по направ- лениям спина напомним сделанное в § 8 замечание о том, что частице с массой 0 свойственна лишь аксиальная симметрия от- носительно направления импульса. В случае истинно нейтраль- ной частицы — фотона — в эту симметрию входят как вращения вокруг оси, так и отражения в проходящих через ось плоско- стях. В случае же нейтрино симметрия относительно отражений отсутствует, и мы имеем дело лишь с группой вращений вокруг оси, сохраняющей проекцию момента на ось, но не меняющей ее знака. Симметрия относительно отражений существует лишь при условии одновременной замены частицы античастицей. Надо также отметить, что обязательная продольная поляри- зация означает, что у нейтрино спин вообще не отделим от орби- тального момента (как и у фотона с обязательной поперечностью полей, см. § 6). С помощью одного спинора т\ (или ?) можно образовать всего четыре билинейные комбинации, составляющие вместе 4-вектор f = (r,*V,rl*a7]). C0.9) Легко проверить, что в силу уравнений (ро + ро-)г] = 0, т/*(?о - per) = 0 имеет место уравнение непрерывности д^ — 0, т. е. j^ играет роль 4-вектора плотности тока частиц. Плоские волны нейтрино удобно нормировать способом, ана- логичным тому, как это было сделано в § 23 для частиц с массой: п — J—u е-1Рх п — J—0, Jpx (fu^^(^\ IP — /к~ Р ' 1~Р — причем спинорные амплитуды нормированы инвариантным усло- вием и*±рA,а)и±р = 2(е,р). C0.11) При этом плотность частиц и плотность их тока: j° = 1, j = = р/е = п. Поскольку свободное нейтрино с заданным импульсом всегда полностью поляризовано, в этом случае не существует понятия о смешанном (по спину) состоянии. Тем не менее может оказаться удобным ввести двухрядную поляризационную «матрицу плот- ности», определенную просто как спинор второго ранга РаC = UaU*? C0.12) (при этом Spp = 2е). Выражение для этой матрицы можно на- писать, заметив, что она должна удовлетворять уравнениям (е + ра)р = р(е + per) = 0. § 30 ДВУХКОМПОНЕНТНЫЕ ФЕРМИОНЫ 139 Отсюда видно, что р = е-ра. C0.13) При рассмотрении различных процессов взаимодействия ней- трино могут фигурировать наряду с другими частицами (со спи- ном 1/2), обладающими массой и поэтому описывающимися че- тырехкомпонентными волновыми функциями. В таких случаях удобно соблюсти единообразие обозначений, введя формально и для нейтрино «биспинорную» волновую функцию, две из компо- нент которой, однако, равны нулю: ф = ( j. Но такая форма ф, вообще говоря, нарушится при переходе к другому (не спинор- ному) представлению. Это затруднение можно обойти, заметив, что в спинорном представлении имеем тождественно где ? — произвольный «балластный» спинор, выпадающий из от- вета (матрица 75 из B2.18)). Поэтому условие истинной «двух- компонентности» нейтрино будет соблюдено при описании его четырехкомпонентным ф в любом представлении, если понимать под ф решение уравнения Дирака с т = 0: {1Р)ф = 0, C0.14) подчиненное дополнительному условию г/2A + ^5)ф = ф, или -у5ф = ф. C0.15) Это условие можно учесть, условившись производить во всех формулах, куда входят ф и ф, следующую замену: ф^±±?ф, ф^ф1-^±. C0.16) Так, 4-вектор плотности тока запишется в виде (замена C0.16) в выражении ф^^ф) f = 1^A - 7VA + 1Ь)Ф = ^7МA + 1Ь)Ф- C0.17) В соответствии с этим же правилом четырехрядная матрица плотности нейтрино должна быть записана как р=\A + 75)ЫA " 75) = ^A + 75)Ы- C0.18) В спинорном представлении она сводится, как и должно быть, к двухрядной матрице C0.13) /0 0\ Р=(е-ар О)' 140 ФЕРМИОНЫ ГЛ. Ill Аналогичные формулы для антинейтрино отличаются от на- писанных изменением знака перед 75- Нейтрино — электрически нейтральная частица. Нейтрино с описанными выше свойствами не является, однако, истинно ней- тральной частицей. Отметим в этой связи, что «нейтринное по- ле», описываемое двухкомпонентным спинором, по числу воз- можных для него состояний частиц (но, разумеется, не по другим своим физическим свойствам) эквивалентно истинно нейтраль- ному полю, описываемому четырехкомпонентным биспинором. Вместо состояний частиц и античастиц с определенными спи- ральностями здесь имелось бы столько же состояний одной ча- стицы с двумя возможными значениями спиральности и автома- тически соблюдалась бы симметрия по отношению к инверсии. Отметим, однако, что равенство нулю массы «четырехкомпо- нентного» нейтрино имело бы, так сказать, «случайный» харак- тер, поскольку оно не было бы связано со свойствами симметрии описывающего его волнового уравнения (допускающего также и отличную от нуля массу). Поэтому учет различных взаимодей- ствии такой частицы автоматически привел бы к появлению хотя и малой, но все же не равной строго нулю массы покоя.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Двухкомпонентные фермионы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
