Координатная зависимость волновой функции *ф, описываю- щей свободное движение с импульсом р (плоская волна), сводит- ся к общему множителю егрг, а амплитуда ир играет роль спино- вой волновой функции. В таком (чистом) состоянии частица пол- ностью поляризована (см. III, § 59). В нерелятивистской теории § 29 ПОЛЯРИЗАЦИОННАЯ МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ 131 это означает, что спин частицы имеет определенное направле- ние в пространстве (точнее, существует такое направление, вдоль которого проекция спина имеет определенное значение +У2). В релятивистской теории такая характеристика состояния в произ- вольной системе отсчета невозможна ввиду (отмеченного уже в § 23) несохранения вектора спина. Чистота состояния означает лишь, что спин имеет определенное направление в системе покоя частицы. В состоянии частичной поляризации не существует опреде- ленной амплитуды, а лишь поляризационная матрица плотно- сти pik (i,k = 1,2,3,4 — биспинорные индексы). Определим эту матрицу таким образом, чтобы в чистом состоянии она сводилась к произведениям Pik = upiupk. B9.1) Соответственно этому матрица р нормируется условием Spp = 2m B9.2) (ср. B3.4)). В чистом состоянии среднее значение спина определяется ве- личиной [ B9.3) Соответствующее выражение для состояния частичной поляри- зации: s = f Sp (p7°S) = f Sp (p757)- B9.4) 4S 4S Амплитуды Up, up удовлетворяют системам алгебраических уравнений (jp — т)ир = 0, пр^р — га) = 0. Поэтому матрица B9.1) удовлетворяет уравнениям (jp - т)р = 0, p(jp - га) = 0. B9.5) Таким же линейным уравнениям должна подчиняться матрица плотности и в общем случае смешанного (по спину) состояния (ср. аналогичный вывод в III, § 14). Если рассматривать свободную частицу в ее системе покоя, то к ней применима нерелятивистская теория. Но в этой тео- рии состояние частичной поляризации полностью определяется тремя параметрами — компонентами вектора среднего значения спина "s (см. III, § 59). Ясно поэтому, что те же параметры будут определять поляризационное состояние и после любого преобра- зования Лоренца, т. е. для движущейся частицы. s = - [ф*ЪфA3х = —ир1ир = —upj°^up. 132 ФЕРМИОНЫ Обозначим удвоенное среднее значение вектора спина в си- стеме покоя через ? (в чистом состоянии |?| = 1, в смешанном |?| < 1). Для четырехмерного описания поляризационного состо- яния удобно ввести 4-вектор а^, совпадающий в системе покоя с трехмерным вектором ?; поскольку ? — аксиальный вектор, то а^ — 4-псевдовектор. Этот 4-вектор ортогонален 4-импульсу в си- стеме покоя (где Ы1 = @, ?), р^ = (га, 0)), а потому и в произ- вольной системе отсчета а% = 0. B9.6) В произвольной системе отсчета будет также и а^ = -С2. B9.7) Компоненты 4-вектора а^ в системе отсчета, в которой части- ца движется со скоростью v = р/б, находятся путем преобразо- вания Лоренца из системы покоя и равны а° = МС||, а± = Сь ац = -С||, B9.8) т " м т " где индексы || и _L означают компоненты векторов ? и а, парал- лельные и перпендикулярные направлению р х) . Эти формулы можно записать в векторном виде: р(Ср) а° = 5Е = ^ а2 = С2 + ^^ B9.9) туе + т) е т т2 Рассмотрим сначала неполяризованное состояние (? = 0). Матрица плотности в этом случае может содержать в качестве параметров лишь 4-импульс р. Единственный вид такой матри- цы, удовлетворяющей уравнениям B9.5), есть Gр + т) B9.10) (И. Е. Тамм, 1930, Н. В. G. Casimir, 1933). Постоянный коэффи- циент выбран в соответствии с нормировочным условием B9.2). 1) По своим трансформационным свойствам компоненты среднего вектора спина s (как и всякого момента) являются в релятивистской механике про- странственными компонентами антисимметричного тензора S ^. 4-вектор ах связан с этим тензором посредством соотношений 1 9 D — о СЬиРр) (л — с- *J/j,vPp- 2m m Подчеркнем, что в произвольной системе отсчета пространственная часть а 4-вектора ах отнюдь не совпадает с вектором 2 s. Легко видеть, что 2s|| = — (аце - а°\р\) = С||, 2s± = —а± = — ?±. § 29 ПОЛЯРИЗАЦИОННАЯ МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ 133 В общем случае частичной поляризации (? ^ 0) ищем матри- цу плотности в виде р = — (jp + m)p'(jp + га), B9.11) 4m автоматически удовлетворяющем уравнениям B9.5). При С 7^ 0 вспомогательная матрица // должна обращаться в единичную; поскольку (jp + гаJ = 2m('yp + га), то B9.11) совпадет с выражением B9.10). Далее, она должна содержать 4-вектор а линейным образом в качестве параметра, т. е. иметь вид B9.12) во втором члене фигурирует скалярное произведение псевдовек- тора а и «матричного 4-псевдовектора» 7^7- Для определения коэффициента А напишем матрицу плотности в системе покоя: р = ^A + 7°)A + А757С)A +7°) = ?A +7°)A + ^757С), и вычислим, согласно B9.4), среднее значение спина. Восполь- зовавшись перечисленными в § 22 правилами, легко найдем, что единственный отличный от нуля член в искомом следе 2 s = -L