Вторичное квантование поля частиц со спином 1/2 (спинорно- го поля) производится таким же образом, как это было сделано в § 11 для скалярного поля. Не повторяя заново всех рассуждений, напишем сразу вы- ражения для операторов поля, вполне аналогичные формулам (Н.2): суммирование производится по всем значениям импульса р и по а = zb1/^. Операторы уничтожения античастиц 6ро- (как и опера- торы уничтожения частиц арсг) стоят в виде коэффициентов при функциях, которые по своей координатной зависимости (егрг) соответствуют состоянию с импульсом р х) . Для вычисления гамильтониана спинорного поля нет необхо- димости в определении его тензора энергии-импульса (как мы это делали для скалярного поля), поскольку в этом случае суще- ствует гамильтониан частицы, с помощью которого может быть записано волновое уравнение (уравнение Дирака) B1.12). Сред- няя энергия частицы в состоянии с волновой функцией ф есть интеграл д-±?>х = г [ф>уо^<Рх. B5.2) dt J dt Обратим внимание на то, что «плотность энергии» (подынтег- ральное выражение) не является здесь положительно определен- ной величиной. _ Заменяя в B5.2) функции ф и ф на ^-операторы, учитывая взаимную ортогональность волновых функций с различными р или а, а также соотношение п±р(Т^ои±рG = 2е для волновых ам- плитуд, получаем гамильтониан поля в виде Й = Е ? («p<x<W - ЬрДра) • B5-3) ра Отсюда видно, что в данном случае квантование должно про- изводиться по Ферми: {«р^«рЛ+ = 1> {WbpV}+ = l, B5-4) 1) Те и другие функции отвечают также одинаковым значениям а проек- ции спина в системе покоя; для функций ф_р_а это будет показано в § 26 — см. B6.10). 116 ФЕРМИОНЫ а все другие пары операторов а, а+, 6, 6+ антикоммутативны (см. III, § 65). Действительно, гамильтониан B5.3) переписыва- ется тогда в виде e(a+aapa + b+abpa - 1), pa и собственные значения энергии (как всегда, за вычетом беско- нечной аддитивной постоянной): <Npa + Npa), B5.5) pa т. е. оказываются, как и следовало, положительно определенны- ми. При квантовании же по Бозе мы получили бы из B5.3) бес- смысленные не положительно определенные собственные значе- ния Аналогичное B5.5) выражение iVp(T) B5.6) pa получается и для импульса системы — собственных значений опе- ратора f ф+рф d3x. Оператор 4-тока ^ ? = ^ф, B5.7) и для оператора «заряда» поля получаем Q = Ф per per B5.8) его собственные значения 3 = Е(ЖР--ад B5.9) per Таким образом, мы снова приходим к представлению о час- тицах и античастицах, к которым относится все сказанное по их поводу в § 11. Но в то время как частицы со спином 0 являются бозона- ми, частицы со спином lfe оказываются фермионами. Если про- следить за формальным происхождением этого различия, то мы увидим, что оно возникает в связи с разницей в характере выра- жений «плотности энергии» для скалярного и спинорного полей. В первом случае это выражение оказывается положительно оп- ределенным, в результате чего в гамильтониан A1.3) оба члена § 25 СВЯЗЬ СПИНА СО СТАТИСТИКОЙ 117 (а'^'а и 66+) входят со знаком плюс. Для обеспечения положи- тельности собственных значений энергии замена ЪЪ+ на Ъ+Ъ дол- жна происходить при этом без изменения знака, т. е. по прави- лу коммутации Бозе. В случае же спинорного поля «плотность энергии» не является положительно определенной величиной, в результате чего в гамильтониане B5.3) член 66+ оказывается со знаком минус, и для получения положительных собственных зна- чений замена 66+ на 6+6 должна сопровождаться изменением знака, т. е. происходить по правилу коммутации Ферми. С другой стороны, вид плотности энергии непосредственно связан с трансформационными свойствами волновой функции и с требованиями релятивистской инвариантности. В этом смы- сле можно сказать, что и связь спина со статистикой, которой подчиняются частицы, тоже является прямым следствием этих требований. Из того факта, что частицы со спином 1/2 являются фермио- нами, следует также общее утверждение: все частицы с полу це- лым спином являются фермионами, а частицы с целым спином — бозонами (в том числе доказанное в § 11 утверждение для части- цы со спином 0) г) . Это становится очевидным, если заметить, что частицу со спином s можно представить себе «составленной» из 2s частиц со спином 1/2. При полуцелом s число 2s нечетно, а при целом s — четно. Между тем « сложная» частица, содержащая четное чис- ло фермионов, является бозоном, а содержащая нечетное число фермионов — фермионом 2) . Если система состоит из частиц разного рода, то для каждо- го рода частиц должны быть введены свои операторы рождения и уничтожения. При этом операторы, относящиеся к различным бозонам или же к бозонам и фермионам, коммутируют друг с другом. Что же касается операторов, относящихся к различным фермионам, то в пределах нерелятивистской теории их можно было считать либо коммутирующими, либо антикомму тирующи- ми (III, § 65). В релятивистской же теории, допускающей взаим- ные превращения частиц, следует считать операторы рождения и уничтожения различных фермионов антикомму тирующими, так 1) Происхождение связи между спином частицы и статистикой, которой она подчиняется, было выяснено Паули (W. Pauli, 1940). 2)В этих рассуждениях подразумевается, что все частицы с одинаковым спином должны подчиняться одной статистике (вне зависимости от спосо- ба их «составления»). Что это действительно так, видно из аналогичных рассуждений. Так, если бы существовали фермионы со спином 0, то из фер- миона со спином 0 и фермиона со спином 1/2 можно было бы составить частицу со спином ^2, которая была бы бозоном — в противоречии с общим доказанным для спина 1/^ результатом. 118 ФЕРМИОНЫ же как и операторы, относящиеся к различным состояниям од- них и тех же фермионов.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Связь спина со статистикой» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