Sp (р757) = SP (GCO) = ^С- Приравняв это выражение ?, получим А = 1. Окончательное вы- ражение для р найдем, подставив B9.12) в B9.11) и переставив множители р' и (^р + т)] в силу ортогональности аир произве- дение jp антикоммутативно с ja: а потому коммутативно с 75Gа)- Таким образом, матрица плотности частично поляризованно- го электрона дается выражением Ы + ™)[чЫ)} B9.13) (L. Michel, A. S. Wighiman, 1955). Если матрица р известна, то ха- рактеризующий состояние 4-вектор а (а с ним и вектор ?) можно найти по формуле a" = -^-Sp(p7V)- B9-14) 2т Формулы для матрицы плотности позитрона аналогичны формулам для электрона. Если бы мы описывали позитрон (с 134 ФЕРМИОНЫ 4-импульсом р) позитронной амплитудой Up3 и определенной в соответствии с такой амплитудой матрицей плотности р^п03\ то никакого отличия от случая электрона вообще не было бы и матрица р(пш) давалась бы той же формулой B9.13). Одна- ко при фактических вычислениях сечений процессов рассеяния с участием позитронов приходится иметь дело (как мы увидим в дальнейшем) не с UpO3\ а с амплитудами «отрицательной ча- стоты» U-p. Соответственно этому и поляризационную матрицу плотности (обозначим ее /?' ') следует определить так, чтобы для чистого состояния она сводилась к U-piu-p^. Согласно B6.1) позитронная амплитуда г4>п = Ucu-p. Об- ратно: и_р = Ucu{™3\ п-р = ^4ПШ) = и{р°3)ис (ср. B8.3)). Если ( —) (поз) (поз) (поз) Ргк -U-piU-pk, p\k )=U)I >У>рк \ то с помощью этих формул получим р(~) = UcP"UO3)U*c. B9.15) Подставляя сюда для р(пш) выражение B9.13) и производя (с помощью B6.3), B6.21)) простые преобразования, получаем р(-) = \Ы-т)[\-1ь{1а)]. B9.16) В частности, для неполяризованного состояния {) \т). B9.17) В дальнейшем, говоря о позитронных матрицах плотности, мы будем иметь в виду матрицы р(~) и индекс (—) у них будем опус- кать (матрицами же р(п03) фактически не приходится пользо- ваться) . В различных вычислениях нам часто придется усреднять по спиновым состояниям выражения вида uFu{= щР^щ), где F — некоторая (четырехрядная) матрица, аи-биспинорная ампли- туда состояния с определенным 4-импульсом р. Такое усреднение эквивалентно замене произведений и^щ матрицей плотности р^ частично поляризованного состояния. В частности, полное усреднение по двум независимым спи- новым состояниям эквивалентно переходу к неполяризованному состоянию; при этом согласно B9.10) имеем -= Y^ upFup = - Sp (jp + m)F. B9.18) поляр § 29 ПОЛЯРИЗАЦИОННАЯ МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ 135 Аналогично для волновых функций отрицательной частоты - = 5Z ll-vFu-v = - Sp (jp - m)F. B9.19) поляр Если речь идет не об усреднении, а о суммировании по спиновым состояниям — результат в два раза больше. Проследим, каким образом матрица плотности B9.13) пере- ходит в пределе в свое нерелятивистское выражение. Для этого перейдем к системе покоя электрона. В стандартном представле- нии волновых функций амплитуды ир в этой системе становятся двухкомпонентными; вместе с ними должна стать двухрядной матрица плотности. Действительно, в системе покоя имеем и с помощью выражений матриц j B1.20) и B2.18) находим о)' Рнр = тA + О B9.20) (нули обозначают двухрядные нулевые матрицы). Если принять обычную в нерелятивистской теории нормировку матрицы плот- ности на 1 (Sp/9Hp = 1) вместо нормировки на 2т, то это выраже- ние надо будет разделить на 2т, так что в согласии с формулой E9.6) (см. III) получится Аналогичным образом нерелятивистский предел позитрон- ной матрицы плотности: /0 0 Наконец, напишем упрощенное выражение матрицы плотно- сти в ультрарелятивистском случае. Положив в B9.8) |р| « е (тем самым мы пренебрегаем величинами относительной мало- сти (m/бJ), подставив эти выражения в B9.13) или B9.16) и выбрав направление р в качестве оси ж, запишем - 71) ± т] [l - т5 (^G° - т'Кн - С±7±)] , Р = \[ где верхний знак относится к случаю электрона, а нижний — к случаю позитрона. При раскрытии произведения главные члены в нем выпадают, а члены следующего порядка дают 136 ФЕРМИОНЫ или, при записи бG° ~~ 71) в виде IP'- Р = ^GР)[1 + 75(±С|| + С±7±)]- B9-21) Это и есть искомое выражение матрицы плотности в ультра- релятивистском случае. Обратим внимание на то, что все компо- ненты вектора поляризации ? входят в него равноправно как чле- ны одного порядка величины. Напомним, что ?м есть компонента этого вектора, параллельная (при ?ц > 0) или антипараллельная (?ц < 0) импульсу частицы. В частности, для спирального со- стояния частицы ?ц = 2А = ±1; при этом матрица плотности принимает особенно простой вид: р=1Gр)A±2А75), B9.22) совпадающий, как и должно быть, с видом матрицы плотности нейтрино или антинейтрино — частицы с нулевой массой и опре- деленной спиральностью (см. § 30).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Поляризационная матрица плотности» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
